Clasă monotonă

Este ${\mathcal {X}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}$ un set și ambele ${\mathcal {C}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ mathcal {C}}$ un subset al setului de părți ale ${\mathcal {X}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}$ , ${\mathcal {P(X)}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P (X)}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P (X)}}}$ . Atunci ${\mathcal {C}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ mathcal {C}}$ clasa monotonă se spune dacă:

$\{A_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subseteq {\mathcal {C}}$ ${\ displaystyle \ {A_ {n} \} _ {n \ in \ mathbb {N}} \ subseteq {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle \ {A_ {n} \} _ {n \ in \ mathbb {N}} \ subseteq {\ mathcal {C}}}$ Și $A_{n}\uparrow A\Rightarrow A\in {\mathcal {C}}$ ${\ displaystyle A_ {n} \ uparrow A \ Rightarrow A \ in {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle A_ {n} \ uparrow A \ Rightarrow A \ in {\ mathcal {C}}}$ ,
$\{A_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subseteq {\mathcal {C}}$ ${\ displaystyle \ {A_ {n} \} _ {n \ in \ mathbb {N}} \ subseteq {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle \ {A_ {n} \} _ {n \ in \ mathbb {N}} \ subseteq {\ mathcal {C}}}$ Și $A_{n}\downarrow A\Rightarrow A\in {\mathcal {C}}$ ${\ displaystyle A_ {n} \ downarrow A \ Rightarrow A \ in {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle A_ {n} \ downarrow A \ Rightarrow A \ in {\ mathcal {C}}}$ .

Rețineți că intersecția unei familii de clase monotone arbitrare este încă o clasă monotonă.
De sine ${\mathcal {E}}\subset {\mathcal {P(X)}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {E}} \ subset {\ mathcal {P (X)}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {E}} \ subset {\ mathcal {P (X)}}}$ , intersecția tuturor claselor care conțin monotone ${\mathcal {E}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$ $\ mathcal {E}$ se numește o clasă monotonă generată de ${\mathcal {E}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$ $\ mathcal {E}$ .

Lema clasei monotone

Un rezultat important este așa-numita Lemă a clasei monotone , care afirmă că:
Este ${\mathcal {X}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}$ algebră, apoi clasa monotonă generată de ${\mathcal {X}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}$ coincide cu sigma-algebră (sau σ-algebră) generată de ${\mathcal {X}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}$ .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică