Aplicații ale teoremei fluxului

Articol principal: Teorema fluxului .

Unele aplicații ale teoremei fluxului în cazuri deosebit de simple de electrostatice sunt explicate mai jos . Dacă densitatea sarcinii prezintă o anumită simetrie , câmpul electric va avea, de asemenea, aceeași simetrie: acest lucru permite determinarea directă a fluxului acestei mărimi prin suprafețe închise alese într-un mod oportun (cele pe care câmpul este constant) și, prin urmare, în cele din urmă datorită afirmației lui Gauss , valoarea câmpului în sine în funcție de distribuția sarcinii.

Distribuție sferic simetrică

Sferă izolatoare încărcată

Într-o sferă de volum $(4/3)\pi r^{3}$ ${\ displaystyle (4/3) \ pi r ^ {3}}$ ${\ displaystyle (4/3) \ pi r ^ {3}}$ fabricat din material izolant , sarcina nu merge să se distribuie la suprafață, ci rămâne imobilizată în regiunea în care a fost produsă. Teorema fluxului permite calcularea câmpului electric în interiorul și în afara sferei, presupunând că densitatea sarcinii are simetrie radială. În acest caz, de fapt, fluxul prin suprafața sferică $4\pi r^{2}$ ${\ displaystyle 4 \ pi r ^ {2}}$ ${\ displaystyle 4 \ pi r ^ {2}}$ este dat de:

\Phi _{r}(\mathbf {E} )=\int _{4\pi r^{2}}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =E(r)4\pi r^{2}={\frac {Q_{r}}{\varepsilon _{0}}}

{\ displaystyle \ Phi _ {r} (\ mathbf {E}) = \ int _ {4 \ pi r ^ {2}} \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} = E ( r) 4 \ pi r ^ {2} = {\ frac {Q_ {r}} {\ varepsilon _ {0}}}}

{\ displaystyle \ Phi _ {r} (\ mathbf {E}) = \ int _ {4 \ pi r ^ {2}} \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} = E ( r) 4 \ pi r ^ {2} = {\ frac {Q_ {r}} {\ varepsilon _ {0}}}}

unde este $Q_{r}$ ${\ displaystyle Q_ {r}}$ ${\ displaystyle Q_ {r}}$ este taxa conținută în $4\pi r^{2}$ ${\ displaystyle 4 \ pi r ^ {2}}$ ${\ displaystyle 4 \ pi r ^ {2}}$ . Având în vedere simetria problemei, câmpul electric $\mathbf {E}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E}}$ $\ mathbf E$ este cu siguranță radial. Spus $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ raza sferei, trebuie să ia în considerare două cazuri:

De sine $r\geq \ R$ ${\ displaystyle r \ geq \ R}$ ${\ displaystyle r \ geq \ R}$ suprafata $4\pi r^{2}$ ${\ displaystyle 4 \ pi r ^ {2}}$ ${\ displaystyle 4 \ pi r ^ {2}}$ conține toată taxa $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ prezent în sfera, prin urmare:

E(r)={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}

{\ displaystyle E (r) = {\ frac {Q} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} r ^ {2}}}}

{\ displaystyle E (r) = {\ frac {Q} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} r ^ {2}}}}

De sine $r\leq \ R$ ${\ displaystyle r \ leq \ R}$ ${\ displaystyle r \ leq \ R}$ suprafata $4\pi r^{2}$ ${\ displaystyle 4 \ pi r ^ {2}}$ ${\ displaystyle 4 \ pi r ^ {2}}$ conține o parte din taxă $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ . Indicând cu $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ distribuția taxei, avem:

E(r)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}\int _{0}^{r}\rho (r')4\pi r'^{2}\mathop {} \!\mathrm {d} r'

{\ displaystyle E (r) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} r ^ {2}}} \ int _ {0} ^ {r} \ rho (r ') 4 \ pi r '^ {2} \ mathop {} \! \ mathrm {d} r'}

{\ displaystyle E (r) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} r ^ {2}}} \ int _ {0} ^ {r} \ rho (r ') 4 \ pi r '^ {2} \ mathop {} \! \ mathrm {d} r'}

Evident, dacă densitatea sarcinii este uniformă, câmpul electric depinde liniar de distanță $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ .

Sferă conductivă încărcată

Într-o sferă conductivă , sarcinile sunt mobile și, prin urmare, tind să se aranjeze pe suprafața sferei: câmpul electric din interiorul sferei este zero peste tot și nu există o distribuție a sarcinii în interiorul materialului, după cum se poate deduce din formularea locală a teorema fluxului. Dacă mediul este omogen, densitatea sarcinii de suprafață este uniformă. În acest caz, puteți utiliza rezultatele paragrafului anterior pentru a deduce expresia câmpului electric în afara sferei:

E(r)={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}

{\ displaystyle E (r) = {\ frac {Q} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} r ^ {2}}}}

{\ displaystyle E (r) = {\ frac {Q} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} r ^ {2}}}}

Este din nou ${\textstyle r}$ ${\ textstyle r}$ ${\ textstyle r}$ este distanța față de centru, în timp ce ${\textstyle Q}$ ${\ textstyle Q}$ ${\ textstyle Q}$ reprezintă sarcina situată la suprafață.

Alte exemple de aplicare

Discursurile rostite despre distribuția sarcinii simetric sferic pot fi extinse la alte situații similare, adică la densități cu simetrie cilindrică sau plană (invariant sub răsturnare față de un plan și variabil doar de-a lungul direcției normale la acel plan).

Sârmă încărcată drept

Luați în considerare cazul unui fir conductor lung infinit, încărcat uniform cu densitate de încărcare liniară $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ . În acest caz, pentru a evalua debitul este convenabil să alegeți o suprafață cilindrică de circumferință $2\pi r$ ${\ displaystyle 2 \ pi r}$ $2 \ pi r$ , cu $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ raza și înălțimea $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ . Fluxul câmpului prin această suprafață este egal cu:

\Phi _{r}(\mathbf {E} )=\int _{2\pi r}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =E(r)2\pi rh={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}={\frac {\lambda h}{\varepsilon _{0}}}

{\ displaystyle \ Phi _ {r} (\ mathbf {E}) = \ int _ {2 \ pi r} \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {s} = E (r) 2 \ pi rh = {\ frac {Q} {\ varepsilon _ {0}}} = {\ frac {\ lambda h} {\ varepsilon _ {0}}}}

{\ displaystyle \ Phi _ {r} (\ mathbf {E}) = \ int _ {2 \ pi r} \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {s} = E (r) 2 \ pi rh = {\ frac {Q} {\ varepsilon _ {0}}} = {\ frac {\ lambda h} {\ varepsilon _ {0}}}}

și din acesta este posibil să se deducă câmpul în funcție de rază:

E(r)={\frac {\lambda }{2\pi r\varepsilon _{0}}}

{\ displaystyle E (r) = {\ frac {\ lambda} {2 \ pi r \ varepsilon _ {0}}}}

{\ displaystyle E (r) = {\ frac {\ lambda} {2 \ pi r \ varepsilon _ {0}}}}

Având în vedere simetria cilindrică, câmpul nu depinde de alte variabile spațiale.

Strat conductiv infinit

Să presupunem că pe un plan infinit de material conductor conducta este distribuită uniform cu densitatea suprafeței $\sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ . Câmpul electric produs este în mod clar simetrie plană. Alegând un cilindru în așa fel încât generatorul său să fie ortogonal față de plan și fețele sale, de măsură $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , sunt distanțate de acesta de aceeași distanță $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ , fluxul prin suprafața cilindrului este:

\Phi _{r}(\mathbf {E} )=\int _{2A}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =E(r)2A={\frac {\sigma A}{\varepsilon _{0}}}

{\ displaystyle \ Phi _ {r} (\ mathbf {E}) = \ int _ {2A} \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {s} = E (r) 2A = {\ frac {\ sigma A} {\ varepsilon _ {0}}}}

{\ displaystyle \ Phi _ {r} (\ mathbf {E}) = \ int _ {2A} \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {s} = E (r) 2A = {\ frac {\ sigma A} {\ varepsilon _ {0}}}}

Prin urmare, câmpul electric este independent de $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ și merită:

E={\frac {\sigma }{2\varepsilon _{0}}}

{\ displaystyle E = {\ frac {\ sigma} {2 \ varepsilon _ {0}}}}

{\ displaystyle E = {\ frac {\ sigma} {2 \ varepsilon _ {0}}}}

Această magnitudine este determinată de toate sarcinile stratului și nu numai de cele conținute în cilindru. Faptul că câmpul este uniform în spațiu este legat de ipoteza unui plan infinit. Pentru un plan real, acest lucru este adevărat în apropierea stratului și departe de margini.

Strat dublu

Același subiect în detaliu: Condensator (electrotehnică) .

Un condensator plat și paralel este format din două straturi metalice identice orientate unul către celălalt, numite armături. Dacă distanța dintre ele este mult mai mică decât dimensiunea lor minimă, în interspațiu (departe de margini) câmpul electric este dat de suprapunerea a două câmpuri de tipul $E(r)=\sigma /2\varepsilon _{0}$ ${\ displaystyle E (r) = \ sigma / 2 \ varepsilon _ {0}}$ ${\ displaystyle E (r) = \ sigma / 2 \ varepsilon _ {0}}$ , una relativă la armura stângă și cealaltă relativă la armura dreaptă. Dacă condensatorul este total neutru, plăcile vor avea sarcini egale și opuse. În acest caz, câmpul intern intern este:

E(r)={\frac {\sigma }{\varepsilon _{0}}}

{\ displaystyle E (r) = {\ frac {\ sigma} {\ varepsilon _ {0}}}}

{\ displaystyle E (r) = {\ frac {\ sigma} {\ varepsilon _ {0}}}}

Cu considerații similare se poate deduce că câmpul extern este nul.

Bibliografie

John D. Jackson. Electrodinamica clasică . Zanichelli, Bologna 1984

Elemente conexe

Portalul electromagnetismului : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de electromagnetism