Calculul lui Bohr

Calculul lui Bohr este o primă încercare de a descrie pierderile de energie ale particulelor încărcate prin ionizare . Poate fi considerat valabil pentru particulele de masă $M\gg m_{e}$ ${\ displaystyle M \ gg m_ {e}}$ $M \ gg m_ {e}$ ( $m_{e}$ ${\ displaystyle m_ {e}}$ $eu insumi}$ masa electronului ), sarcină $Z Și$ ${\ displaystyle Ze}$ $Ze$ și viteza nerelativistă $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ .

Derivarea formulei

Ipoteza de pornire

Pentru calcul, studiem coliziunea dintre particulă și un electron al mediului. Se presupune că electronul se află în repaus în raport cu particula și variația energiei sale după evaluarea coliziunii ( $\Delta E(b)$ ${\ displaystyle \ Delta E (b)}$ $\ Delta E (b)$ ) în funcție de parametrul de impact $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ . Prin urmare, se ia în considerare problema de simetrie cilindrică.

Calcul

Impactul este considerat din punctul de vedere al impulsului ${\vec {J}}$ ${\ displaystyle {\ vec {J}}}$ ${\ vec {J}}$ , fiind ${\vec {\mathcal {E}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ mathcal {E}}}}$ ${\ vec {{\ mathcal {E}}}}$ câmpul electric :

${\vec {J}}=\int {\vec {F}}dt=\int e{\vec {\mathcal {E}}}dt=e\int {\mathcal {E}}_{\perp }dt={\frac {e}{v}}\int {\mathcal {E}}_{\perp }dx$ ${\ displaystyle {\ vec {J}} = \ int {\ vec {F}} dt = \ int e {\ vec {\ mathcal {E}}} dt = e \ int {\ mathcal {E}} _ { \ perp} dt = {\ frac {e} {v}} \ int {\ mathcal {E}} _ {\ perp} dx}$ ${\ vec {J}} = \ int {\ vec {F}} dt = \ int e {\ vec {{\ mathcal {E}}}} dt = e \ int {\ mathcal {E}} _ {{ \ perp}} dt = {\ frac {e} {v}} \ int {\ mathcal {E}} _ {{\ perp}} dx$

Considerăm doar componenta transversală ${\mathcal {E}}_{\perp }$ ${\ displaystyle {\ mathcal {E}} _ {\ perp}}$ ${\ mathcal {E}} _ {{\ perp}}$ de vreme ce cea longitudinală ${\mathcal {E}}_{\parallel }$ ${\ displaystyle {\ mathcal {E}} _ {\ parallel}}$ ${\ mathcal {E}} _ {{\ parallel}}$ , dispare prin simetrie.

Din teorema fluxului pe o suprafață de rază $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ Eu am:

\int {\vec {\mathcal {E}}}\cdot {\vec {n}}dS=2\pi b\int {\mathcal {E}}_{\perp }dx={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}\Rightarrow \int {\mathcal {E}}_{\perp }dx={\frac {Ze}{2\pi \varepsilon _{0}b}}

{\ displaystyle \ int {\ vec {\ mathcal {E}}} \ cdot {\ vec {n}} dS = 2 \ pi b \ int {\ mathcal {E}} _ {\ perp} dx = {\ frac {Q} {\ varepsilon _ {0}}} \ Rightarrow \ int {\ mathcal {E}} _ {\ perp} dx = {\ frac {Ze} {2 \ pi \ varepsilon _ {0} b}}}

\ int {\ vec {{\ mathcal {E}}}} \ cdot {\ vec {n}} dS = 2 \ pi b \ int {\ mathcal {E}} _ {{\ perp}} dx = {\ frac {Q} {\ varepsilon _ {0}}} \ Rightarrow \ int {\ mathcal {E}} _ {{\ perp}} dx = {\ frac {Ze} {2 \ pi \ varepsilon _ {0} b }}

pentru care

J={\frac {Ze^{2}}{2\pi \varepsilon _{0}b}}\cdot {\frac {1}{v}}={\frac {Ze^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}b^{2}}}\cdot {\frac {2b}{v}}=f_{e}\cdot t_{u}

{\ displaystyle J = {\ frac {Ze ^ {2}} {2 \ pi \ varepsilon _ {0} b}} \ cdot {\ frac {1} {v}} = {\ frac {Ze ^ {2} } {4 \ pi \ varepsilon _ {0} b ^ {2}}} \ cdot {\ frac {2b} {v}} = f_ {e} \ cdot t_ {u}}

J = {\ frac {Ze ^ {2}} {2 \ pi \ varepsilon _ {0} b}} \ cdot {\ frac {1} {v}} = {\ frac {Ze ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} b ^ {2}}} \ cdot {\ frac {2b} {v}} = f_ {e} \ cdot t_ {u}

.

Echivalent deci cu impulsul unei forțe

f_{e}={\frac {Ze^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}b^{2}}}

{\ displaystyle f_ {e} = {\ frac {Ze ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} b ^ {2}}}}

f_ {e} = {\ frac {Ze ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} b ^ {2}}}

acționând o vreme $t_{u}={\frac {2b}{v}}$ ${\ displaystyle t_ {u} = {\ frac {2b} {v}}}$ $t_ {u} = {\ frac {2b} {v}}$ timpul de impact menționat.

Pierderea de energie din impactul cu electronul este

\Delta E(b)={\frac {J^{2}}{2m_{e}}}=\left({\frac {Ze^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}b}}\right)^{2}\cdot {\frac {2}{m_{e}v^{2}}}

{\ displaystyle \ Delta E (b) = {\ frac {J ^ {2}} {2m_ {e}}} = \ left ({\ frac {Ze ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0 } b}} \ right) ^ {2} \ cdot {\ frac {2} {m_ {e} v ^ {2}}}}

{\ displaystyle \ Delta E (b) = {\ frac {J ^ {2}} {2m_ {e}}} = \ left ({\ frac {Ze ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0 } b}} \ right) ^ {2} \ cdot {\ frac {2} {m_ {e} v ^ {2}}}}

Cu toate acestea, consider că particula trece printr-un mediu material și ambele $N_{e}$ ${\ displaystyle N_ {e}}$ $Nici}$ densitatea electronilor din el. Pierderea infinitesimală de energie poate fi evaluată ca:

-dE(b)=\Delta E(b)N_{e}\,dV={\frac {4\pi m_{e}c^{2}z^{2}r_{e}^{2}}{\beta ^{2}b}}N_{e}\,db\,dx

{\ displaystyle -dE (b) = \ Delta E (b) N_ {e} \, dV = {\ frac {4 \ pi m_ {e} c ^ {2} z ^ {2} r_ {e} ^ { 2}} {\ beta ^ {2} b}} N_ {e} \, db \, dx}

-dE (b) = \ Delta E (b) N_ {e} \, dV = {\ frac {4 \ pi m_ {e} c ^ {2} z ^ {2} r_ {e} ^ {2}} {\ beta ^ {2} b}} N_ {e} \, db \, dx

asa de:

-{\frac {dE(b)}{dx}}=4\pi N_{e}r_{e}^{2}m_{e}c^{2}{\frac {z^{2}}{\beta ^{2}}}\int {\frac {db}{b}}

{\ displaystyle - {\ frac {dE (b)} {dx}} = 4 \ pi N_ {e} r_ {e} ^ {2} m_ {e} c ^ {2} {\ frac {z ^ {2 }} {\ beta ^ {2}}} \ int {\ frac {db} {b}}}

- {\ frac {dE (b)} {dx}} = 4 \ pi N_ {e} r_ {e} ^ {2} m_ {e} c ^ {2} {\ frac {z ^ {2}} { \ beta ^ {2}}} \ int {\ frac {db} {b}}

În acest moment este suficient să se integreze valorile posibile ale parametrului de impact pentru a calcula pierderea medie de energie datorată ionizării unui mediu material. Problema este că impun limite de integrare $b\rightarrow 0$ ${\ displaystyle b \ rightarrow 0}$ $b \ dreapta 0$ Și $b\rightarrow +\infty$ ${\ displaystyle b \ rightarrow + \ infty}$ $b \ rightarrow + \ infty$ nu are sens de ce pentru $b\rightarrow 0$ ${\ displaystyle b \ rightarrow 0}$ $b \ dreapta 0$ expresia divergă, în timp ce pentru $b\rightarrow +\infty$ ${\ displaystyle b \ rightarrow + \ infty}$ $b \ rightarrow + \ infty$ natura impulsivă a impactului, care stă la baza calculului, se pierde. Prin urmare, este necesar să se introducă două limite valide de integrare $b_{min}$ ${\ displaystyle b_ {min}}$ $b _ {{min}}$ Și $b_{max}$ ${\ displaystyle b_ {max}}$ $b _ {{max}}$ .

Estimarea limitelor de integrare

Limita inferioară de integrare poate fi estimată având în vedere că energia maximă este transferată într-o coliziune centrală și că aceasta este egală cu

\Delta E={\frac {1}{2}}m_{e}(2v)^{2}\longrightarrow 2m_{e}\gamma ^{2}v^{2}

{\ displaystyle \ Delta E = {\ frac {1} {2}} m_ {e} (2v) ^ {2} \ longrightarrow 2m_ {e} \ gamma ^ {2} v ^ {2}}

{\ displaystyle \ Delta E = {\ frac {1} {2}} m_ {e} (2v) ^ {2} \ longrightarrow 2m_ {e} \ gamma ^ {2} v ^ {2}}

unde am considerat limita relativistă: $v\rightarrow \gamma v\;;\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\;;\beta ={\frac {v}{c}}$ ${\ displaystyle v \ rightarrow \ gamma v \ ;; \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}} \ ;; \ beta = {\ frac {v} {c }}}$ $v \ rightarrow \ gamma v \ ;; \ gamma = {\ frac {1} {{\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}}} \ ;; \ beta = {\ frac {v} {c} }$ .

Atunci

\Delta E(b_{min})={\frac {2Z^{2}e^{4}}{m_{e}{b_{min}}^{2}v^{2}}}=2m_{e}\gamma ^{2}v^{2}\Longrightarrow b_{min}={\frac {Ze^{2}}{m_{e}\gamma v^{2}}}

{\ displaystyle \ Delta E (b_ {min}) = {\ frac {2Z ^ {2} e ^ {4}} {m_ {e} {b_ {min}} ^ {2} v ^ {2}}} = 2m_ {e} \ gamma ^ {2} v ^ {2} \ Longrightarrow b_ {min} = {\ frac {Ze ^ {2}} {m_ {e} \ gamma v ^ {2}}}}

\ Delta E (b _ {{min}}) = {\ frac {2Z ^ {2} e ^ {4}} {m_ {e} {b _ {{min}}} ^ {2} v ^ {2 }}} = 2m_ {e} \ gamma ^ {2} v ^ {2} \ Longrightarrow b _ {{min}} = {\ frac {Ze ^ {2}} {m_ {e} \ gamma v ^ {2 }}}

A estima $b_{max}$ ${\ displaystyle b_ {max}}$ $b _ {{max}}$ Consider că electronii sunt legați de atomi și pot considera simplist că se rotesc cu frecvența $\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ în jurul nucleului. Pentru a exista o pierdere de energie, trebuie să presupun că pe parcursul întregii treceri a particulelor electronul se mișcă într-o regiune foarte limitată a orbitei sale, astfel încât nucleul să nu-și protejeze niciodată interacțiunea cu particula noastră. Prin urmare, impun ca timpul de impact $t_{u}$ ${\ displaystyle t_ {u}}$ $tu}$ este

t_{u}\leq \tau ={\frac {1}{\nu }}

{\ displaystyle t_ {u} \ leq \ tau = {\ frac {1} {\ nu}}}

t_ {u} \ leq \ tau = {\ frac {1} {\ nu}}

fiind $t_{u}\simeq {\frac {b}{v}}$ ${\ displaystyle t_ {u} \ simeq {\ frac {b} {v}}}$ $t_ {u} \ simeq {\ frac {b} {v}}$ ; pentru efecte relativiste pe care le am

t_{u}\rightarrow {\frac {b}{\gamma \nu }}\leq {\frac {1}{\nu }}\Rightarrow b_{max}\leq {\frac {\gamma v}{\overline {\nu }}}

{\ displaystyle t_ {u} \ rightarrow {\ frac {b} {\ gamma \ nu}} \ leq {\ frac {1} {\ nu}} \ Rightarrow b_ {max} \ leq {\ frac {\ gamma v } {\ overline {\ nu}}}}

t_ {u} \ rightarrow {\ frac {b} {\ gamma \ nu}} \ leq {\ frac {1} {\ nu}} \ Rightarrow b _ {{max}} \ leq {\ frac {\ gamma v } {\ overline {\ nu}}}

unde am folosit frecvența medie pentru a lua în considerare toți electronii atomici.

S-ar putea argumenta că pentru $t>1/\nu$ ${\ displaystyle t> 1 / \ nu}$ ${\ displaystyle t> 1 / \ nu}$ energia transferată nu este neglijabilă, așa că studiez problema mai detaliat: a spus $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ axa de mișcare a particulei e $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ axa cu care evaluez distanța electronului de axa $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , Pot lua în considerare mișcarea electronului descrisă de $y=b+d\,\sin(\nu t)$ ${\ displaystyle y = b + d \, \ sin (\ nu t)}$ $y = b + d \, \ sin (\ nu t)$ pentru care

v_{y}={\frac {dy}{dt}}=\nu \,d\,\cos(\nu t)

{\ displaystyle v_ {y} = {\ frac {dy} {dt}} = \ nu \, d \, \ cos (\ nu t)}

v_ {y} = {\ frac {dy} {dt}} = \ nu \, d \, \ cos (\ nu t)

Dacă mă gândesc la asta $b\gg d$ ${\ displaystyle b \ gg d}$ $b \ gg d$ este asta $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ este unghiul la care electronul vede particula pe care o am:

\Delta E=\int F_{y}dy=\int {\frac {Ze^{2}}{y^{2}+v^{2}t^{2}}}{\cos(\theta )}^{2}v_{y}dt=Ze^{2}\nu \,d\,\cos(\theta )\int {\frac {\cos(\nu t)}{y^{2}+v^{2}t^{2}}}dt\;,\;F_{y}={\frac {Ze^{2}}{y^{2}+v^{2}t^{2}}}{\cos(\theta )}^{2}

{\ displaystyle \ Delta E = \ int F_ {y} dy = \ int {\ frac {Ze ^ {2}} {y ^ {2} + v ^ {2} t ^ {2}}} {\ cos ( \ theta)} ^ {2} v_ {y} dt = Ze ^ {2} \ nu \, d \, \ cos (\ theta) \ int {\ frac {\ cos (\ nu t)} {y ^ { 2} + v ^ {2} t ^ {2}}} dt \ ;, \; F_ {y} = {\ frac {Ze ^ {2}} {y ^ {2} + v ^ {2} t ^ {2}}} {\ cos (\ theta)} ^ {2}}

\ Delta E = \ int F_ {y} dy = \ int {\ frac {Ze ^ {2}} {y ^ {2} + v ^ {2} t ^ {2}}} {\ cos (\ theta) } ^ {2} v_ {y} dt = Ze ^ {2} \ nu \, d \, \ cos (\ theta) \ int {\ frac {\ cos (\ nu t)} {y ^ {2} + v ^ {2} t ^ {2}}} dt \ ;, \; F_ {y} = {\ frac {Ze ^ {2}} {y ^ {2} + v ^ {2} t ^ {2} }} {\ cos (\ theta)} ^ {2}

Calculați integralul: fie $\mu =\nu \,t$ ${\ displaystyle \ mu = \ nu \, t}$ $\ mu = \ nu \, t$ Și $a^{2}={\frac {\nu ^{2}y^{2}}{v^{2}}}$ ${\ displaystyle a ^ {2} = {\ frac {\ nu ^ {2} y ^ {2}} {v ^ {2}}}}$ $a ^ {2} = {\ frac {\ nu ^ {2} y ^ {2}} {v ^ {2}}}$ . Integrala devine:

\int {\frac {\cos(\nu t)}{y^{2}+v^{2}t^{2}}}dt={\frac {\nu }{v^{2}}}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\cos(\mu )}{a^{2}+\mu ^{2}}}={\frac {\nu }{v^{2}}}{\frac {\pi e^{-\mu }}{a}}

{\ displaystyle \ int {\ frac {\ cos (\ nu t)} {y ^ {2} + v ^ {2} t ^ {2}}} dt = {\ frac {\ nu} {v ^ {2 }}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ cos (\ mu)} {a ^ {2} + \ mu ^ {2}}} = {\ frac {\ nu } {v ^ {2}}} {\ frac {\ pi e ^ {- \ mu}} {a}}}

\ int {\ frac {\ cos (\ nu t)} {y ^ {2} + v ^ {2} t ^ {2}}} dt = {\ frac {\ nu} {v ^ {2}}} \ int _ {{- \ infty}} ^ {{+ \ infty}} {\ frac {\ cos (\ mu)} {a ^ {2} + \ mu ^ {2}}} = {\ frac {\ nu} {v ^ {2}}} {\ frac {\ pi e ^ {{- \ mu}}} {a}}

deci, din moment ce $\cos \theta \leq 1$ ${\ displaystyle \ cos \ theta \ leq 1}$ ${\ displaystyle \ cos \ theta \ leq 1}$ ,

\Delta E<{\frac {\pi Ze^{2}\nu \,d}{y\,v}}e^{-\nu t}

{\ displaystyle \ Delta E <{\ frac {\ pi Ze ^ {2} \ nu \, d} {y \, v}} e ^ {- \ nu t}}

\ Delta E <{\ frac {\ pi Ze ^ {2} \ nu \, d} {y \, v}} e ^ {{- \ nu t}}

Dacă fac limita pentru $\nu t\gg 1$ ${\ displaystyle \ nu t \ gg 1}$ $\ nu t \ gg 1$ eu iau $\Delta E\rightarrow 0$ ${\ displaystyle \ Delta E \ rightarrow 0}$ $\ Delta E \ rightarrow 0$ , deci este în regulă să luați în considerare contribuțiile pentru singurele $t\simeq {\frac {b}{v}}\gg {\frac {1}{\nu }}$ ${\ displaystyle t \ simeq {\ frac {b} {v}} \ gg {\ frac {1} {\ nu}}}$ $t \ simeq {\ frac {b} {v}} \ dd {\ frac {1} {\ nu}}$

Formula lui Bohr

Formula lui Bohr pentru calcularea pierderii de energie din materie de către o particulă încărcată cu masă $M\gg m_{e}$ ${\ displaystyle M \ gg m_ {e}}$ $M \ gg m_ {e}$ asa de:

-{\frac {dE}{dx}}={\frac {4\pi Z^{2}e^{4}N_{e}}{m_{e}v^{2}}}\ln {\frac {m_{e}\gamma v^{3}}{{\overline {\nu }}Ze^{2}}}

{\ displaystyle - {\ frac {dE} {dx}} = {\ frac {4 \ pi Z ^ {2} e ^ {4} N_ {e}} {m_ {e} v ^ {2}}} \ ln {\ frac {m_ {e} \ gamma v ^ {3}} {{\ overline {\ nu}} Ze ^ {2}}}}

- {\ frac {dE} {dx}} = {\ frac {4 \ pi Z ^ {2} e ^ {4} N_ {e}} {m_ {e} v ^ {2}}} \ ln {{ \ frac {m_ {e} \ gamma v ^ {3}} {\ overline {\ nu} Ze ^ {2}}}}

Această formulă funcționează bine pentru particulele masive, cum ar fi particulele α și nucleele grele, în timp ce nu descrie bine interacțiunile de protoni datorate efectelor cuantice . Pentru o estimare mai precisă a pierderii de energie datorată ionizării unui mediu de către o particulă încărcată, este necesar să se utilizeze formula Bethe .

Portal cuantic : Accesați intrările Wikipedia care se ocupă de cuantică