Principiul lui Pontryagin

Principiul lui Pontryagin (de maxim sau minim) este un rezultat al teoriei controlului optim , formulat în 1956 de matematicianul rus Lev Pontryagin împreună cu studenții săi. ^[1]

Principiul constă în identificarea condițiilor necesare pentru realizarea unui control optim care aduce un sistem dinamic de la o stare la alta, în special în prezența constrângerilor pentru stat sau pentru controale. Ecuația Euler-Lagrange a calculului variațiilor este un caz special al principiului Pontryagin.

Principiul Pontryagin, atunci când este satisfăcut, returnează o condiție necesară pentru a demonstra optimitatea unei traiectorii selectate. Cu toate acestea, această condiție nu este suficientă: ecuația Hamilton-Jacobi-Bellman ar fi o condiție necesară și suficientă pentru un control optim, dar această condiție ar trebui verificată pentru întregul spațiu de stare în timp ce principiul maxim restricționează alegerea.

Maximizare și minimizare

În mod informal, principiul lui Pontryagin afirmă că funcția obiectivă , numită hamiltoniană , trebuie să ajungă în mod necesar la o extremă dintre toate controalele admisibile. Dacă această extremă este maximul sau minimul hamiltonienului depinde de problemă și de convenția semnelor folosită pentru a defini hamiltonianul.

Principiul a fost inițial cunoscut sub numele de principiul maxim al lui Pontryagin , datorită convenției semnelor utilizate și, prin urmare, dovada sa se bazează pe maximizarea hamiltonienului. Inițial, a fost folosit pentru a maximiza viteza finală a unei rachete. Deoarece a fost folosit ulterior în numeroase probleme de minimizare, a devenit cunoscut ca principiul minimului .

Este ${\mathcal {U}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$ ${\ mathcal {U}}$ setul tuturor controalelor admisibile. Apoi, principiul minimului afirmă că controlul este optim $u^{*}$ ${\ displaystyle u ^ {*}}$ ${\ displaystyle u ^ {*}}$ trebuie să satisfacă:

H(x^{*}(t),u^{*}(t),\lambda ^{*}(t),t)\leq H(x^{*}(t),u,\lambda ^{*}(t),t),\quad \forall u\in {\mathcal {U}},\quad t\in [t_{0},t_{f}]

{\ displaystyle H (x ^ {*} (t), u ^ {*} (t), \ lambda ^ {*} (t), t) \ leq H (x ^ {*} (t), u, \ lambda ^ {*} (t), t), \ quad \ forall u \ in {\ mathcal {U}}, \ quad t \ in [t_ {0}, t_ {f}]}

{\ displaystyle H (x ^ {*} (t), u ^ {*} (t), \ lambda ^ {*} (t), t) \ leq H (x ^ {*} (t), u, \ lambda ^ {*} (t), t), \ quad \ forall u \ in {\ mathcal {U}}, \ quad t \ in [t_ {0}, t_ {f}]}

unde este $x^{*}\in C^{1}[t_{0},t_{f}]$ ${\ displaystyle x ^ {*} \ în C ^ {1} [t_ {0}, t_ {f}]}$ ${\ displaystyle x ^ {*} \ în C ^ {1} [t_ {0}, t_ {f}]}$ este traiectoria optimă e $\lambda ^{*}\in BV[t_{0},t_{f}]$ ${\ displaystyle \ lambda ^ {*} \ în BV [t_ {0}, t_ {f}]}$ ${\ displaystyle \ lambda ^ {*} \ în BV [t_ {0}, t_ {f}]}$ este traiectoria optimă adăugată. ^[2]

Rezultatul a fost inițial aplicat pentru a rezolva problemele de minimizare a timpului în care controlul a fost constrâns, dar poate fi util și în studiul problemelor constrânse de stare. Condiții speciale pot fi impuse pentru hamiltonian: în cazul în care ora finală $t_{f}$ ${\ displaystyle t_ {f}}$ $t_f$ este fix, iar hamiltonianul nu depinde în mod explicit de timp, (adică $\partial _{t}H\equiv 0$ ${\ displaystyle \ partial _ {t} H \ equiv 0}$ ${\ displaystyle \ partial _ {t} H \ equiv 0}$ ), asa de:

H(x^{*}(t),u^{*}(t),\lambda ^{*}(t))\equiv \mathrm {costante} \,

{\ displaystyle H (x ^ {*} (t), u ^ {*} (t), \ lambda ^ {*} (t)) \ equiv \ mathrm {constant} \,}

{\ displaystyle H (x ^ {*} (t), u ^ {*} (t), \ lambda ^ {*} (t)) \ equiv \ mathrm {constant} \,}

în caz contrar, dacă timpul final nu este limitat, atunci:

H(x^{*}(t),u^{*}(t),\lambda ^{*}(t))\equiv 0.\,

{\ displaystyle H (x ^ {*} (t), u ^ {*} (t), \ lambda ^ {*} (t)) \ equiv 0. \,}

{\ displaystyle H (x ^ {*} (t), u ^ {*} (t), \ lambda ^ {*} (t)) \ equiv 0. \,}

Notaţie

În cele ce urmează, va fi utilizată următoarea notație

\Psi _{T}(x(T))={\frac {\partial \Psi (x)}{\partial T}}|_{x=x(T)}\,

{\ displaystyle \ Psi _ {T} (x (T)) = {\ frac {\ partial \ Psi (x)} {\ partial T}} | _ {x = x (T)} \,}

{\ displaystyle \ Psi _ {T} (x (T)) = {\ frac {\ partial \ Psi (x)} {\ partial T}} | _ {x = x (T)} \,}

\Psi _{x}(x(T))={\begin{bmatrix}{\frac {\partial \Psi (x)}{\partial x_{1}}}|_{x=x(T)}&\cdots &{\frac {\partial \Psi (x)}{\partial x_{n}}}|_{x=x(T)}\end{bmatrix}}

{\ displaystyle \ Psi _ {x} (x (T)) = {\ begin {bmatrix} {\ frac {\ partial \ Psi (x)} {\ partial x_ {1}}} | _ {x = x ( T)} & \ cdots & {\ frac {\ partial \ Psi (x)} {\ partial x_ {n}}} | _ {x = x (T)} \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle \ Psi _ {x} (x (T)) = {\ begin {bmatrix} {\ frac {\ partial \ Psi (x)} {\ partial x_ {1}}} | _ {x = x ( T)} & \ cdots & {\ frac {\ partial \ Psi (x)} {\ partial x_ {n}}} | _ {x = x (T)} \ end {bmatrix}}}

H_{x}(x^{*},u^{*},\lambda ^{*},t)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial H}{\partial x_{1}}}|_{x=x^{*},u=u^{*},\lambda =\lambda ^{*}}&\cdots &{\frac {\partial H}{\partial x_{n}}}|_{x=x^{*},u=u^{*},\lambda =\lambda ^{*}}\end{bmatrix}}

{\ displaystyle H_ {x} (x ^ {*}, u ^ {*}, \ lambda ^ {*}, t) = {\ begin {bmatrix} {\ frac {\ partial H} {\ partial x_ {1 }}} | _ {x = x ^ {*}, u = u ^ {*}, \ lambda = \ lambda ^ {*}} & \ cdots & {\ frac {\ partial H} {\ partial x_ {n }}} | _ {x = x ^ {*}, u = u ^ {*}, \ lambda = \ lambda ^ {*}} \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle H_ {x} (x ^ {*}, u ^ {*}, \ lambda ^ {*}, t) = {\ begin {bmatrix} {\ frac {\ partial H} {\ partial x_ {1 }}} | _ {x = x ^ {*}, u = u ^ {*}, \ lambda = \ lambda ^ {*}} & \ cdots & {\ frac {\ partial H} {\ partial x_ {n }}} | _ {x = x ^ {*}, u = u ^ {*}, \ lambda = \ lambda ^ {*}} \ end {bmatrix}}}

L_{x}(x^{*},u^{*})={\begin{bmatrix}{\frac {\partial L}{\partial x_{1}}}|_{x=x^{*},u=u^{*}}&\cdots &{\frac {\partial L}{\partial x_{n}}}|_{x=x^{*},u=u^{*}}\end{bmatrix}}

{\ displaystyle L_ {x} (x ^ {*}, u ^ {*}) = {\ begin {bmatrix} {\ frac {\ partial L} {\ partial x_ {1}}} | _ {x = x ^ {*}, u = u ^ {*}} & \ cdots & {\ frac {\ partial L} {\ partial x_ {n}}} | _ {x = x ^ {*}, u = u ^ { *}} \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle L_ {x} (x ^ {*}, u ^ {*}) = {\ begin {bmatrix} {\ frac {\ partial L} {\ partial x_ {1}}} | _ {x = x ^ {*}, u = u ^ {*}} & \ cdots & {\ frac {\ partial L} {\ partial x_ {n}}} | _ {x = x ^ {*}, u = u ^ { *}} \ end {bmatrix}}}

f_{x}(x^{*},u^{*})={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}|_{x=x^{*},u=u^{*}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}|_{x=x^{*},u=u^{*}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{1}}}|_{x=x^{*},u=u^{*}}&\ldots &{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{n}}}|_{x=x^{*},u=u^{*}}\end{bmatrix}}

{\ displaystyle f_ {x} (x ^ {*}, u ^ {*}) = {\ begin {bmatrix} {\ frac {\ partial f_ {1}} {\ partial x_ {1}}} | _ { x = x ^ {*}, u = u ^ {*}} & \ cdots & {\ frac {\ partial f_ {1}} {\ partial x_ {n}}} | _ {x = x ^ {*} , u = u ^ {*}} \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ {\ frac {\ partial f_ {n}} {\ partial x_ {1}}} | _ {x = x ^ {* }, u = u ^ {*}} & \ ldots & {\ frac {\ partial f_ {n}} {\ partial x_ {n}}} | _ {x = x ^ {*}, u = u ^ { *}} \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle f_ {x} (x ^ {*}, u ^ {*}) = {\ begin {bmatrix} {\ frac {\ partial f_ {1}} {\ partial x_ {1}}} | _ { x = x ^ {*}, u = u ^ {*}} & \ cdots & {\ frac {\ partial f_ {1}} {\ partial x_ {n}}} | _ {x = x ^ {*} , u = u ^ {*}} \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ {\ frac {\ partial f_ {n}} {\ partial x_ {1}}} | _ {x = x ^ {* }, u = u ^ {*}} & \ ldots & {\ frac {\ partial f_ {n}} {\ partial x_ {n}}} | _ {x = x ^ {*}, u = u ^ { *}} \ end {bmatrix}}}

Declarație formală a principiului minimului

Este $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ starea sistemului dinamic cu intrare $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ , astfel încât

{\dot {x}}=f(x,u),\quad x(0)=x_{0},\quad u(t)\in {\mathcal {U}},\quad t\in [0,T]

{\ displaystyle {\ dot {x}} = f (x, u), \ quad x (0) = x_ {0}, \ quad u (t) \ in {\ mathcal {U}}, \ quad t \ în [0, T]}

{\ displaystyle {\ dot {x}} = f (x, u), \ quad x (0) = x_ {0}, \ quad u (t) \ in {\ mathcal {U}}, \ quad t \ în [0, T]}

unde este ${\mathcal {U}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$ ${\ mathcal {U}}$ este setul de controale admisibile e $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este ora de sfârșit a sistemului (adică ora de sfârșit).

O verificare $u\in {\mathcal {U}}$ ${\ displaystyle u \ in {\ mathcal {U}}}$ ${\ displaystyle u \ in {\ mathcal {U}}}$ trebuie aleasă la fiecare $t\in [0,T]$ ${\ displaystyle t \ in [0, T]}$ $t \ in [0, T]$ , astfel încât să minimizeze obiectivul funcțional al problemei $J$ ${\ displaystyle J}$ $J$ definit în mod abstract ca

J=\Psi (x(T))+\int _{0}^{T}L(x(t),u(t))\,dt

{\ displaystyle J = \ Psi (x (T)) + \ int _ {0} ^ {T} L (x (t), u (t)) \, dt}

{\ displaystyle J = \ Psi (x (T)) + \ int _ {0} ^ {T} L (x (t), u (t)) \, dt}

Constrângerile asupra dinamicii sistemului pot fi impuse lagrangianului $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ introducerea multiplicatorilor Lagrange $\lambda (t)$ ${\ displaystyle \ lambda (t)}$ $\ lambda (t)$ , dependent de timp, ale cărui elemente se numesc adăugiri de sistem. Acest lucru motivează construcția hamiltonianului $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ definit pentru fiecare $t\in [0,T]$ ${\ displaystyle t \ in [0, T]}$ $t \ in [0, T]$ din:

H(x(t),u(t),\lambda (t),t)=\lambda ^{\rm {T}}(t)f(x(t),u(t))+L(x(t),u(t))\,

{\ displaystyle H (x (t), u (t), \ lambda (t), t) = \ lambda ^ {\ rm {T}} (t) f (x (t), u (t)) + L (x (t), u (t)) \,}

{\ displaystyle H (x (t), u (t), \ lambda (t), t) = \ lambda ^ {\ rm {T}} (t) f (x (t), u (t)) + L (x (t), u (t)) \,}

unde este $\lambda ^{\rm {T}}$ ${\ displaystyle \ lambda ^ {\ rm {T}}}$ ${\ displaystyle \ lambda ^ {\ rm {T}}}$ este transpunerea $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ .

Principiul minim Pontryagin prevede că:

traiectoria optimă $x^{*}$ ${\ displaystyle x ^ {*}}$ $x ^ {*}$ , control excelent $u^{*}$ ${\ displaystyle u ^ {*}}$ ${\ displaystyle u ^ {*}}$ și vectorul corespunzător al multiplicatorilor Lagrange $\lambda ^{*}$ ${\ displaystyle \ lambda ^ {*}}$ ${\ displaystyle \ lambda ^ {*}}$ trebuie să minimalizeze hamiltonienul $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ astfel încât

(1)\qquad H(x^{*}(t),u^{*}(t),\lambda ^{*}(t),t)\leq H(x^{*}(t),u,\lambda ^{*}(t),t)\,

{\ displaystyle (1) \ qquad H (x ^ {*} (t), u ^ {*} (t), \ lambda ^ {*} (t), t) \ leq H (x ^ {*} ( t), u, \ lambda ^ {*} (t), t) \,}

{\ displaystyle (1) \ qquad H (x ^ {*} (t), u ^ {*} (t), \ lambda ^ {*} (t), t) \ leq H (x ^ {*} ( t), u, \ lambda ^ {*} (t), t) \,}

pentru fiecare dată $t\in [0,T]$ ${\ displaystyle t \ in [0, T]}$ $t \ in [0, T]$ și pentru toate controalele admisibile $u\in {\mathcal {U}}$ ${\ displaystyle u \ in {\ mathcal {U}}}$ ${\ displaystyle u \ in {\ mathcal {U}}}$ .

De asemenea, trebuie să îndeplinească condiția finală

(2)\qquad \Psi _{T}(x(T))+H(T)=0\,

{\ displaystyle (2) \ qquad \ Psi _ {T} (x (T)) + H (T) = 0 \,}

{\ displaystyle (2) \ qquad \ Psi _ {T} (x (T)) + H (T) = 0 \,}

Ecuațiile adăugate trebuie îndeplinite

(3)\qquad -{\dot {\lambda }}^{\rm {T}}(t)=H_{x}(x^{*}(t),u^{*}(t),\lambda (t),t)=\lambda ^{\rm {T}}(t)f_{x}(x^{*}(t),u^{*}(t))+L_{x}(x^{*}(t),u^{*}(t))

{\ displaystyle (3) \ qquad - {\ dot {\ lambda}} ^ {\ rm {T}} (t) = H_ {x} (x ^ {*} (t), u ^ {*} (t ), \ lambda (t), t) = \ lambda ^ {\ rm {T}} (t) f_ {x} (x ^ {*} (t), u ^ {*} (t)) + L_ { x} (x ^ {*} (t), u ^ {*} (t))}

{\ displaystyle (3) \ qquad - {\ dot {\ lambda}} ^ {\ rm {T}} (t) = H_ {x} (x ^ {*} (t), u ^ {*} (t ), \ lambda (t), t) = \ lambda ^ {\ rm {T}} (t) f_ {x} (x ^ {*} (t), u ^ {*} (t)) + L_ { x} (x ^ {*} (t), u ^ {*} (t))}

În cazul în care starea finală $x(T)$ ${\ displaystyle x (T)}$ ${\ displaystyle x (T)}$ nu este fix (adică variația sa diferențiată nu este zero), trebuie să satisfacă și constrângerea finală asupra variabilelor adăugate:

(4)\qquad \lambda ^{\rm {T}}(T)=\Psi _{x}(x(T))\,

{\ displaystyle (4) \ qquad \ lambda ^ {\ rm {T}} (T) = \ Psi _ {x} (x (T)) \,}

{\ displaystyle (4) \ qquad \ lambda ^ {\ rm {T}} (T) = \ Psi _ {x} (x (T)) \,}

Condițiile din (1) - (4) sunt condiții necesare pentru un control optim. Rețineți că (4) se aplică numai în caz $x(T)$ ${\ displaystyle x (T)}$ ${\ displaystyle x (T)}$ este liber de constrângere. Dacă ar fi remediată, această condiție nu este necesară pentru a atinge optimul.

Notă

^ Boltyanskiĭ, VG; Gamkrelidze, RV; Pontryagin, L. S, К теории оптимальных процессов [Despre teoria proceselor optime. (Rusă)]., În Dokl. Akad. Nauk SSSR , voi. 110, 7-10, 1956.
^ Mai multe informații despre spațiile C ¹ și BV .

linkuri externe

( EN ) Principiul maxim Pontryagin , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.

[1] Boltyanskiĭ, VG; Gamkrelidze, RV; Pontryagin, L. S, К теории оптимальных процессов [Despre teoria proceselor optime. (Rusă)]., În Dokl. Akad. Nauk SSSR , voi. 110, 7-10, 1956.

[2] Mai multe informații despre spațiile C ¹ și BV .

[1]

[2]