Teoremele lui Gershgorin

În matematică , teoremele lui Gershgorin sunt câteva teoreme privind localizarea valorilor proprii ale unei matrice în câmpul complex . Numele lor se datorează matematicianului bielorus Semyon Aranovich Gershgorin .

Cercurile din Gershgorin

O definiție de importanță fundamentală în înțelegerea acestor teoreme este cea a cercului lui Gershgorin.

Este $A=(a_{ij})$ ${\ displaystyle A = (a_ {ij})}$ ${\ displaystyle A = (a_ {ij})}$ o matrice în $\mathbb {C} ^{n\times n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n \ times n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n \ times n}}$ . Luați în considerare elementul $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ -alea $a_{ii}$ ${\ displaystyle a_ {ii}}$ $a_ {ii}$ a diagonalei principale a $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ și suma modulelor elementelor din afara diagonalei:

R_{i}(A)=\sum _{j=1,\,j\neq i}^{n}|a_{ij}|.

{\ displaystyle R_ {i} (A) = \ sum _ {j = 1, \, j \ neq i} ^ {n} | a_ {ij} |.}

{\ displaystyle R_ {i} (A) = \ sum _ {j = 1, \, j \ neq i} ^ {n} | a_ {ij} |.}

Aceste două cantități identifică subsetul planului complex:

K_{i}:=\{z\in \mathbb {C} :|z-a_{ii}|\leq R_{i}(A)\},

{\ displaystyle K_ {i}: = \ {z \ in \ mathbb {C}: | z-a_ {ii} | \ leq R_ {i} (A) \},}

{\ displaystyle K_ {i}: = \ {z \ in \ mathbb {C}: | z-a_ {ii} | \ leq R_ {i} (A) \},}

corespunzător unui disc de rază $R_{i}(A)$ ${\ displaystyle R_ {i} (A)}$ ${\ displaystyle R_ {i} (A)}$ centrat în $a_{ii}$ ${\ displaystyle a_ {ii}}$ $a_ {ii}$ , care se spune $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ -al cercul Gershgorin al matricei $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Prima teoremă a lui Gershgorin

Este $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ o matrice ca mai sus. Apoi valorile proprii ale $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ aparțin regiunii planului complex identificat prin intersecția dintre unirea cercurilor de rând și unirea cercurilor de coloană $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . În formule:

\sigma (A)\subset \bigcup _{i=1}^{n}K_{i}.

{\ displaystyle \ sigma (A) \ subset \ bigcup _ {i = 1} ^ {n} K_ {i}.}

{\ displaystyle \ sigma (A) \ subset \ bigcup _ {i = 1} ^ {n} K_ {i}.}

Dovadă : fie ea $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ o valoare proprie de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ și fie $\mathbf {x} =(x_{j})$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} = (x_ {j})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} = (x_ {j})}$ vectorul propriu corespunzător. Noi alegem $i\in \{1,\dots ,n\}$ ${\ displaystyle i \ in \ {1, \ dots, n \}}$ ${\ displaystyle i \ in \ {1, \ dots, n \}}$ astfel încât $x_{i}=\max _{j}|x_{j}|$ ${\ displaystyle x_ {i} = \ max _ {j} | x_ {j} |}$ ${\ displaystyle x_ {i} = \ max _ {j} | x_ {j} |}$ . Este la fel ca și a spune: a alege $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ astfel încât $x_{i}$ ${\ displaystyle x_ {i}}$ $x_i$ este cea mai mare coordonată, în modul, a vectorului $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf {x}$ . Atunci $|x_{i}|>0$ ${\ displaystyle | x_ {i} |> 0}$ ${\ displaystyle | x_ {i} |> 0}$ in caz contrar $\mathbf {x} =0$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} = 0}$ $\ mathbf {x} = 0$ . Atâta timp cât $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf {x}$ este un vector propriu, $A\mathbf {x} =\lambda \mathbf {x}$ ${\ displaystyle A \ mathbf {x} = \ lambda \ mathbf {x}}$ ${\ displaystyle A \ mathbf {x} = \ lambda \ mathbf {x}}$ prin urmare:

\sum _{j}a_{ij}x_{j}=\lambda x_{i}\quad \forall i\in \{1,\ldots ,n\}.

{\ displaystyle \ sum _ {j} a_ {ij} x_ {j} = \ lambda x_ {i} \ quad \ forall i \ in \ {1, \ ldots, n \}.}

{\ displaystyle \ sum _ {j} a_ {ij} x_ {j} = \ lambda x_ {i} \ quad \ forall i \ in \ {1, \ ldots, n \}.}

Deci, împărțind suma pe care o obținem

\sum _{j\neq i}a_{ij}x_{j}=\lambda x_{i}-a_{ii}x_{i}.

{\ displaystyle \ sum _ {j \ neq i} a_ {ij} x_ {j} = \ lambda x_ {i} -a_ {ii} x_ {i}.}

{\ displaystyle \ sum _ {j \ neq i} a_ {ij} x_ {j} = \ lambda x_ {i} -a_ {ii} x_ {i}.}

Putem împărți ambii membri la $x_{i}$ ${\ displaystyle x_ {i}}$ $x_i$ (alegând $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ ca mai sus, avem asta $x_{i}\neq 0$ ${\ displaystyle x_ {i} \ neq 0}$ ${\ displaystyle x_ {i} \ neq 0}$ ) și trecând la modulele pe care le obținem

|\lambda -a_{ii}|=\left|{\frac {\sum _{j\neq i}a_{ij}x_{j}}{x_{i}}}\right|\leq \sum _{j\neq i}|a_{ij}|=R_{i},

{\ displaystyle | \ lambda -a_ {ii} | = \ left | {\ frac {\ sum _ {j \ neq i} a_ {ij} x_ {j}} {x_ {i}}} \ right | \ leq \ sum _ {j \ neq i} | a_ {ij} | = R_ {i},}

{\ displaystyle | \ lambda -a_ {ii} | = \ left | {\ frac {\ sum _ {j \ neq i} a_ {ij} x_ {j}} {x_ {i}}} \ right | \ leq \ sum _ {j \ neq i} | a_ {ij} | = R_ {i},}

unde se ține ultima inegalitate de atunci

\left|{\frac {x_{j}}{x_{i}}}\right|\leq 1\quad {\text{per }}j\neq i.

{\ displaystyle \ left | {\ frac {x_ {j}} {x_ {i}}} \ right | \ leq 1 \ quad {\ text {per}} j \ neq i.}

{\ displaystyle \ left | {\ frac {x_ {j}} {x_ {i}}} \ right | \ leq 1 \ quad {\ text {per}} j \ neq i.}

A doua teoremă a lui Gershgorin

Spus

M_{1}:=\bigcup _{i=1}^{k}K_{i}

{\ displaystyle M_ {1}: = \ bigcup _ {i = 1} ^ {k} K_ {i}}

{\ displaystyle M_ {1}: = \ bigcup _ {i = 1} ^ {k} K_ {i}}

Și

M_{2}:=\bigcup _{i=k+1}^{n}K_{i}.

{\ displaystyle M_ {2}: = \ bigcup _ {i = k + 1} ^ {n} K_ {i}.}

{\ displaystyle M_ {2}: = \ bigcup _ {i = k + 1} ^ {n} K_ {i}.}

De sine $M_{1}\cap M_{2}=\varnothing ,$ ${\ displaystyle M_ {1} \ cap M_ {2} = \ varnothing,}$ ${\ displaystyle M_ {1} \ cap M_ {2} = \ varnothing,}$ apoi exact $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ valorile proprii aparțin $M_{1}$ ${\ displaystyle M_ {1}}$ ${\ displaystyle M_ {1}}$ si restul $n-k$ ${\ displaystyle nk}$ $n-k$ apartine $M_{2}.$ ${\ displaystyle M_ {2}.}$ ${\ displaystyle M_ {2}.}$

A treia teoremă a lui Gershgorin

Dacă matricea $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este ireductibil și există o valoare proprie $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ cuprins în $\partial \left(\bigcup _{i=1}^{n}K_{i}\right)$ ${\ displaystyle \ partial \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n} K_ {i} \ right)}$ ${\ displaystyle \ partial \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n} K_ {i} \ right)}$ asa de $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ stă la granița fiecăruia $K_{i},$ ${\ displaystyle K_ {i},}$ ${\ displaystyle K_ {i},}$ cu $i=1,2,\ldots n.$ ${\ displaystyle i = 1,2, \ ldots n.}$ ${\ displaystyle i = 1,2, \ ldots n.}$

Bibliografie

D. Bini, M. Capovani , O. Menchi, Metode numerice pentru algebră liniară , Zanichelli, Bologna, 1988.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică