Regulator liniar cuadratic

Regulatorul pătratic liniar ( LQR ), în contextul controlului optim și, mai general, al controalelor automate și al sistemelor dinamice liniare invariante în timp, este un compensator dinamic obținut în urma minimizării unui indice de cost. $J(x,u)$ ${\ displaystyle J (x, u)}$ $J (x, u)$ o funcție a statului $x(t)$ ${\ displaystyle x (t)}$ $x (t)$ și control $u(t)$ ${\ displaystyle u (t)}$ $tu (t)$ .

\min J={\frac {1}{2}}x_{f}^{T}S_{f}x_{f}+{\frac {1}{2}}\int _{t_{0}}^{t_{f}}(x^{T}Qx+u^{T}Ru)\,d\tau

{\ displaystyle \ min J = {\ frac {1} {2}} x_ {f} ^ {T} S_ {f} x_ {f} + {\ frac {1} {2}} \ int _ {t_ { 0}} ^ {t_ {f}} (x ^ {T} Qx + u ^ {T} Ru) \, d \ tau}

\ min J = {\ frac {1} {2}} x_ {f} ^ {T} S_ {f} x_ {f} + {\ frac {1} {2}} \ int _ {{t_ {0} }} ^ {{t_ {f}}} (x ^ {T} Qx + u ^ {T} Ru) \, d \ tau

,

cu $S_{f}$ ${\ displaystyle S_ {f}}$ $S_ {f}$ Și $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ matrici simetrice pozitive și semi definite e $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ simetric și pozitiv definit.

Valabilitatea ipotezelor inițiale

Luând în considerare matricile simetrice nu face ca problema să-și piardă generalitatea; de fapt, orice formă pătratică este echivalentă cu alta cu o matrice simetrică. Este ușor de demonstrat:

x^{T}Kx=2{\frac {1}{2}}x^{T}Kx+{\frac {1}{2}}x^{T}K^{T}x-{\frac {1}{2}}x^{T}K^{T}x={\frac {1}{2}}x^{T}(K+K^{T})x+{\frac {1}{2}}x^{T}(K-K^{T})x={\frac {1}{2}}x^{T}(K+K^{T})x

{\ displaystyle x ^ {T} Kx = 2 {\ frac {1} {2}} x ^ {T} Kx + {\ frac {1} {2}} x ^ {T} K ^ {T} x- {\ frac {1} {2}} x ^ {T} K ^ {T} x = {\ frac {1} {2}} x ^ {T} (K + K ^ {T}) x + {\ frac {1} {2}} x ^ {T} (KK ^ {T}) x = {\ frac {1} {2}} x ^ {T} (K + K ^ {T}) x}

x ^ {T} Kx = 2 {\ frac {1} {2}} x ^ {T} Kx + {\ frac {1} {2}} x ^ {T} K ^ {T} x - {\ frac {1} {2}} x ^ {T} K ^ {T} x = {\ frac {1} {2}} x ^ {T} (K + K ^ {T}) x + {\ frac {1 } {2}} x ^ {T} (KK ^ {T}) x = {\ frac {1} {2}} x ^ {T} (K + K ^ {T}) x

Matricea $K+K^{T}$ ${\ displaystyle K + K ^ {T}}$ $K + K ^ {T}$ este simetric în timp ce $K-K^{T}$ ${\ displaystyle KK ^ {T}}$ $K-K ^ {T}$ este antisimetric și, prin urmare, generează o formă pătratică nulă.

Matricea R este definitiv pozitivă altfel ar exista pentru $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ soluții infinite, un caz neinteresant în domeniul ingineriei pentru care este preferată o intrare excelentă $u_{ott}(t)$ ${\ displaystyle u_ {oct} (t)}$ $u _ {{Oct}} (t)$ fi unic.

Teorema: existența soluției

Pentru fiecare matrice Q semidefinită pozitivă și pentru fiecare matrice pozitivă definită R există întotdeauna o soluție $u_{\mathrm {ott} }(t)$ ${\ displaystyle u _ {\ mathrm {oct}} (t)}$ ${\ displaystyle u _ {\ mathrm {oct}} (t)}$ a problemei de control optim LQR care minimizează indicele de cost $J(x,u)$ ${\ displaystyle J (x, u)}$ $J (x, u)$ .

Teorema: existența unei soluții stabilizatoare

Dacă sistemul LTI este stabilizabil și detectabil, atunci minimizarea indicelui costurilor (făcându-l limitat) stabilizează, de asemenea, sistemul.

Controlul obținut $u_{\mathrm {ott} }(t)$ ${\ displaystyle u _ {\ mathrm {oct}} (t)}$ ${\ displaystyle u _ {\ mathrm {oct}} (t)}$ este o funcție liniară a stării și a unor matrice, inclusiv soluția P (t) a DRE (ecuația diferențială Riccati) dacă controlul este timp finit, sau soluția P (constantă) a ARE (ecuația algebrică Riccati) dacă controlul este la timp infinit.

Timpul a expirat

Verifica

u_{ott}(t)=-K_{\mathrm {ott} }(t)x(t)

{\ displaystyle u_ {oct} (t) = - K _ {\ mathrm {oct}} (t) x (t)}

{\ displaystyle u_ {oct} (t) = - K _ {\ mathrm {oct}} (t) x (t)}

controler de feedback de stare

K_{\mathrm {ott} }(t)=R^{-1}B^{T}P(t)

{\ displaystyle K _ {\ mathrm {oct}} (t) = R ^ {- 1} B ^ {T} P (t)}

{\ displaystyle K _ {\ mathrm {oct}} (t) = R ^ {- 1} B ^ {T} P (t)}

DRE a cărui soluție dă P (t)

-{\frac {dP(t)}{dt}}=A^{T}P(t)+P(t)A+Q-P(t)BR^{-1}B^{T}P(t)

{\ displaystyle - {\ frac {dP (t)} {dt}} = A ^ {T} P (t) + P (t) A + QP (t) BR ^ {- 1} B ^ {T} P (t)}

- {\ frac {dP (t)} {dt}} = A ^ {T} P (t) + P (t) A + QP (t) BR ^ {{- 1}} B ^ {T} P ( t)

Timp infinit

Verifica

u_{\mathrm {ott} }(t)=-K_{\mathrm {ott} }x(t)

{\ displaystyle u _ {\ mathrm {oct}} (t) = - K _ {\ mathrm {oct}} x (t)}

{\ displaystyle u _ {\ mathrm {oct}} (t) = - K _ {\ mathrm {oct}} x (t)}

controler de feedback de stare

K_{\mathrm {ott} }=R^{-1}B^{T}P

{\ displaystyle K _ {\ mathrm {Oct}} = R ^ {- 1} B ^ {T} P}

{\ displaystyle K _ {\ mathrm {Oct}} = R ^ {- 1} B ^ {T} P}

ARE a cărei soluție oferă P

[0]=A^{T}P+PA+Q-PBR^{-1}B^{T}P

{\ displaystyle [0] = A ^ {T} P + PA + Q-PBR ^ {- 1} B ^ {T} P}

[0] = A ^ {T} P + PA + Q-PBR ^ {{- 1}} B ^ {T} P

În esență, a face o verificare a unui interval finit sau infinit înseamnă doar a-l face să tindă spre infinit ( $t_{f}$ ${\ displaystyle t_ {f}}$ $t_f$ → ∞) limita superioară a integralei pe care o definește $J(x,u)$ ${\ displaystyle J (x, u)}$ $J (x, u)$ . Efectul unui control asupra timpului infinit este un controler staționar (independent de timp), adică o matrice $K_{\mathrm {ott} }$ ${\ displaystyle K _ {\ mathrm {ott}}}$ ${\ displaystyle K _ {\ mathrm {ott}}}$ constant și excelent în ceea ce privește indicele pe care ați dorit să-l reduceți.

Teorema: robustețe intrinsecă

Control automat

Controlul LQR poate fi dovedit a fi robust singur pentru o gamă de variații parametrice ∂ $P_{0}$ ${\ displaystyle P_ {0}}$ $P_ {0}$ legat de procesul nominal $P_{0}$ ${\ displaystyle P_ {0}}$ $P_ {0}$ cu frecvență superioară constantă și egală cu $l_{m}=0.5$ ${\ displaystyle l_ {m} = 0,5}$ $l_ {m} = 0,5$ . Cu alte cuvinte, permite controlul tuturor variațiilor care modifică matricea de transfer de referință-ieșire $U_{0}$ ${\ displaystyle U_ {0}}$ $U_ {0}$ controlează performanța sensibilității până la o valoare maximă astfel încât valoarea singulară maximă a acestei matrice să fie mai mică de 2 (controlează performanța sensibilității ).

Bibliografie

Colaneri P., Locatelli A., Robust control in RH2 / RH , Pitagora, Bologna, 1993.
Marro G., Comenzi automate - ediția a V-a , Zanichelli, 2004
K. Zhou, JC Doyle, K. Glover, Control robust și optim , Prentice Hall, 1996.
P. Dorato, C. Abdallah, V. Cerone Controlul quadratic liniar: o introducere , Prentice Hall, 1995.

Elemente conexe

Portal automat de verificări : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de verificări automate