Teorema cuantică a nediscriminării

Teorema nediscriminării cuantice afirmă că, având în vedere postulatele mecanicii cuantice , nu este posibil să se facă distincția cu certitudine între două stări neortogonale ale unui sistem cuantic din care este disponibilă doar o singură copie. În schimb, starea poate fi determinată cu o eroare . De asemenea, este posibil să se reducă eroarea la o cantitate mică după bunul plac , cu tehnici precum tomografia cuantică , prin creșterea adecvată a copiilor disponibile.

Teorema este echivalentă cu teorema cuantică fără clonare : prin clonarea unui număr suficient de ori starea ar fi în mod ideal posibilă pentru a o determina cu o eroare cât mai mică dorită. Este remarcabil faptul că, deși rezultatele celor două teoreme sunt în acord, ele derivă din postulate diferite. Teorema fără clonare utilizează de fapt doar postulatul de evoluție unitară, în timp ce teorema nediscriminării se bazează pe postulatul de măsurare.

Teorema este, de asemenea, legată de alte rezultate ale teoriei informației cuantice . În special, împiedică transferul de informații mai rapid decât lumina în cazul teleportării cuantice .

Enunțarea teoremei

Să luăm în considerare un sistem cuantic H și să presupunem că vrem să determinăm cu certitudine dacă H se află în una dintre cele două stări neortogonale

|\psi _{1}\rangle ,|\psi _{2}\rangle ,\langle \psi _{1}|\psi _{2}\rangle =\beta \neq 0

{\ displaystyle | \ psi _ {1} \ rangle, | \ psi _ {2} \ rangle, \ langle \ psi _ {1} | \ psi _ {2} \ rangle = \ beta \ neq 0}

{\ displaystyle | \ psi _ {1} \ rangle, | \ psi _ {2} \ rangle, \ langle \ psi _ {1} | \ psi _ {2} \ rangle = \ beta \ neq 0}

.

Pentru a realiza acest lucru ar fi necesar să aveți un POVM astfel încât

\langle \psi _{j}|E_{i}|\psi _{j}\rangle =\delta _{ij}

{\ displaystyle \ langle \ psi _ {j} | E_ {i} | \ psi _ {j} \ rangle = \ delta _ {ij}}

\ langle \ psi _ {j} | E_ {i} | \ psi _ {j} \ rangle = \ delta _ {{ij}}

.

adică o măsură care returnează indicele stării sistemului cu probabilitatea unu.

Teorema nediscriminării afirmă că un POVM cu aceste proprietăți nu poate exista .

Demonstrație

Dovada se va limita la cazul qubit pentru simplitate. Cu toate acestea, teorema este în general adevărată.

Este absurd să presupunem că POVM există. Atunci trebuie să fie

\langle \psi _{1}|E_{2}|\psi _{1}\rangle =0

{\ displaystyle \ langle \ psi _ {1} | E_ {2} | \ psi _ {1} \ rangle = 0}

\ langle \ psi _ {1} | E_ {2} | \ psi _ {1} \ rangle = 0

.

În special

{\sqrt {E_{2}}}|\psi _{1}\rangle =0

{\ displaystyle {\ sqrt {E_ {2}}} | \ psi _ {1} \ rangle = 0}

{\ sqrt {E_ {2}}} | \ psi _ {1} \ rangle = 0

unde cu ${\sqrt {E_{2}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {E_ {2}}}}$ ${\ sqrt {E_ {2}}}$ a fost indicată singura rădăcină pătrată pozitivă a operatorului pozitiv $E_{2}$ ${\ displaystyle E_ {2}}$ $E_ {2}$ .

Scrie acum

|\psi _{2}\rangle =\alpha |\phi \rangle +\beta |\psi _{1}\rangle

{\ displaystyle | \ psi _ {2} \ rangle = \ alpha | \ phi \ rangle + \ beta | \ psi _ {1} \ rangle}

| \ psi _ {2} \ rangle = \ alpha | \ phi \ rangle + \ beta | \ psi _ {1} \ rangle

unde este $|\phi \rangle$ ${\ displaystyle | \ phi \ rangle}$ $| \ phi \ rangle$ Și $|\psi _{1}\rangle$ ${\ displaystyle | \ psi _ {1} \ rangle}$ $| \ psi _ {1} \ rangle$ formează o bază ortonormală pentru qubit și trebuie să fie