spline de Hermite

In analiza numerica spline cubic Hermite (numit și cspline), în onoarea matematicianului Charles Hermite , este o funcție spline de gradul 3 , în cazul în care fiecare polinom spline este sub formă de Hermite ( a nu se confunda cu polinoame Hermite ). Forma Hermite este formată din două puncte de control și două tangentele de control pentru fiecare polinom.

Pe o grilă formată din puncte de $x_{k}$ ${\ displaystyle x_ {k}}$ $x_k$ pentru $k=1,...,n$ ${\ Displaystyle k = 1, ..., n}$ $k = 1, ..., n$ , Interpolarea se realizează pe fiecare sub-interval $(x_{k},x_{k+1})$ ${\ Displaystyle (X_ {k}, X_ {k + 1})}$ $(X_ {k}, x _ {{k + 1}})$ la un moment dat (deoarece valorile tangente sunt predeterminate). Sub-gama $(x_{k},x_{k+1})$ ${\ Displaystyle (X_ {k}, X_ {k + 1})}$ $(X_ {k}, x _ {{k + 1}})$ este normalizat la intervalul $(0,1)$ ${\ displaystyle (0,1)}$ $(0,1)$ prin intermediul funcției $t=(x-x_{k})/(x_{k+1}-x_{k})$ ${\ Displaystyle t = (x-X_ {k}) / (X_ {k + 1} -x_ {k})}$ $t = (x-X_ {k}) / (x _ {{k + 1}} - {k X_})$ .

Interpolarea unui singur interval

Interpolarea pe intervalul $(0,1)$ ${\ Displaystyle (0,1)}$ $(0,1)$

Cu intervalul $(0,1)$ ${\ displaystyle (0,1)}$ $(0,1)$ , Deoarece punctul de pornire p ₀ cu $t=0$ ${\ displaystyle t = 0}$ $t = 0$ și punctul final cu p ₁ $t=1$ ${\ displaystyle t = 1}$ $t = 1$ cu tangenta inițială m ₀ cu $t=0$ ${\ displaystyle t = 0}$ $t = 0$ și tangente finală cu ₁ m $t=1$ ${\ displaystyle t = 1}$ $t = 1$ , Polinomul este definit de

{\boldsymbol {p}}(t)=(2t^{3}-3t^{2}+1){\boldsymbol {p}}_{0}+(t^{3}-2t^{2}+t){\boldsymbol {m}}_{0}+(-2t^{3}+3t^{2}){\boldsymbol {p}}_{1}+(t^{3}-t^{2}){\boldsymbol {m}}_{1}

{\ Displaystyle {\ boldsymbol {p}} (t) = (2t ^ {3} -3t ^ {2} +1) {\ boldsymbol {p}} _ {0} + (t ^ {3} -2t ^ {2} + t) {\ boldsymbol {m}} _ {0} + (- 2t ^ {3} + 3t ^ {2}) {\ boldsymbol {p}} _ {1} + (t ^ {3} -t ^ {2}) {\ boldsymbol {m}} _ {1}}

{\ Boldsymbol {p}} (t) = (2t ^ {3} -3t ^ {2} +1) {\ boldsymbol {p}} _ {0} + (t ^ {3} -2t ^ {2} + t) {\ boldsymbol {m}} _ {0} + (- 2t ^ {3} + 3t ^ {2}) {\ boldsymbol {p}} _ {1} + (t ^ {3} -t ^ {2}) {\ boldsymbol {m}} _ {1}

Cele 4 Funcțiile de bază ale Hermite. Interpolarea fiecare subinterval este o combinație liniară a acestor 4 funcții.

unde t ∈ [0, 1].

Cele 4 Funcțiile de bază ale Hermite sunt definite ca:

h_{00}(t)=2t^{3}-3t^{2}+1=(1+2t)(1-t)^{2}

{\ Displaystyle h_ {00} (t) = 2t ^ {3} -3t ^ {2} + 1 = (1 + 2t) (1-t) ^ {2}}

h _ {{00}} (t) = 2t ^ {3} -3t ^ {2} + 1 = (1 + 2t) (1-t) ^ {2}

h_{10}(t)=t^{3}-2t^{2}+t=t(1-t)^{2}

{\ Displaystyle h_ {10} (t) = t ^ {3} -2t ^ {2} + t = t (1-t) ^ {2}}

h _ {{10}} (t) = t ^ {3} -2t ^ {2} + t = t (1-t) ^ {2}

h_{01}(t)=-2t^{3}+3t^{2}=t^{2}(3-2t)

{\ Displaystyle h_ {01} (t) = - 2t ^ {3} + 3t ^ {2} = t ^ {2} (3-2t)}

h _ {{01}} (t) = - 2t ^ {3} + 3t ^ {2} = t ^ {2} (3-2t)

h_{11}(t)=t^{3}-t^{2}=t^{2}(t-1)

{\ Displaystyle h_ {11} (t) = t ^ {3} -t ^ {2} = t ^ {2} (t-1)}

h _ {{11}} (t) = t ^ {3} -t ^ {2} = t ^ {2} (t-1)

Polinomul devine: ${\boldsymbol {p}}(t)=h_{00}(t){\boldsymbol {p}}_{0}+h_{10}(t){\boldsymbol {m}}_{0}+h_{01}(t){\boldsymbol {p}}_{1}+h_{11}(t){\boldsymbol {m}}_{1}.$ ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {p}} (t) = h_ {00} (t) {\ boldsymbol {p}} _ {0} + h_ {10} (t) {\ boldsymbol {m}} _ {0 } + h_ {01} (t) {\ boldsymbol {p}} _ {1} + h_ {11} (t) {\ boldsymbol {m}} _ {1}.}$ ${\ Boldsymbol {p}} (t) = h _ {{00}} (t) {\ boldsymbol {p}} _ {0} + h _ {{10}} (t) {\ boldsymbol {m}} _ {0} + h _ {{01}} (t) {\ boldsymbol {p}} _ {1} + h _ {{11}} (t) {\ boldsymbol {m}} _ {1}.$

interpolarea pe $(x_{k},x_{k+1})$ ${\ Displaystyle (X_ {k}, X_ {k + 1})}$ $(X_ {k}, x _ {{k + 1}})$

Interpolarea $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în interval $(x_{k},x_{k+1})$ ${\ Displaystyle (X_ {k}, X_ {k + 1})}$ $(X_ {k}, x _ {{k + 1}})$ acum se face cu formula

{\boldsymbol {p}}(x)=h_{00}(t){\boldsymbol {p}}_{0}+h_{10}(t)h{\boldsymbol {m}}_{0}+h_{01}(t){\boldsymbol {p}}_{1}+h_{11}(t)h{\boldsymbol {m}}_{1}.

{\ Displaystyle {\ boldsymbol {p}} (x) = h_ {00} (t) {\ boldsymbol {p}} _ {0} + h_ {10} (t) h {\ boldsymbol {m}} _ { 0} + h_ {01} (t) {\ boldsymbol {p}} _ {1} + h_ {11} (t) h {\ boldsymbol {m}} _ {1}.}

{\ Boldsymbol {p}} (x) = h _ {{00}} (t) {\ boldsymbol {p}} _ {0} + h _ {{10}} (t) h {\ boldsymbol {m} } _ {0} + h _ {{01}} (t) {\ boldsymbol {p}} _ {1} + h _ {{11}} (t) h {\ boldsymbol {m}} _ {1} .

cu $h=x_{k+1}-x_{k}$ ${\ Displaystyle h = X_ {k + 1} -x_ {k}}$ $h = x _ {{k + 1}} - X_ {k}$ Și $t=(x-x_{k})/h$ ${\ Displaystyle t = (x-X_ {k}) / h}$ $t = (x-X_ {k}) / h$ . Rețineți că valorile tangente au fost scalate de $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ comparativ cu ecuația prezentată pe intervalul unității.

Formula garantează o singură cale între cele două puncte de plecare și se termină.

Interpolarea unui set de date

Un set de date, $(x_{k},{\boldsymbol {p}}_{k})$ ${\ Displaystyle (X_ {k}, {\ boldsymbol {p}} _ {k})}$ $(X_ {k}, {\ boldsymbol {p}} _ {k})$ cu $k=1,...,n$ ${\ Displaystyle k = 1, ..., n}$ $k = 1, ..., n$ , Este interpolate prin aplicarea procedurii de mai sus pe fiecare sub-interval, unde tangentele sunt alese într-un mod adecvat. Tangentele pentru intervale care împărtășesc aceleași puncte finale sunt egale.

Alegerea tangentele nu este unic și există mai multe metode care pot fi aplicate.

diferențe finite

Cea mai simpla alegere este diferenta de 3 puncte și nu necesită o lungime constantă a intervalului,

{\boldsymbol {m}}_{k}={\frac {{\boldsymbol {p}}_{k+1}-{\boldsymbol {p}}_{k}}{2(x_{k+1}-x_{k})}}+{\frac {{\boldsymbol {p}}_{k}-{\boldsymbol {p}}_{k-1}}{2(x_{k}-x_{k-1})}}

{\ Displaystyle {\ boldsymbol {m}} _ {k} = {\ frac {{\ boldsymbol {p}} _ {k + 1} - {\ boldsymbol {p}} _ {k}} {2 (X_ { k + 1} -x_ {k})}} + {\ frac {{\ boldsymbol {p}} _ {k} - {\ boldsymbol {p}} _ {k-1}} {2 (X_ {k} -x_ {k-1})}}}

{\ Boldsymbol {m}} _ {k} = {\ frac {{\ boldsymbol {p}} _ {{k + 1}} - {\ boldsymbol {p}} _ {{k}}} {2 (X_ {{k + 1}} - x _ {{k}})}} + {\ frac {{\ boldsymbol {p}} _ {{k}} - {\ boldsymbol {p}} _ {{k-1 }}} {2 (x _ {{k}} - x _ {{k-1}})}}

pentru punctele interne $k=2,...,n-1$ ${\ Displaystyle k = 2, ..., n-1}$ $k = 2, ..., n-1$ .

Cardinalul spline

Se obține o spline cardinal ^[1] dacă

{\boldsymbol {m}}_{k}=(1-c){\frac {{\boldsymbol {p}}_{k+1}-{\boldsymbol {p}}_{k-1}}{2}}

{\ Displaystyle {\ boldsymbol {m}} _ {k} = (1-c) {\ frac {{\ boldsymbol {p}} _ {k + 1} - {\ boldsymbol {p}} _ {k-1 }} {2}}}

{\ Boldsymbol {m}} _ {k} = (1-c) {\ frac {{\ boldsymbol {p}} _ {{k + 1}} - {\ boldsymbol {p}} _ {{k-1 }}} {2}}

utilizate pentru a tangentele calculeazÄƒ. Parametrul $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ Tensiunea a declarat este în intervalul $(0,1)$ ${\ displaystyle (0,1)}$ $(0,1)$ . Reprezintă „lungimea“ a tangentei. $c=1$ ${\ displaystyle c = 1}$ $c = 1$ implică zero, mită lungi și $c=0$ ${\ displaystyle c = 0}$ $c = 0$ ușă în cazul Catmull-Rom tip spline.

Spline de Catmull - Rom

Pentru mită se aplică

{\boldsymbol {m}}_{k}={\frac {{\boldsymbol {p}}_{k+1}-{\boldsymbol {p}}_{k-1}}{2}}

{\ Displaystyle {\ boldsymbol {m}} _ {k} = {\ frac {{\ boldsymbol {p}} _ {k + 1} - {\ boldsymbol {p}} _ {k-1}} {2} }}

{\ Boldsymbol {m}} _ {k} = {\ frac {{\ boldsymbol {p}} _ {{k + 1}} - {\ boldsymbol {p}} _ {{k-1}}} {2 }}

Spline Catmull-Rom este obținut ca un caz special al spline cardinal.

Curba este numit dupa Edwin Catmull si Raphael Rom (Raphie) . În grafica pe calculator , canelurile Catmull-Rom sunt folosite pentru a face un efect moale de interpolare între cadrele cheie ale unui videoclip.

Kochanek - Bartels spline

Un spline Kochanek-Bartels este o generalizare a unui mod de calculare a tangentelor pornind de la punctele ${\boldsymbol {p}}_{k-1}$ ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {p}} _ {k-1}}$ ${\ Boldsymbol {p}} _ {{k-1}}$ , ${\boldsymbol {p}}_{k}$ ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {p}} _ {k}}$ ${\ Boldsymbol {p}} _ {k}$ Și ${\boldsymbol {p}}_{k+1}$ ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {p}} _ {k + 1}}$ ${\ Boldsymbol {p}} _ {{k + 1}}$ , În cazul în care există 3 posibile parametrii menționați de tensiune, prejudecată și continuitate.

Notă

^ Cardinal Spline de la Microsoft Developer rețea

Bibliografie

Catmull, Edwin și romi, Raphael, o clasă de spline interpolate locale, în Barnhill RE și RF Riesenfed (eds.), Computer Aided Geometric Proiectarea, Academic Press, New York, 1974, 317-326.

linkuri externe

Introducere în Catmull-Rom spline , MVPs.org
Catmull-Rom spline - Indopedia, The Indological Enciclopedia pe indopedia.org.
Interpolarea Cardinal și spline Catmull-Rom pe ibiblio.org.
Metode de interpolare: liniara, cosinus, cubică și Hermite (cu surse C) , pe local.wasp.uwa.edu.au. Adus de 23 august 2009 (depusă de „URL - ul original , 15 septembrie 2008).
Homepage Rapahel Rom pe webee.technion.ac.il.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu matematica

[1] Cardinal Spline de la Microsoft Developer rețea

[1]