Control excelent

Controlul optim este, în contextul controalelor automate , setul de algoritmi de control care stabilizează un sistem dinamic prin minimizarea unei cifre de merit care depinde de starea sistemului și de vectorul de intrare.

Control automat

Formularea problemei

Să fie definit următorul sistem neliniar:

{\dot {x}}(t)=f(x(t),u(t))

{\ displaystyle {\ dot {x}} (t) = f (x (t), u (t))}

{\ displaystyle {\ dot {x}} (t) = f (x (t), u (t))}

cu

x\in \mathbb {R} ^{n},u\in \mathbb {R} ^{m}

{\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n}, u \ in \ mathbb {R} ^ {m}}

{\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n}, u \ in \ mathbb {R} ^ {m}}

unde este $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este numărul stărilor sistemului e $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ este numărul de intrări.

Se definește următorul cost funcțional:

J=\beta (x(t_{f}),t_{f})+\int _{t_{0}}^{t_{f}}f_{0}(x(\tau ),u(\tau ))\,d\tau

{\ displaystyle J = \ beta (x (t_ {f}), t_ {f}) + \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {f}} f_ {0} (x (\ tau), u (\ tau)) \, d \ tau}

{\ displaystyle J = \ beta (x (t_ {f}), t_ {f}) + \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {f}} f_ {0} (x (\ tau), u (\ tau)) \, d \ tau}

Scopul este de a găsi un control optim

u_{ott}(t),t\in [t_{0},t_{f}]

{\ displaystyle u_ {oct} (t), t \ in [t_ {0}, t_ {f}]}

{\ displaystyle u_ {oct} (t), t \ in [t_ {0}, t_ {f}]}

care, începând de la momentul inițial $t_{0}$ ${\ displaystyle t_ {0}}$ $t_ {0}$ iar din starea inițială $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ , minimizați $J$ ${\ displaystyle J}$ $J$ respectând constrângerea:

{\dot {x}}-f(x,u)=0

{\ displaystyle {\ dot {x}} - f (x, u) = 0}

{\ displaystyle {\ dot {x}} - f (x, u) = 0}

,

echivalentă cu

x\in X

{\ displaystyle x \ în X}

x \ în X

u\in U

{\ displaystyle u \ in U}

u \ in U

Prin urmare, există o problemă minimă constrânsă.

Ecuațiile Euler-Lagrange și condițiile de transversalitate

Această problemă minimă constrânsă poate fi rezolvată folosind tehnica multiplicatorului Lagrange, datorită căreia problema este redusă la un minim fără restricții, plătind prețul creșterii dimensiunii sale.

\min J=\beta (x_{f},t_{f})+\int _{t_{0}}^{t_{f}}f_{0}(x,u)+\lambda ^{T}\,[f(x,u)-{\dot {x}}]\;d\tau

{\ displaystyle \ min J = \ beta (x_ {f}, t_ {f}) + \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {f}} f_ {0} (x, u) + \ lambda ^ {T} \, [f (x, u) - {\ dot {x}}] \; d \ tau}

{\ displaystyle \ min J = \ beta (x_ {f}, t_ {f}) + \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {f}} f_ {0} (x, u) + \ lambda ^ {T} \, [f (x, u) - {\ dot {x}}] \; d \ tau}

cu $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ vector funcție $\lambda (t)$ ${\ displaystyle \ lambda (t)}$ $\ lambda (t)$ Multiplicatorii Lagrange urmează să fie determinați.

Cantitatea este definită

H(x,u,\lambda )=f_{0}(x,u)+\lambda ^{T}\,f(x,u)

{\ displaystyle H (x, u, \ lambda) = f_ {0} (x, u) + \ lambda ^ {T} \, f (x, u)}

{\ displaystyle H (x, u, \ lambda) = f_ {0} (x, u) + \ lambda ^ {T} \, f (x, u)}

Funcția hamiltoniană, prin care funcționalul care trebuie minimizat devine:

J=\beta (x_{f},t_{f})+\int _{t_{0}}^{t_{f}}H(x,u,\lambda )-\lambda ^{T}{\dot {x}}\;d\tau

{\ displaystyle J = \ beta (x_ {f}, t_ {f}) + \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {f}} H (x, u, \ lambda) - \ lambda ^ {T } {\ dot {x}} \; d \ tau}

{\ displaystyle J = \ beta (x_ {f}, t_ {f}) + \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {f}} H (x, u, \ lambda) - \ lambda ^ {T } {\ dot {x}} \; d \ tau}

.

Există o funcție extremă $J$ ${\ displaystyle J}$ $J$ dacă variația dinainte $\Delta J=0$ ${\ displaystyle \ Delta J = 0}$ ${\ displaystyle \ Delta J = 0}$ .

\Delta J=\left({\frac {\partial \beta }{\partial x_{f}}}\right)^{T}\Delta x_{f}\,+\,{\frac {\partial \beta }{\partial t_{f}}}\Delta t_{f}\,+\,(H_{f}-\lambda _{f}^{T}{\dot {x}}_{f})\Delta t_{f}\,+\,\int _{t_{0}}^{t_{f}}\left[\left({\frac {\partial H}{\partial x}}\right)^{T}\delta x+\left({\frac {\partial H}{\partial u}}\right)^{T}\delta u+\left({\frac {\partial H}{\partial \lambda }}\right)^{T}\delta \lambda -{\dot {x}}^{T}\delta \lambda -\lambda ^{T}\delta {\dot {x}}\right]\,d\tau

{\ displaystyle \ Delta J = \ left ({\ frac {\ partial \ beta} {\ partial x_ {f}}} \ right) ^ {T} \ Delta x_ {f} \, + \, {\ frac { \ partial \ beta} {\ partial t_ {f}}} \ Delta t_ {f} \, + \, (H_ {f} - \ lambda _ {f} ^ {T} {\ dot {x}} _ { f}) \ Delta t_ {f} \, + \, \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {f}} \ left [\ left ({\ frac {\ partial H} {\ partial x}} \ right) ^ {T} \ delta x + \ left ({\ frac {\ partial H} {\ partial u}} \ right) ^ {T} \ delta u + \ left ({\ frac {\ partial H} {\ partial \ lambda}} \ right) ^ {T} \ delta \ lambda - {\ dot {x}} ^ {T} \ delta \ lambda - \ lambda ^ {T} \ delta {\ dot {x}} \ dreapta] \, d \ tau}

{\ displaystyle \ Delta J = \ left ({\ frac {\ partial \ beta} {\ partial x_ {f}}} \ right) ^ {T} \ Delta x_ {f} \, + \, {\ frac { \ partial \ beta} {\ partial t_ {f}}} \ Delta t_ {f} \, + \, (H_ {f} - \ lambda _ {f} ^ {T} {\ dot {x}} _ { f}) \ Delta t_ {f} \, + \, \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {f}} \ left [\ left ({\ frac {\ partial H} {\ partial x}} \ right) ^ {T} \ delta x + \ left ({\ frac {\ partial H} {\ partial u}} \ right) ^ {T} \ delta u + \ left ({\ frac {\ partial H} {\ partial \ lambda}} \ right) ^ {T} \ delta \ lambda - {\ dot {x}} ^ {T} \ delta \ lambda - \ lambda ^ {T} \ delta {\ dot {x}} \ dreapta] \, d \ tau}

Luați în considerare termenul $\int _{t_{0}}^{t_{f}}-\lambda ^{T}\delta {\dot {x}}\,d\tau$ ${\ displaystyle \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {f}} - \ lambda ^ {T} \ delta {\ dot {x}} \, d \ tau}$ ${\ displaystyle \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {f}} - \ lambda ^ {T} \ delta {\ dot {x}} \, d \ tau}$ ; integrându-se prin piese și având în vedere că $\Delta x_{f}=\delta x_{f}+{\dot {x}}_{f}\Delta t_{f}$ ${\ displaystyle \ Delta x_ {f} = \ delta x_ {f} + {\ dot {x}} _ {f} \ Delta t_ {f}}$ ${\ displaystyle \ Delta x_ {f} = \ delta x_ {f} + {\ dot {x}} _ {f} \ Delta t_ {f}}$ este asta $\delta x_{0}=0$ ${\ displaystyle \ delta x_ {0} = 0}$ ${\ displaystyle \ delta x_ {0} = 0}$ , deoarece starea inițială este fixă, obținem:

\int _{t_{0}}^{t_{f}}-\lambda ^{T}\delta {\dot {x}}\,d\tau =-\lambda _{f}^{T}\Delta x_{f}+\lambda _{f}^{T}{\dot {x}}_{f}\Delta t_{f}+\int _{t_{0}}^{t_{f}}{\dot {\lambda }}^{T}\delta x\,d\tau

{\ displaystyle \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {f}} - \ lambda ^ {T} \ delta {\ dot {x}} \, d \ tau = - \ lambda _ {f} ^ { T} \ Delta x_ {f} + \ lambda _ {f} ^ {T} {\ dot {x}} _ {f} \ Delta t_ {f} + \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ { f}} {\ dot {\ lambda}} ^ {T} \ delta x \, d \ tau}

{\ displaystyle \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {f}} - \ lambda ^ {T} \ delta {\ dot {x}} \, d \ tau = - \ lambda _ {f} ^ { T} \ Delta x_ {f} + \ lambda _ {f} ^ {T} {\ dot {x}} _ {f} \ Delta t_ {f} + \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ { f}} {\ dot {\ lambda}} ^ {T} \ delta x \, d \ tau}

Prin înlocuirea $\Delta J$ ${\ displaystyle \ Delta J}$ ${\ displaystyle \ Delta J}$ și colectarea adecvată:

\Delta J=\left[{\frac {\partial \beta }{\partial x_{f}}}-\lambda _{f}\right]^{T}\Delta x_{f}\,+\,\left[{\frac {\partial \beta }{\partial t_{f}}}+H_{f}\right]\Delta t_{f}\,+\,\int _{t_{0}}^{t_{f}}\left[\left({\frac {\partial H}{\partial u}}\right)^{T}\delta u+\left({\frac {\partial H}{\partial \lambda }}-{\dot {x}}\right)^{T}\delta \lambda \,+\,\left({\frac {\partial H}{\partial x}}+{\dot {\lambda }}\right)^{T}\delta x\right]\;d\tau

{\ displaystyle \ Delta J = \ left [{\ frac {\ partial \ beta} {\ partial x_ {f}}} - \ lambda _ {f} \ right] ^ {T} \ Delta x_ {f} \, + \, \ left [{\ frac {\ partial \ beta} {\ partial t_ {f}}} + H_ {f} \ right] \ Delta t_ {f} \, + \, \ int _ {t_ {0 }} ^ {t_ {f}} \ left [\ left ({\ frac {\ partial H} {\ partial u}} \ right) ^ {T} \ delta u + \ left ({\ frac {\ partial H } {\ partial \ lambda}} - {\ dot {x}} \ right) ^ {T} \ delta \ lambda \, + \, \ left ({\ frac {\ partial H} {\ partial x}} + {\ dot {\ lambda}} \ right) ^ {T} \ delta x \ right] \; d \ tau}

{\ displaystyle \ Delta J = \ left [{\ frac {\ partial \ beta} {\ partial x_ {f}}} - \ lambda _ {f} \ right] ^ {T} \ Delta x_ {f} \, + \, \ left [{\ frac {\ partial \ beta} {\ partial t_ {f}}} + H_ {f} \ right] \ Delta t_ {f} \, + \, \ int _ {t_ {0 }} ^ {t_ {f}} \ left [\ left ({\ frac {\ partial H} {\ partial u}} \ right) ^ {T} \ delta u + \ left ({\ frac {\ partial H } {\ partial \ lambda}} - {\ dot {x}} \ right) ^ {T} \ delta \ lambda \, + \, \ left ({\ frac {\ partial H} {\ partial x}} + {\ dot {\ lambda}} \ right) ^ {T} \ delta x \ right] \; d \ tau}

.

Primul diferențial $\Delta J$ ${\ displaystyle \ Delta J}$ ${\ displaystyle \ Delta J}$ este nul dacă toate variațiile sunt egale cu zero. Găsim apoi ecuațiile Euler Lagrange

{\frac {\partial H}{\partial u}}=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial H} {\ partial u}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial H} {\ partial u}} = 0}

{\dot {x}}={\frac {\partial H}{\partial \lambda }}

{\ displaystyle {\ dot {x}} = {\ frac {\ partial H} {\ partial \ lambda}}}

{\ displaystyle {\ dot {x}} = {\ frac {\ partial H} {\ partial \ lambda}}}

{\dot {\lambda }}=-{\frac {\partial H}{\partial x}}

{\ displaystyle {\ dot {\ lambda}} = - {\ frac {\ partial H} {\ partial x}}}

{\ displaystyle {\ dot {\ lambda}} = - {\ frac {\ partial H} {\ partial x}}}

și condițiile transversalității

\lambda _{f}={\frac {\partial \beta }{\partial x_{f}}}

{\ displaystyle \ lambda _ {f} = {\ frac {\ partial \ beta} {\ partial x_ {f}}}}

{\ displaystyle \ lambda _ {f} = {\ frac {\ partial \ beta} {\ partial x_ {f}}}}

H_{f}=-{\frac {\partial \beta }{\partial t_{f}}}

{\ displaystyle H_ {f} = - {\ frac {\ partial \ beta} {\ partial t_ {f}}}}

{\ displaystyle H_ {f} = - {\ frac {\ partial \ beta} {\ partial t_ {f}}}}

.

Prin urmare, problema optimă este rezolvată prin impunerea ecuațiilor de mai sus cu așa-numitele condiții de transversalitate care iau locul condițiilor de graniță. În funcție de starea finală $x_{f}$ ${\ displaystyle x_ {f}}$ ${\ displaystyle x_ {f}}$ și timpul final $t_{f}$ ${\ displaystyle t_ {f}}$ $t_f$ liber sau fix, se disting patru probleme optime diferite.

Control LQR

Controlul LQR permite obținerea unui control de feedback din starea optimă în raport cu un indice pătratic în starea x (t) și în controlul u (t). Controlerul sintetizat depinde de soluția unei ecuații Riccati adecvate.

Control optim la energie minimă

Utilizată în controlul robotului, este o strategie de control care permite obținerea unui semnal stabilizator pentru sistem, posibil capabil de urmărire asimptotică , care minimizează consumul de energie și, prin urmare, consumul. Deoarece energia este o funcție a semnalului de control către sistem, de obicei u (t) sintetizat are o mărime mică.

Control excelent la timp minim

Utilizată în controlul robotului, este o strategie de control care permite obținerea unui semnal de stabilizare pentru sistem, posibil capabil de urmărire asimptotică , care minimizează timpul necesar pentru efectuarea operației . Deoarece timpul de creștere necesar pentru a ajunge la starea de echilibru este o funcție inversă a semnalului de control către sistem, de obicei intrarea sintetizată u (t) este mare în modul. Extrema controlului minim al timpului este controlul BANG-BANG în care controlul poate lua doar 3 valori: saturație pozitivă, saturație negativă și nulă.

Bibliografie

Colaneri P., Locatelli A., Robust control in RH2 / RH , Pitagora, Bologna , 1993.
Marro G., Comenzi automate - ediția a V-a , Zanichelli, 2004
K. Zhou, JC Doyle, K. Glover, Control robust și optim , Prentice Hall, 1996.
P. Dorato, C. Abdallah, V. Cerone Controlul quadratic liniar: o introducere , Prentice Hall, 1995.
ACADO Toolkit - Open Source Toolkit pentru control automat și optimizare dinamică (C ++, interfață MATLAB disponibilă) , pe acadotoolkit.org .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Control optim , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controlul autorității	Tezaur BNCF 53407

Portal automat de verificări : Accesați intrările Wikipedia care se ocupă de verificări automate