Teorema lui Gell-Mann și a lui Low

Teorema Gell-Mann și Low este o teoremă în teoria câmpului cuantic care permite să relaționeze starea de bază (sau vidul) unui sistem de interacțiune cu starea de bază corespunzătoare a teoriei fără interacțiune. A fost demonstrată în 1951 de Murray Gell-Mann și Francis E. Low. Teorema este utilă deoarece, printre altele, prin raportarea stării fundamentale a sistemului de interacțiune cu starea sa fundamentală fără interacțiune, ne permite să exprimăm funcțiile lui Green (care sunt definite ca valori de așteptare ale câmpurilor în reprezentarea Heisenberg pe vid cu interacțiune) ca valori de așteptare ale câmpurilor din reprezentarea interacțiunii pe vid fără interacțiune. Deși se aplică în mod obișnuit la starea fundamentală, teorema Gell-Mann și Low se aplică oricărui stat propriu al hamiltonienului. Dovada sa se bazează pe conceptul unui sistem inițial care nu interacționează, în care interacțiunea este activată într-un mod adiabatic.

Istorie

Teorema a fost dovedită pentru prima dată de Gell-Mann și Low în 1951, cu utilizarea seriei Dyson . În 1969, Klaus Hepp a furnizat o dovadă alternativă în cazul în care Hamiltonianul original descrie particule libere și potențialul de interacțiune este limitat în normă. În 1989, Nenciu și Rasche au demonstrat acest lucru prin intermediul teoremei adiabatice . O dovadă care nu folosește seria Dyson a fost formulată în 2007 de Luca Guido Molinari.

Enunțarea teoremei

Este $|\Psi _{0}\rangle$ ${\ displaystyle | \ Psi _ {0} \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ Psi _ {0} \ rangle}$ un stat propriu al $H_{0}$ ${\ displaystyle H_ {0}}$ $H_ {0}$ cu valoare proprie $E_{0}$ ${\ displaystyle E_ {0}}$ $E_ {0}$ și fie $H=H_{0}+gV$ ${\ displaystyle H = H_ {0} + gV}$ ${\ displaystyle H = H_ {0} + gV}$ , unde este $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ este o constantă de cuplare și $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ operatorul de interacțiune. Definim hamiltonienul $H_{\epsilon }=H_{0}+e^{-\epsilon |t|}gV$ ${\ displaystyle H _ {\ epsilon} = H_ {0} + e ^ {- \ epsilon | t |} gV}$ ${\ displaystyle H _ {\ epsilon} = H_ {0} + e ^ {- \ epsilon | t |} gV}$ care interpola $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ Și $H_{0}$ ${\ displaystyle H_ {0}}$ $H_ {0}$ în limitele $\epsilon \rightarrow 0^{+}$ ${\ displaystyle \ epsilon \ rightarrow 0 ^ {+}}$ ${\ displaystyle \ epsilon \ rightarrow 0 ^ {+}}$ Și $|t|\rightarrow \infty$ ${\ displaystyle | t | \ rightarrow \ infty}$ ${\ displaystyle | t | \ rightarrow \ infty}$ . Este $U_{\epsilon I}$ ${\ displaystyle U _ {\ epsilon I}}$ ${\ displaystyle U _ {\ epsilon I}}$ operatorul de evoluție a timpului în reprezentarea interacțiunii. Teorema Gell-Mann și Low afirmă că dacă limita pentru $\epsilon \rightarrow 0^{+}$ ${\ displaystyle \ epsilon \ rightarrow 0 ^ {+}}$ ${\ displaystyle \ epsilon \ rightarrow 0 ^ {+}}$

|\Psi _{\epsilon }^{(\pm )}\rangle ={\frac {U_{\epsilon I}(0,\pm \infty )|\Psi _{0}\rangle }{\langle \Psi _{0}|U_{\epsilon I}(0,\pm \infty )|\Psi _{0}\rangle }}

{\ displaystyle | \ Psi _ {\ epsilon} ^ {(\ pm)} \ rangle = {\ frac {U _ {\ epsilon I} (0, \ pm \ infty) | \ Psi _ {0} \ rangle} {\ langle \ Psi _ {0} | U _ {\ epsilon I} (0, \ pm \ infty) | \ Psi _ {0} \ rangle}}}

{\ displaystyle | \ Psi _ {\ epsilon} ^ {(\ pm)} \ rangle = {\ frac {U _ {\ epsilon I} (0, \ pm \ infty) | \ Psi _ {0} \ rangle} {\ langle \ Psi _ {0} | U _ {\ epsilon I} (0, \ pm \ infty) | \ Psi _ {0} \ rangle}}}

există, atunci $|\Psi _{\epsilon }^{(\pm )}\rangle$ ${\ displaystyle | \ Psi _ {\ epsilon} ^ {(\ pm)} \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ Psi _ {\ epsilon} ^ {(\ pm)} \ rangle}$ sunt stări proprii ale $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ .

Rețineți că, dacă teorema este aplicată, de exemplu, la starea de bază, nu garantează că starea evoluată va fi starea de bază. Cu alte cuvinte, nu este exclus ca nivelurile de energie să poată trece.

Demonstrație

Teorema este de obicei dovedită cu utilizarea expansiunii din seria Dyson a operatorului de evoluție a timpului. Cu toate acestea, validitatea sa se extinde dincolo de sfera teoriei perturbării, așa cum arată Molinari. Aici urmărim metoda lui Molinari. Sa luam in considerare $H_{\epsilon }$ ${\ displaystyle H _ {\ epsilon}}$ ${\ displaystyle H _ {\ epsilon}}$ iar noi scriem $g=e^{\epsilon \theta }$ ${\ displaystyle g = e ^ {\ epsilon \ theta}}$ ${\ displaystyle g = e ^ {\ epsilon \ theta}}$ . Din ecuația Schrödinger pentru operatorul de evoluție a timpului

i\hbar \partial _{t_{1}}U_{\epsilon }(t_{1},t_{2})=H_{\epsilon }(t_{1})U_{\epsilon }(t_{1},t_{2})

{\ displaystyle i \ hbar \ partial _ {t_ {1}} U _ {\ epsilon} (t_ {1}, t_ {2}) = H _ {\ epsilon} (t_ {1}) U _ {\ epsilon } (t_ {1}, t_ {2})}

{\ displaystyle i \ hbar \ partial _ {t_ {1}} U _ {\ epsilon} (t_ {1}, t_ {2}) = H _ {\ epsilon} (t_ {1}) U _ {\ epsilon } (t_ {1}, t_ {2})}

cu condiția inițială $U_{\epsilon }(t_{2},t_{2})=1$ ${\ displaystyle U _ {\ epsilon} (t_ {2}, t_ {2}) = 1}$ ${\ displaystyle U _ {\ epsilon} (t_ {2}, t_ {2}) = 1}$ putem scrie formal

U_{\epsilon }(t_{1},t_{2})=1+{\frac {1}{i\hbar }}\int _{t_{2}}^{t_{1}}dt'(H_{0}+e^{\epsilon (\theta -|t'|)}V)U_{\epsilon }(t',t_{2}).

{\ displaystyle U _ {\ epsilon} (t_ {1}, t_ {2}) = 1 + {\ frac {1} {i \ hbar}} \ int _ {t_ {2}} ^ {t_ {1} } dt '(H_ {0} + e ^ {\ epsilon (\ theta - | t' |)} V) U _ {\ epsilon} (t ', t_ {2}).}

{\ displaystyle U _ {\ epsilon} (t_ {1}, t_ {2}) = 1 + {\ frac {1} {i \ hbar}} \ int _ {t_ {2}} ^ {t_ {1} } dt '(H_ {0} + e ^ {\ epsilon (\ theta - | t' |)} V) U _ {\ epsilon} (t ', t_ {2}).}

Să ne concentrăm asupra cazului pentru moment $0\geq t_{1}\geq t_{2}$ ${\ displaystyle 0 \ geq t_ {1} \ geq t_ {2}}$ ${\ displaystyle 0 \ geq t_ {1} \ geq t_ {2}}$ . Cu o schimbare de variabile pe care le avem

U_{\epsilon }(t_{1},t_{2})=1+{\frac {1}{i\hbar }}\int _{\theta +t_{2}}^{\theta +t_{1}}dt'(H_{0}+e^{\epsilon t'}V)U_{\epsilon }(t'-\theta ,t_{2}),

{\ displaystyle U _ {\ epsilon} (t_ {1}, t_ {2}) = 1 + {\ frac {1} {i \ hbar}} \ int _ {\ theta + t_ {2}} ^ {\ theta + t_ {1}} dt '(H_ {0} + e ^ {\ epsilon t'} V) U _ {\ epsilon} (t '- \ theta, t_ {2}),}

{\ displaystyle U _ {\ epsilon} (t_ {1}, t_ {2}) = 1 + {\ frac {1} {i \ hbar}} \ int _ {\ theta + t_ {2}} ^ {\ theta + t_ {1}} dt '(H_ {0} + e ^ {\ epsilon t'} V) U _ {\ epsilon} (t '- \ theta, t_ {2}),}

din care primim

\partial _{\theta }U_{\epsilon }(t_{1},t_{2})=\epsilon g\partial _{g}U_{\epsilon }(t_{1},t_{2})=\partial _{t_{1}}U_{\epsilon }(t_{1},t_{2})+\partial _{t_{2}}U_{\epsilon }(t_{1},t_{2}).

{\ displaystyle \ partial _ {\ theta} U _ {\ epsilon} (t_ {1}, t_ {2}) = \ epsilon g \ partial _ {g} U _ {\ epsilon} (t_ {1}, t_ {2}) = \ partial _ {t_ {1}} U _ {\ epsilon} (t_ {1}, t_ {2}) + \ partial _ {t_ {2}} U _ {\ epsilon} (t_ { 1}, t_ {2}).}

{\ displaystyle \ partial _ {\ theta} U _ {\ epsilon} (t_ {1}, t_ {2}) = \ epsilon g \ partial _ {g} U _ {\ epsilon} (t_ {1}, t_ {2}) = \ partial _ {t_ {1}} U _ {\ epsilon} (t_ {1}, t_ {2}) + \ partial _ {t_ {2}} U _ {\ epsilon} (t_ { 1}, t_ {2}).}

Acest rezultat se combină cu ecuația Schrödinger și adăugarea sa

-i\hbar \partial _{t_{1}}U_{\epsilon }(t_{2},t_{1})=U_{\epsilon }(t_{2},t_{1})H_{\epsilon }(t_{1})

{\ displaystyle -i \ hbar \ partial _ {t_ {1}} U _ {\ epsilon} (t_ {2}, t_ {1}) = U _ {\ epsilon} (t_ {2}, t_ {1} ) H_ {\ epsilon} (t_ {1})}

{\ displaystyle -i \ hbar \ partial _ {t_ {1}} U _ {\ epsilon} (t_ {2}, t_ {1}) = U _ {\ epsilon} (t_ {2}, t_ {1} ) H_ {\ epsilon} (t_ {1})}

a obtine

i\hbar \epsilon g\partial _{g}U_{\epsilon }(t_{1},t_{2})=H_{\epsilon }(t_{1})U_{\epsilon }(t_{1},t_{2})-U_{\epsilon }(t_{1},t_{2})H_{\epsilon }(t_{2}).

{\ displaystyle i \ hbar \ epsilon g \ partial _ {g} U _ {\ epsilon} (t_ {1}, t_ {2}) = H _ {\ epsilon} (t_ {1}) U _ {\ epsilon } (t_ {1}, t_ {2}) - U _ {\ epsilon} (t_ {1}, t_ {2}) H _ {\ epsilon} (t_ {2}).}

{\ displaystyle i \ hbar \ epsilon g \ partial _ {g} U _ {\ epsilon} (t_ {1}, t_ {2}) = H _ {\ epsilon} (t_ {1}) U _ {\ epsilon } (t_ {1}, t_ {2}) - U _ {\ epsilon} (t_ {1}, t_ {2}) H _ {\ epsilon} (t_ {2}).}

Ecuația corespunzătoare dintre $H_{\epsilon I},U_{\epsilon I}$ ${\ displaystyle H _ {\ epsilon I}, U _ {\ epsilon I}}$ ${\ displaystyle H _ {\ epsilon I}, U _ {\ epsilon I}}$ e la fel. Se poate obține prin înmulțirea celor două laturi din stânga cu $e^{iH_{0}t_{1}/\hbar }$ ${\ displaystyle e ^ {iH_ {0} t_ {1} / \ hbar}}$ ${\ displaystyle e ^ {iH_ {0} t_ {1} / \ hbar}}$ , multiplicându-se la dreapta cu $e^{iH_{0}t_{2}/\hbar }$ ${\ displaystyle e ^ {iH_ {0} t_ {2} / \ hbar}}$ ${\ displaystyle e ^ {iH_ {0} t_ {2} / \ hbar}}$ și folosind ecuația

U_{\epsilon I}(t_{1},t_{2})=e^{iH_{0}t_{1}/\hbar }U_{\epsilon }(t_{1},t_{2})e^{-iH_{0}t_{2}/\hbar }.

{\ displaystyle U _ {\ epsilon I} (t_ {1}, t_ {2}) = e ^ {iH_ {0} t_ {1} / \ hbar} U _ {\ epsilon} (t_ {1}, t_ {2}) și ^ {- iH_ {0} t_ {2} / \ hbar}.}

{\ displaystyle U _ {\ epsilon I} (t_ {1}, t_ {2}) = e ^ {iH_ {0} t_ {1} / \ hbar} U _ {\ epsilon} (t_ {1}, t_ {2}) și ^ {- iH_ {0} t_ {2} / \ hbar}.}

Celălalt caz care ne interesează, adică $t_{2}\geq t_{1}\geq 0$ ${\ displaystyle t_ {2} \ geq t_ {1} \ geq 0}$ ${\ displaystyle t_ {2} \ geq t_ {1} \ geq 0}$ poate fi tratat în mod similar și dă un semn opus celui de-al doilea membru (nu ne interesează unde $t_{1,2}$ ${\ displaystyle t_ {1,2}}$ ${\ displaystyle t_ {1,2}}$ au semne diferite). În rezumat, am obținut-o

\left(H_{\epsilon ,t=0}-E_{0}\pm i\hbar \epsilon g\partial _{g}\right)U_{\epsilon I}(0,\pm \infty )|\Psi _{0}\rangle =0.

{\ displaystyle \ left (H _ {\ epsilon, t = 0} -E_ {0} \ pm i \ hbar \ epsilon g \ partial _ {g} \ right) U _ {\ epsilon I} (0, \ pm \ infty) | \ Psi _ {0} \ rangle = 0.}

{\ displaystyle \ left (H _ {\ epsilon, t = 0} -E_ {0} \ pm i \ hbar \ epsilon g \ partial _ {g} \ right) U _ {\ epsilon I} (0, \ pm \ infty) | \ Psi _ {0} \ rangle = 0.}

Să continuăm pentru cazul timpurilor negative. Prin abrevierea diferiților operatori pentru claritate,

i\hbar \epsilon g\partial _{g}\left(U|\Psi _{0}\rangle \right)=(H_{\epsilon }-E_{0})U|\Psi _{0}\rangle .

{\ displaystyle i \ hbar \ epsilon g \ partial _ {g} \ left (U | \ Psi _ {0} \ rangle \ right) = (H _ {\ epsilon} -E_ {0}) U | \ Psi _ {0} \ rangle.}

{\ displaystyle i \ hbar \ epsilon g \ partial _ {g} \ left (U | \ Psi _ {0} \ rangle \ right) = (H _ {\ epsilon} -E_ {0}) U | \ Psi _ {0} \ rangle.}

Acum, folosind definiția $\Psi _{\epsilon }$ ${\ displaystyle \ Psi _ {\ epsilon}}$ ${\ displaystyle \ Psi _ {\ epsilon}}$ îl diferențiem și înlocuim derivata $\partial _{g}(U|\Psi _{0}\rangle )$ ${\ displaystyle \ partial _ {g} (U | \ Psi _ {0} \ rangle)}$ ${\ displaystyle \ partial _ {g} (U | \ Psi _ {0} \ rangle)}$ folosind ultimul rezultat, constatând că

{\begin{aligned}i\hbar \epsilon g\partial _{g}|\Psi _{\epsilon }\rangle &={\frac {1}{\langle \Psi _{0}|U|\Psi _{0}\rangle }}(H_{\epsilon }-E_{0})U|\Psi _{0}\rangle -{\frac {U|\Psi _{0}\rangle }{{\langle \Psi _{0}|U|\Psi _{0}\rangle }^{2}}}\langle \Psi _{0}|H_{\epsilon }-E_{0}|\Psi _{0}\rangle \\&=(H_{\epsilon }-E_{0})|\Psi _{\epsilon }\rangle -|\Psi _{\epsilon }\rangle \langle \Psi _{0}|H_{\epsilon }-E_{0}|\Psi _{\epsilon }\rangle \\&=\left[H_{\epsilon }-E\right]|\Psi _{\epsilon }\rangle .\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} i \ hbar \ epsilon g \ partial _ {g} | \ Psi _ {\ epsilon} \ rangle & = {\ frac {1} {\ langle \ Psi _ {0} | U | \ Psi _ {0} \ rangle}} (H _ {\ epsilon} -E_ {0}) U | \ Psi _ {0} \ rangle - {\ frac {U | \ Psi _ {0} \ rangle} {{\ langle \ Psi _ {0} | U | \ Psi _ {0} \ rangle} ^ {2}}} \ langle \ Psi _ {0} | H _ {\ epsilon} -E_ {0} | \ Psi _ {0} \ rangle \\ & = (H _ {\ epsilon} -E_ {0}) | \ Psi _ {\ epsilon} \ rangle - | \ Psi _ {\ epsilon} \ rangle \ langle \ Psi _ {0} | H _ {\ epsilon} -E_ {0} | \ Psi _ {\ epsilon} \ rangle \\ & = \ left [H _ {\ epsilon} -E \ right] | \ Psi _ {\ epsilon } \ rangle. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} i \ hbar \ epsilon g \ partial _ {g} | \ Psi _ {\ epsilon} \ rangle & = {\ frac {1} {\ langle \ Psi _ {0} | U | \ Psi _ {0} \ rangle}} (H _ {\ epsilon} -E_ {0}) U | \ Psi _ {0} \ rangle - {\ frac {U | \ Psi _ {0} \ rangle} {{\ langle \ Psi _ {0} | U | \ Psi _ {0} \ rangle} ^ {2}}} \ langle \ Psi _ {0} | H _ {\ epsilon} -E_ {0} | \ Psi _ {0} \ rangle \\ & = (H _ {\ epsilon} -E_ {0}) | \ Psi _ {\ epsilon} \ rangle - | \ Psi _ {\ epsilon} \ rangle \ langle \ Psi _ {0} | H _ {\ epsilon} -E_ {0} | \ Psi _ {\ epsilon} \ rangle \\ & = \ left [H _ {\ epsilon} -E \ right] | \ Psi _ {\ epsilon } \ rangle. \ end {align}}}

unde este $E=E_{0}+\langle \Psi _{0}|H_{\epsilon }-H_{0}|\Psi _{\epsilon }\rangle$ ${\ displaystyle E = E_ {0} + \ langle \ Psi _ {0} | H _ {\ epsilon} -H_ {0} | \ Psi _ {\ epsilon} \ rangle}$ ${\ displaystyle E = E_ {0} + \ langle \ Psi _ {0} | H _ {\ epsilon} -H_ {0} | \ Psi _ {\ epsilon} \ rangle}$ . În acest moment putem face limita $\epsilon \rightarrow 0^{+}$ ${\ displaystyle \ epsilon \ rightarrow 0 ^ {+}}$ ${\ displaystyle \ epsilon \ rightarrow 0 ^ {+}}$ dat fiind că prin ipoteză $g\partial _{g}|\Psi _{\epsilon }\rangle$ ${\ displaystyle g \ partial _ {g} | \ Psi _ {\ epsilon} \ rangle}$ ${\ displaystyle g \ partial _ {g} | \ Psi _ {\ epsilon} \ rangle}$ la membrul din stânga admite limita. Rezultă atunci că $|\Psi _{\epsilon }\rangle$ ${\ displaystyle | \ Psi _ {\ epsilon} \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ Psi _ {\ epsilon} \ rangle}$ este un stat propriu al $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ .

Bibliografie

M. Gell-Mann și F. Low: „Bound States in Quantum Field Theory”, Phys. Rev. 84, 350 (1951)
K. Hepp: Lecture Notes in Physics (Springer-Verlag, New York, 1969), Vol. 2.
G. Nenciu și G. Rasche: „Teorema adiabatică și formula Gell-Mann-Low”, Helv. Fizic. Acta 62, 372 (1989).
LG Molinari: „O altă dovadă a teoremei lui Gell-Mann și Low”, J. Math. Fizic. 48, 052113 (2007)
AL Fetter și JD Walecka: „Teoria cuantică a sistemelor cu multe particule”, McGraw - Hill (1971)

Portal cuantic : Accesați intrările Wikipedia care se ocupă de cuantică