Teorema lui Haga

Teorema este o Haga teoremă privind matematica de origami , care studiile modul în care acestea pot fi folosite pentru a ajunge la soluția unei probleme matematice sau geometrice.

Construcția teoremei Haga

teorema

Teorema Haga a fost declarat de entomologul Kazuo Haga. Se afirmă că

„Dacă pe partea

LA B.

${\ Displaystyle AB}$ $AB$ a unei foi pătrate

LA B. C. D.

${\ Displaystyle ABCD}$ $ABCD$ un segment este fix

LA ȘI

${\ Displaystyle AE}$ $AE$ astfel încât relația sa cu partea a pătrat este

X

${\ Displaystyle x}$ $X$ , Ducând apoi vârful

D.

${\ D displaystyle}$ $D.$ în

ȘI

${\ E displaystyle}$ $ȘI$ prin pliul

F. G.

${\ Displaystyle FG}$ ${\ Displaystyle FG}$ , latura

C. D.

${\ CD displaystyle}$ $CD$ intersecteaza

B. G.

${\ Displaystyle BG}$ ${\ Displaystyle BG}$ în punctul

H.

${\ H} displaystyle$ $H.$ astfel încât:

BH={\frac {2x}{(x+1)}}

${\ Displaystyle BH = {\ frac {2x} {(x + 1)}}}$ ${\ Displaystyle BH = {\ frac {2x} {(x + 1)}}}$ .

Deci, care transportă

B.

${\ displaystyle B}$ $B.$ să se suprapună

H.

${\ H} displaystyle$ $H.$ , Se desparte în jumătate

B. H.

{\ Displaystyle BH}

{\ Displaystyle BH}

obținându -se astfel un segment:

{\frac {1}{2}}BH={\frac {x}{(x+1)}}

${\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} BH = {\ frac {x} {(x + 1)}}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} BH = {\ frac {x} {(x + 1)}}}$ . "

Exemple:

De sine $ȘI$ ${\ E displaystyle}$ $ȘI$ este punctul de mijloc $LA B.$ ${\ Displaystyle AB}$ $AB$ , asa de $x={\frac {1}{2}}$ ${\ Displaystyle x = {\ frac {1} {2}}}$ ${\ Displaystyle x = {\ frac {1} {2}}}$ ; $BH={\frac {2}{3}}$ ${\ Displaystyle BH = {\ frac {2} {3}}}$ ${\ Displaystyle BH = {\ frac {2} {3}}}$ ; ${\frac {1}{2}}BH={\frac {1}{3}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} BH = {\ frac {1} {3}}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} BH = {\ frac {1} {3}}}$ .

De sine $ȘI$ ${\ E displaystyle}$ $ȘI$ diviziunilor $LA B.$ ${\ Displaystyle AB}$ $AB$ în patru părți, atunci $x={\frac {1}{4}}$ ${\ Displaystyle x = {\ frac {1} {4}}}$ ${\ Displaystyle x = {\ frac {1} {4}}}$ ; $BH={\frac {2}{5}}$ ${\ Displaystyle BH = {\ frac {2} {5}}}$ ${\ Displaystyle BH = {\ frac {2} {5}}}$ ; ${\frac {1}{2}}BH={\frac {1}{5}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} BH = {\ frac {1} {5}}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} BH = {\ frac {1} {5}}}$ .
De sine $AB=10$ ${\ Displaystyle AB = 10}$ ${\ Displaystyle AB = 10}$ Și $AE=3$ ${\ Displaystyle AE = 3}$ ${\ Displaystyle AE = 3}$ plece, atunci $x={\frac {3}{10}}$ ${\ Displaystyle x = {\ frac {3} {10}}}$ ${\ Displaystyle x = {\ frac {3} {10}}}$ ; $BH={\frac {6}{13}}$ ${\ Displaystyle BH = {\ frac {6} {13}}}$ ${\ Displaystyle BH = {\ frac {6} {13}}}$ ; ${\frac {1}{2}}BH={\frac {3}{13}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} BH = {\ frac {3} {13}}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} BH = {\ frac {3} {13}}}$ .
În general, dacă $x={\frac {AE}{AB}}={\frac {n}{m}}$ ${\ Displaystyle x = {\ frac {AE} {AB}} = {\ frac {n} {m}}}$ ${\ Displaystyle x = {\ frac {AE} {AB}} = {\ frac {n} {m}}}$ asa de $BH={\frac {2n}{n+m}}$ ${\ Displaystyle BH = {\ frac {2n} {n + m}}}$ ${\ Displaystyle BH = {\ frac {2n} {n + m}}}$ Și ${\frac {1}{2}}BH={\frac {n}{n+m}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} BH = {\ frac {n} {n + m}}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} BH = {\ frac {n} {n + m}}}$ .

Demonstrație

triunghiurile $LA ȘI F.$ ${\ Displaystyle AEF}$ ${\ Displaystyle AEF}$ Și $ȘI B. H.$ ${\ Displaystyle EBH}$ ${\ Displaystyle EBH}$ sunt similare (pentru primul criteriu de similitudine, având două unghiuri egale) și, prin urmare, următoarea proporție deține: $BH:EB=AE:AF$ ${\ Displaystyle BH: EB = AE: AF}$ ${\ Displaystyle BH: EB = AE: AF}$ .

Prin plasarea, fără a afecta generalitatea, latura pătratului egal cu 1 avem că $AE=x$ ${\ Displaystyle AE = x}$ ${\ Displaystyle AE = x}$ Și $EB=AB-AE=1-x$ ${\ Displaystyle EB = AB-AE = 1-x}$ ${\ Displaystyle EB = AB-AE = 1-x}$

Aplicând teorema lui Pitagora la triunghiul dreapta $LA ȘI F.$ ${\ Displaystyle AEF}$ ${\ Displaystyle AEF}$ da ai $AF^{2}+AE^{2}=FE^{2}$ ${\ Displaystyle AF ^ {2} + AE ^ {2} = FE ^ {2}}$ ${\ Displaystyle AF ^ {2} + AE ^ {2} = FE ^ {2}}$

Atâta timp cât $EF=FD=AD-AF=1-AF$ ${\ Displaystyle EF = FD = AD-AF = 1-AF}$ ${\ Displaystyle EF = FD = AD-AF = 1-AF}$ da ai $AF^{2}+AE^{2}=(1-AF)^{2}$ ${\ Displaystyle AF ^ {2} + AE ^ {2} = (1-AF) ^ {2}}$ ${\ Displaystyle AF ^ {2} + AE ^ {2} = (1-AF) ^ {2}}$ prin urmare $AF={\frac {(1-AE^{2})}{2}}={\frac {(1-x^{2})}{2}}$ ${\ Displaystyle AF = {\ frac {(1-AE ^ {2})} {2}} = {\ frac {(1-x ^ {2})} {2}}}$ ${\ Displaystyle AF = {\ frac {(1-AE ^ {2})} {2}} = {\ frac {(1-x ^ {2})} {2}}}$ .

Substituind în proporție obținem: $BH={\frac {2x(1-x)}{(1-x^{2})}}={\frac {2x}{(1+x)}}$ ${\ Displaystyle BH = {\ frac {2x (1-x)} {(1-x ^ {2})}} = {\ frac {2x} {(1 + x)}}}$ ${\ Displaystyle BH = {\ frac {2x (1-x)} {(1-x ^ {2})}} = {\ frac {2x} {(1 + x)}}}$

Triunghiuri „egiptene“

Numai în cazurile în care $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ împarte latura pătratului în 2 sau 3 părți avem cele două triunghiuri $LA ȘI F.$ ${\ Displaystyle AEF}$ ${\ Displaystyle AEF}$ Și $B. H. ȘI$ ${\ Displaystyle BHE}$ ${\ Displaystyle BHE}$ ei sunt „egipteni“ de dreapta triunghiuri în unghi , care este construit pe pitagoreana triplu 3, 4, 5. Deoarece triunghiuri în cauză sunt similare, va fi suficient pentru a stabili raționamentul doar pe triunghiul $LA ȘI F.$ ${\ Displaystyle AEF}$ ${\ Displaystyle AEF}$ .

Noi impune condiții pentru ca picioarele acestor triunghiuri unghi-dreapta sunt, respectiv, 3 și 4 ori multipli de aceeași dimensiune $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ (Din care, prin teorema lui Pitagora, rezultă că ipotenuza va fi de 5 ori).

Două cazuri sunt posibile: $AE=x=3a$ ${\ Displaystyle AE = x = 3a}$ ${\ Displaystyle AE = x = 3a}$ Și $AF={\frac {(1-x^{2})}{2}}=4a$ ${\ Displaystyle AF = {\ frac {(1-x ^ {2})} {2}}} = 4a$ ${\ Displaystyle AF = {\ frac {(1-x ^ {2})} {2}}} = 4a$ sau vice versa, $AE=x=4a$ ${\ Displaystyle AE = x = 4a}$ ${\ Displaystyle AE = x = 4a}$ Și $AF={\frac {(1-x^{2})}{2}}=3a$ ${\ Displaystyle AF = {\ frac {(1-x ^ {2})} {2}} = 3a}$ ${\ Displaystyle AF = {\ frac {(1-x ^ {2})} {2}} = 3a}$ .

În primul caz, avem: $a={\frac {x}{3}}$ ${\ Displaystyle a = {\ frac {x} {3}}}$ ${\ Displaystyle a = {\ frac {x} {3}}}$ ; ${\frac {(1-x^{2})}{2}}={\frac {4x}{3}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {(1-x ^ {2})} {2}} = {\ frac {4x} {3}}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {(1-x ^ {2})} {2}} = {\ frac {4x} {3}}}$ din care rezultă: $3-3x^{2}=8x$ ${\ Displaystyle 3-3x ^ {2} = 8x}$ ${\ Displaystyle 3-3x ^ {2} = 8x}$ care are doar o singură soluție pozitivă $x={\frac {1}{3}}$ ${\ Displaystyle x = {\ frac {1} {3}}}$ ${\ Displaystyle x = {\ frac {1} {3}}}$ .

În al doilea caz, avem: $a={\frac {x}{4}}$ ${\ Displaystyle a = {\ frac {x} {4}}}$ ${\ Displaystyle a = {\ frac {x} {4}}}$ ; ${\frac {(1-x^{2})}{2}}={\frac {3x}{4}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {(1-x ^ {2})} {2}} = {\ frac {3x} {4}}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {(1-x ^ {2})} {2}} = {\ frac {3x} {4}}}$ din care rezultă: $2-2x^{2}=3x$ ${\ Displaystyle 2-2x ^ {2} = 3x}$ ${\ Displaystyle 2-2x ^ {2} = 3x}$ care are doar o singură soluție pozitivă $x={\frac {1}{2}}$ ${\ Displaystyle x = {\ frac {1} {2}}}$ ${\ Displaystyle x = {\ frac {1} {2}}}$ .

BCV

Elemente conexe

linkuri externe

Origami și Geometrie (PDF), pe alexiscarrel.org.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică