Compoziția operatorilor de impuls unghiular

Compoziția operatorilor de moment unghiular este o procedură mecanică cuantică concepută pentru a defini relația dintre stările proprii și valorile proprii a două sau mai multe momente unghiulare, orbitale sau intrinseci , și cele ale sumei lor.

Introducere

Același subiect în detaliu: operatorul momentului unghiular total .

Se știe din teoria generală a momentului unghiular total dat ${\hat {\mathbf {J} }}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}}}$ moment unghiular, regulile de comutare pentru componentele sale sunt:

[{\hat {J}}_{i},{\hat {J}}_{j}]=i\hbar \varepsilon _{ijk}{\hat {J}}_{k}

{\ displaystyle [{\ hat {J}} _ {i}, {\ hat {J}} _ {j}] = i \ hbar \ varepsilon _ {ijk} {\ hat {J}} _ {k}}

{\ displaystyle [{\ hat {J}} _ {i}, {\ hat {J}} _ {j}] = i \ hbar \ varepsilon _ {ijk} {\ hat {J}} _ {k}}

unde este $\varepsilon _{ijk}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {ijk}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {ijk}}$ este tensorul Levi-Civita . Dacă aveți două momente unghiulare ${\hat {\mathbf {J} }}_{1},{\hat {\mathbf {J} }}_{2}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} _ {1}, {\ hat {\ mathbf {J}}} _ {2}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} _ {1}, {\ hat {\ mathbf {J}}} _ {2}}$ atunci regula anterioară de comutare se aplică fiecăruia dintre ele:

[{\hat {J}}_{1i},{\hat {J}}_{1j}]=i\hbar \varepsilon _{ijk}{\hat {J}}_{1k}

{\ displaystyle [{\ hat {J}} _ {1i}, {\ hat {J}} _ {1j}] = i \ hbar \ varepsilon _ {ijk} {\ hat {J}} _ {1k}}

{\ displaystyle [{\ hat {J}} _ {1i}, {\ hat {J}} _ {1j}] = i \ hbar \ varepsilon _ {ijk} {\ hat {J}} _ {1k}}

[{\hat {J}}_{2i},{\hat {J}}_{2j}]=i\hbar \varepsilon _{ijk}{\hat {J}}_{2k}

{\ displaystyle [{\ hat {J}} _ {2i}, {\ hat {J}} _ {2j}] = i \ hbar \ varepsilon _ {ijk} {\ hat {J}} _ {2k}}

{\ displaystyle [{\ hat {J}} _ {2i}, {\ hat {J}} _ {2j}] = i \ hbar \ varepsilon _ {ijk} {\ hat {J}} _ {2k}}

dar din moment ce cele două momente unghiulare acționează în subspatii diferite avem:

[{\hat {J}}_{1i},{\hat {J}}_{2j}]=0

{\ displaystyle [{\ hat {J}} _ {1i}, {\ hat {J}} _ {2j}] = 0}

{\ displaystyle [{\ hat {J}} _ {1i}, {\ hat {J}} _ {2j}] = 0}

.

Momentul unghiular total poate fi definit formal ca:

{\hat {\mathbf {J} }}={\hat {\mathbf {J} }}_{1}+{\hat {\mathbf {J} }}_{2}

{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} = {\ hat {\ mathbf {J}}} _ {1} + {\ hat {\ mathbf {J}}} _ {2}}

{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} = {\ hat {\ mathbf {J}}} _ {1} + {\ hat {\ mathbf {J}}} _ {2}}

pentru care se aplică regula de comutare (poate fi dovedită):

[{\hat {J}}_{i},{\hat {J}}_{j}]=i\hbar \varepsilon _{ijk}{\hat {J}}_{k}

{\ displaystyle [{\ hat {J}} _ {i}, {\ hat {J}} _ {j}] = i \ hbar \ varepsilon _ {ijk} {\ hat {J}} _ {k}}

{\ displaystyle [{\ hat {J}} _ {i}, {\ hat {J}} _ {j}] = i \ hbar \ varepsilon _ {ijk} {\ hat {J}} _ {k}}

${\hat {\mathbf {J} }}_{1}^{2},{\hat {\mathbf {J} }}_{2}^{2},{\hat {J}}_{1z},{\hat {J}}_{2z}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} _ {1} ^ {2}, {\ hat {\ mathbf {J}}} _ {2} ^ {2}, {\ hat {J}} _ {1z}, {\ hat {J}} _ {2z}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} _ {1} ^ {2}, {\ hat {\ mathbf {J}}} _ {2} ^ {2}, {\ hat {J}} _ {1z}, {\ hat {J}} _ {2z}}$ sunt apoi observabile compatibile în măsura în care fac naveta, așa că le putem diagonaliza în aceeași bază pe care o identificăm cu vectorii:

|j_{1},j_{2},m_{1},m_{2}\rangle

{\ displaystyle | j_ {1}, j_ {2}, m_ {1}, m_ {2} \ rangle}

{\ displaystyle | j_ {1}, j_ {2}, m_ {1}, m_ {2} \ rangle}

.

Ecuațiile valorii proprii conțin:

{\hat {\mathbf {J} }}_{1}^{2}|j_{1},j_{2},m_{1},m_{2}\rangle =j_{1}(j_{1}+1)\hbar ^{2}|j_{1},j_{2},m_{1},m_{2}\rangle

{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} _ {1} ^ {2} | j_ {1}, j_ {2}, m_ {1}, m_ {2} \ rangle = j_ {1} ( j_ {1} +1) \ hbar ^ {2} | j_ {1}, j_ {2}, m_ {1}, m_ {2} \ rangle}

{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} _ {1} ^ {2} | j_ {1}, j_ {2}, m_ {1}, m_ {2} \ rangle = j_ {1} ( j_ {1} +1) \ hbar ^ {2} | j_ {1}, j_ {2}, m_ {1}, m_ {2} \ rangle}

{\hat {J}}_{1z}|j_{1},j_{2},m_{1},m_{2}\rangle =m_{1}\hbar |j_{1},j_{2},m_{1},m_{2}\rangle

{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {1z} | j_ {1}, j_ {2}, m_ {1}, m_ {2} \ rangle = m_ {1} \ hbar | j_ {1}, j_ {2}, m_ {1}, m_ {2} \ rangle}

{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {1z} | j_ {1}, j_ {2}, m_ {1}, m_ {2} \ rangle = m_ {1} \ hbar | j_ {1}, j_ {2}, m_ {1}, m_ {2} \ rangle}

{\hat {\mathbf {J} }}_{2}^{2}|j_{1},j_{2},m_{1},m_{2}\rangle =j_{2}(j_{2}+1)\hbar ^{2}|j_{1},j_{2},m_{1},m_{2}\rangle

{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} _ {2} ^ {2} | j_ {1}, j_ {2}, m_ {1}, m_ {2} \ rangle = j_ {2} ( j_ {2} +1) \ hbar ^ {2} | j_ {1}, j_ {2}, m_ {1}, m_ {2} \ rangle}

{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} _ {2} ^ {2} | j_ {1}, j_ {2}, m_ {1}, m_ {2} \ rangle = j_ {2} ( j_ {2} +1) \ hbar ^ {2} | j_ {1}, j_ {2}, m_ {1}, m_ {2} \ rangle}

{\hat {J}}_{2z}|j_{1},j_{2},m_{1},m_{2}\rangle =m_{2}\hbar |j_{1},j_{2},m_{1},m_{2}\rangle

{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {2z} | j_ {1}, j_ {2}, m_ {1}, m_ {2} \ rangle = m_ {2} \ hbar | j_ {1}, j_ {2}, m_ {1}, m_ {2} \ rangle}

{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {2z} | j_ {1}, j_ {2}, m_ {1}, m_ {2} \ rangle = m_ {2} \ hbar | j_ {1}, j_ {2}, m_ {1}, m_ {2} \ rangle}

.

Putem alege alternativ baza în care sunt diagonale ${\hat {\mathbf {J} }}_{1}^{2},{\hat {\mathbf {J} }}_{2}^{2},{\hat {\mathbf {J} }}^{2},{\hat {J}}_{z}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} _ {1} ^ {2}, {\ hat {\ mathbf {J}}} _ {2} ^ {2}, {\ hat {\ mathbf { J}}} ^ {2}, {\ hat {J}} _ {z}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} _ {1} ^ {2}, {\ hat {\ mathbf {J}}} _ {2} ^ {2}, {\ hat {\ mathbf { J}}} ^ {2}, {\ hat {J}} _ {z}}$ pe care le identificăm cu vectorii de bază:

|j_{1},j_{2},J,M\rangle

{\ displaystyle | j_ {1}, j_ {2}, J, M \ rangle}

| j_ {1}, j_ {2}, J, M \ rangle

,

iar ecuațiile valorii proprii conțin:

{\hat {\mathbf {J} }}_{1}^{2}|j_{1},j_{2},J,M\rangle =j_{1}(j_{1}+1)\hbar ^{2}|j_{1},j_{2},J,M\rangle

{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} _ {1} ^ {2} | j_ {1}, j_ {2}, J, M \ rangle = j_ {1} (j_ {1} +1 ) \ hbar ^ {2} | j_ {1}, j_ {2}, J, M \ rangle}

{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} _ {1} ^ {2} | j_ {1}, j_ {2}, J, M \ rangle = j_ {1} (j_ {1} +1 ) \ hbar ^ {2} | j_ {1}, j_ {2}, J, M \ rangle}

{\hat {\mathbf {J} }}_{2}^{2}|j_{1},j_{2},J,M\rangle =j_{2}(j_{2}+1)\hbar ^{2}|j_{1},j_{2},J,M\rangle

{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} _ {2} ^ {2} | j_ {1}, j_ {2}, J, M \ rangle = j_ {2} (j_ {2} +1 ) \ hbar ^ {2} | j_ {1}, j_ {2}, J, M \ rangle}

{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} _ {2} ^ {2} | j_ {1}, j_ {2}, J, M \ rangle = j_ {2} (j_ {2} +1 ) \ hbar ^ {2} | j_ {1}, j_ {2}, J, M \ rangle}

{\hat {\mathbf {J} }}^{2}|j_{1},j_{2},J,M\rangle =J(J+1)\hbar ^{2}|j_{1},j_{2},J,M\rangle

{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2} | j_ {1}, j_ {2}, J, M \ rangle = J (J + 1) \ hbar ^ {2} | j_ { 1}, j_ {2}, J, M \ rangle}

{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2} | j_ {1}, j_ {2}, J, M \ rangle = J (J + 1) \ hbar ^ {2} | j_ { 1}, j_ {2}, J, M \ rangle}

{\hat {J}}_{z}|j_{1},j_{2},J,M\rangle =M\hbar |j_{1},j_{2},J,M\rangle

{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z} | j_ {1}, j_ {2}, J, M \ rangle = M \ hbar | j_ {1}, j_ {2}, J, M \ rangle }

{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z} | j_ {1}, j_ {2}, J, M \ rangle = M \ hbar | j_ {1}, j_ {2}, J, M \ rangle }

,

unde sunt indicate cu $j_{1},j_{2}$ ${\ displaystyle j_ {1}, j_ {2}}$ ${\ displaystyle j_ {1}, j_ {2}}$ valorile proprii ale ${\hat {\mathbf {J} }}_{1},{\hat {\mathbf {J} }}_{2}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} _ {1}, {\ hat {\ mathbf {J}}} _ {2}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} _ {1}, {\ hat {\ mathbf {J}}} _ {2}}$ si cu $m_{1},m_{2}$ ${\ displaystyle m_ {1}, m_ {2}}$ ${\ displaystyle m_ {1}, m_ {2}}$ valorile proprii ale ${\hat {J}}_{1z},{\hat {J}}_{2z}$ ${\ displaystyle {\ hat {J}} _ {1z}, {\ hat {J}} _ {2z}}$ ${\ displaystyle {\ hat {J}} _ {1z}, {\ hat {J}} _ {2z}}$ , în timp ce cu $J$ ${\ displaystyle J}$ $J$ valoarea proprie a ${\hat {\mathbf {J} }}^{2}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} ^ {2}}$ si cu $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ valoarea proprie a proiecției sale pe axă $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ : ${\hat {J}}_{z}$ ${\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z}}$ ${\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z}}$ .

Ambele sunt baze complete ale spațiului Hilbert. Adică, fiecare stare poate fi reprezentată atât printr-o combinație liniară a elementelor primei baze, cât și prin una dintre cele din a doua bază. Trecerea de la o bază la alta este determinată de coeficienții Clebsch-Gordan .

De acum, valorile trebuie considerate fixe $j_{1}$ ${\ displaystyle j_ {1}}$ ${\ displaystyle j_ {1}}$ Și $j_{2}$ ${\ displaystyle j_ {2}}$ ${\ displaystyle j_ {2}}$ legat de modulul celor două momente unghiulare. În schimb, valorile proiecțiilor lor pe axă vor fi libere $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ . Prin urmare, cele două baze, cuplate și decuplate, pot fi scrise mai succint:

|J,M\rangle _{A}

{\ displaystyle | J, M \ rangle _ {A}}

{\ displaystyle | J, M \ rangle _ {A}}

|m_{1},m_{2}\rangle _{D}

{\ displaystyle | m_ {1}, m_ {2} \ rangle _ {D}}

{\ displaystyle | m_ {1}, m_ {2} \ rangle _ {D}}

.

Dimensiunea spațiului automat

Din teoria impulsului unghiular se știe că numărul total de stări (atât într-o reprezentare, cât și în cealaltă) este:

(2l_{1}+1)(2l_{2}+1)

{\ displaystyle (2l_ {1} +1) (2l_ {2} +1)}

{\ displaystyle (2l_ {1} +1) (2l_ {2} +1)}

.

Mai mult, este evident că stările bazei decuplate sunt, de asemenea, stări proprii ale ${\hat {J}}_{z}$ ${\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z}}$ ${\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z}}$ cu valoare proprie:

M=m_{1}+m_{2}

{\ displaystyle M = m_ {1} + m_ {2}}

{\ displaystyle M = m_ {1} + m_ {2}}

{\hat {J}}_{z}|m_{1},m_{2}\rangle _{D}=({\hat {J}}_{1z}+{\hat {J}}_{2z})|m_{1},m_{2}\rangle _{D}=\hbar (m_{1}+m_{2})|m_{1},m_{2}\rangle _{D}=\hbar M|m_{1},m_{2}\rangle _{D}

{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z} | m_ {1}, m_ {2} \ rangle _ {D} = ({\ hat {J}} _ {1z} + {\ hat {J} } _ {2z}) | m_ {1}, m_ {2} \ rangle _ {D} = \ hbar (m_ {1} + m_ {2}) | m_ {1}, m_ {2} \ rangle _ { D} = \ hbar M | m_ {1}, m_ {2} \ rangle _ {D}}

{\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z} | m_ {1}, m_ {2} \ rangle _ {D} = ({\ hat {J}} _ {1z} + {\ hat {J} } _ {2z}) | m_ {1}, m_ {2} \ rangle _ {D} = \ hbar (m_ {1} + m_ {2}) | m_ {1}, m_ {2} \ rangle _ { D} = \ hbar M | m_ {1}, m_ {2} \ rangle _ {D}}

.

Prin urmare, și subspaiul în care a treia componentă valorează M trebuie să aibă aceeași dimensiune în ambele reprezentări.

Tratament formal

Procedăm analizând spațiile egale unul câte unul ${\hat {J}}_{z}$ ${\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z}}$ ${\ displaystyle {\ hat {J}} _ {z}}$ .

Odată ce valorile celor două momente unghiulare au fost fixate, valoarea maximă a celei de-a treia componente trebuie să fie neapărat:

M=m_{1,max}+m_{2,max}=j_{1}+j_{2}

{\ displaystyle M = m_ {1, max} + m_ {2, max} = j_ {1} + j_ {2}}

{\ displaystyle M = m_ {1, max} + m_ {2, max} = j_ {1} + j_ {2}}

Rămâne să se determine valoarea magnitudinii momentului total. Cu toate acestea, aceasta trebuie să fie în mod necesar o stare de maximă a treia componentă. Dacă nu ar fi, de fapt, prin operatorul de ascensiune s-ar putea construi o stare cu o a treia componentă inacceptabilă. Prin urmare:

|j_{1},j_{2}\rangle _{D}=|j_{1}+j_{2},j_{1}+j_{2}\rangle _{A}

{\ displaystyle | j_ {1}, j_ {2} \ rangle _ {D} = | j_ {1} + j_ {2}, j_ {1} + j_ {2} \ rangle _ {A}}

{\ displaystyle | j_ {1}, j_ {2} \ rangle _ {D} = | j_ {1} + j_ {2}, j_ {1} + j_ {2} \ rangle _ {A}}

Folosind operatorul de coborâre este acum posibil să se producă o stare cu a treia componentă coborâtă cu una.

|j_{1}+j_{2},j_{1}+j_{2}-1\rangle _{A}

{\ displaystyle | j_ {1} + j_ {2}, j_ {1} + j_ {2} -1 \ rangle _ {A}}

{\ displaystyle | j_ {1} + j_ {2}, j_ {1} + j_ {2} -1 \ rangle _ {A}}

de stări de acest tip, totuși, în baza decuplată, se obțin două:

|j_{1}-1,j_{2}\rangle _{D}

{\ displaystyle | j_ {1} -1, j_ {2} \ rangle _ {D}}

{\ displaystyle | j_ {1} -1, j_ {2} \ rangle _ {D}}

|j_{1},j_{2}-1\rangle _{D}

{\ displaystyle | j_ {1}, j_ {2} -1 \ rangle _ {D}}

{\ displaystyle | j_ {1}, j_ {2} -1 \ rangle _ {D}}

Prin urmare, un stat lipsește. Cu toate acestea, aceasta trebuie să fie o stare de maximă a treia componentă pentru a nu produce un lanț ascendent inacceptabil

|j_{1}+j_{2}-1,j_{1}+j_{2}-1\rangle _{A}

{\ displaystyle | j_ {1} + j_ {2} -1, j_ {1} + j_ {2} -1 \ rangle _ {A}}

{\ displaystyle | j_ {1} + j_ {2} -1, j_ {1} + j_ {2} -1 \ rangle _ {A}}

.

Procedura poate fi iterată, luând în considerare totuși cea din valoare

M=|j_{1}-j_{2}|

{\ displaystyle M = | j_ {1} -j_ {2} |}

{\ displaystyle M = | j_ {1} -j_ {2} |}

dimensiunea spațiului automat încetează să crească până când M atinge valoarea nulă. Pentru valorile negative, modelul este reflectat.

În cele din urmă, remediați-l $j_{1}$ ${\ displaystyle j_ {1}}$ $j_ {1}$ Și $j_{2}$ ${\ displaystyle j_ {2}}$ $j_ {2}$ , toate valorile care $J$ ${\ displaystyle J}$ $J$ pot presupune că sunt:

J=|j_{1}-j_{2}|,|j_{1}-j_{2}|+1,...j_{1}+j_{2}

{\ displaystyle J = | j_ {1} -j_ {2} |, | j_ {1} -j_ {2} | +1, ... j_ {1} + j_ {2}}

{\ displaystyle J = | j_ {1} -j_ {2} |, | j_ {1} -j_ {2} | +1, ... j_ {1} + j_ {2}}

și pentru fiecare dintre acestea avem toate valorile posibile ale $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$

M=-J,-J+1,...J

{\ displaystyle M = -J, -J + 1, ... J}

{\ displaystyle M = -J, -J + 1, ... J}

Compoziția a două momente unghiulare de rotire

Același subiect în detaliu: Rotire .

În cazul a două momente unghiulare de rotire $1/2$ ${\ displaystyle 1/2}$ $1/2$ momentul de rotire total este definit:

{\hat {\mathbf {S} }}={\hat {\mathbf {S} }}_{1}+{\hat {\mathbf {S} }}_{2}.

{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {S}}} = {\ hat {\ mathbf {S}}} _ {1} + {\ hat {\ mathbf {S}}} _ {2}.}

{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {S}}} = {\ hat {\ mathbf {S}}} _ {1} + {\ hat {\ mathbf {S}}} _ {2}.}

Există patru configurații posibile pentru perechea de centrifugare, una cu $S=0$ ${\ displaystyle S = 0}$ $S = 0$ Și $M_{S}=0$ ${\ displaystyle M_ {S} = 0}$ $M_ {S} = 0$ , numit singlet , și trei cu $S=1$ ${\ displaystyle S = 1}$ $S = 1$ și componente de-a lungul axei $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ respectiv $M_{S}=-1,0,1$ ${\ displaystyle M_ {S} = - 1,0,1}$ $M_ {S} = - 1,0,1$ , numit triplet . Singletul este caracterizat de o funcție de undă antisimetrică și corespunde stării:

\left|0,0\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|+;-\right\rangle -\left|-;+\right\rangle \right).

{\ displaystyle \ left | 0,0 \ right \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ left (\ left | +; - \ right \ rangle - \ left | -; + \ right \ rangle \ right).}

\ left | 0, 0 \ right \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ left (\ left | +; - \ right \ rangle - \ left | -; + \ right \ rangle \ right).

Tripletul este caracterizat de o funcție de undă simetrică și corespunde stărilor:

\left|1,1\right\rangle =\left|+;+\right\rangle

{\ displaystyle \ left | 1,1 \ right \ rangle = \ left | +; + \ right \ rangle}

\ left | 1, 1 \ right \ rangle = \ left | +; + \ right \ rangle

\left|1,0\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|+;-\right\rangle +\left|-;+\right\rangle \right)

{\ displaystyle \ left | 1,0 \ right \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ left (\ left | +; - \ right \ rangle + \ left | -; + \ right \ rangle \ right)}

\ left | 1, 0 \ right \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ left (\ left | +; - \ right \ rangle + \ left | -; + \ right \ rangle \ right)

\left|1,-1\right\rangle =\left|-;-\right\rangle .

{\ displaystyle \ left | 1, -1 \ right \ rangle = \ left | -; \ right \ rangle.}

\ left | 1, -1 \ right \ rangle = \ left | -; - \ right \ rangle.

Compoziția unui impuls unghiular orbital și a unui spin

Luați în considerare cazul ${\hat {\mathbf {J} }}={\hat {\mathbf {L} }}+{\hat {\mathbf {S} }}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} = {\ hat {\ mathbf {L}}} + {\ hat {\ mathbf {S}}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {J}}} = {\ hat {\ mathbf {L}}} + {\ hat {\ mathbf {S}}}}$ și să ne întrebăm în caz $l=1$ ${\ displaystyle l = 1}$ ${\ displaystyle l = 1}$ și $s=1/2$ ${\ displaystyle s = 1/2}$ $s = 1/2$ .

Din cele spuse, valoarea proprie $J$ ${\ displaystyle J}$ $J$ nu poate lua decât valori $J=l\pm 1/2$ ${\ displaystyle J = l \ pm 1/2}$ ${\ displaystyle J = l \ pm 1/2}$ acesta este $3/2$ ${\ displaystyle 3/2}$ $3/2$ Și $1/2$ ${\ displaystyle 1/2}$ $1/2$ . Cele șase stări ale bazei $\{|l,s,l_{z},s_{z}\rangle \}$ ${\ displaystyle \ {| l, s, l_ {z}, s_ {z} \ rangle \}}$ ${\ displaystyle \ {| l, s, l_ {z}, s_ {z} \ rangle \}}$ sunt distribuite în bază $\{|l,s,J,M\rangle \}$ ${\ displaystyle \ {| l, s, J, M \ rangle \}}$ ${\ displaystyle \ {| l, s, J, M \ rangle \}}$ în patru state cu