Constanta lui Brun

Constanta lui Brun
Simbol	$B_{2}$ ${\ displaystyle B_ {2}}$ $B_2$
Valoare	1.902160583104 ... (conjecturat) (secvența A065421 a OEIS )
Originea numelui	Viggo Brun
Camp	numere reale
Graficul prezintă sumele parțiale în roșu $\sum _{\stackrel {p,p+2{\text{ primi gemelli}},}{p\leq k}}\left({\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p+2}}\right)$ ${\ displaystyle \ sum _ {\ stackrel {p, p + 2 {\ text {twin primes}},} {p \ leq k}} \ left ({\ frac {1} {p}} + {\ frac { 1} {p + 2}} \ dreapta)}$ $\ sum _ {{{\ stackrel {p, p + 2 {\ text {twin primes}},} {p \ leq k}}}} \ left ({\ frac 1 {p}} + {\ frac 1 { p + 2}} \ dreapta)$ pentru k până la 10 ⁵ . Linia albastră corespunde aproximării constantei obținute luând k = 10 ¹⁶ .

Constanta lui Brun (mai formal constanta lui Brun pentru primii gemeni ) este o teoremă matematică dezvoltată de Viggo Brun în 1919 .

El a arătat că suma reciprocelor primelor gemene (perechi de prime care diferă cu 2) converg la o constantă matematică , numită de numele său.

De obicei este indicat cu B ₂ :

$B_{2}=\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}\right)+\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\right)+\left({\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19}}\right)+\left({\frac {1}{29}}+{\frac {1}{31}}\right)+\cdots$ ${\ displaystyle B_ {2} = \ left ({\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} \ right) + \ left ({\ frac {1} {5}} + {\ frac {1} {7}} \ right) + \ left ({\ frac {1} {11}} + {\ frac {1} {13}} \ right) + \ left ({\ frac {1 } {17}} + {\ frac {1} {19}} \ right) + \ left ({\ frac {1} {29}} + {\ frac {1} {31}} \ right) + \ cdots }$ $B_ {2} = \ left ({\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} \ right) + \ left ({\ frac {1} {5}} + {\ frac {1} {7}} \ right) + \ left ({\ frac {1} {11}} + {\ frac {1} {13}} \ right) + \ left ({\ frac {1} {17 }} + {\ frac {1} {19}} \ right) + \ left ({\ frac {1} {29}} + {\ frac {1} {31}} \ right) + \ cdots$

în contrast puternic cu faptul că suma reciprocelor tuturor primilor este divergentă. Acest lucru înseamnă că, chiar dacă ar exista primele gemene infinite (așa cum a prezisfaimoasa conjectură ) acestea ar fi „o fracțiune infinitezimală a primelor”.

Calculând primele gemene până la 10 ¹⁴ (și descoperind între timp bug-ul Pentium FDIV ), Thomas R. Bine a estimat euristic o valoare de 1,902160578 pentru constanta lui Brun. Cea mai bună estimare de astăzi a fost oferită de Pascal Sebah și Patrick Demichel în 2002 , care, folosind toate primele gemene până la 10 ¹⁶ , au furnizat aproximarea

B ₂ ≈ 1.902160583104.

Există, de asemenea, o constantă Brun pentru numerele prime cvadruple . Un prim cvadruplu este o pereche de perechi de primi gemeni, separați de o distanță de 4 (cea mai mică distanță posibilă). Primele cvadrupluri sunt (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109). Constanta lui Brun pentru primele cvadruple, notate cu B ₄ , este suma reciprocelor tuturor primelor cvadruple:

B_{4}=\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19}}\right)+\left({\frac {1}{101}}+{\frac {1}{103}}+{\frac {1}{107}}+{\frac {1}{109}}\right)+\cdots

{\ displaystyle B_ {4} = \ left ({\ frac {1} {5}} + {\ frac {1} {7}} + {\ frac {1} {11}} + {\ frac {1} {13}} \ right) + \ left ({\ frac {1} {11}} + {\ frac {1} {13}} + {\ frac {1} {17}} + {\ frac {1} {19}} \ right) + \ left ({\ frac {1} {101}} + {\ frac {1} {103}} + {\ frac {1} {107}} + {\ frac {1} {109}} \ right) + \ cdots}

B_ {4} = \ left ({\ frac {1} {5}} + {\ frac {1} {7}} + {\ frac {1} {11}} + {\ frac {1} {13} } \ right) + \ left ({\ frac {1} {11}} + {\ frac {1} {13}} + {\ frac {1} {17}} + {\ frac {1} {19} } \ right) + \ left ({\ frac {1} {101}} + {\ frac {1} {103}} + {\ frac {1} {107}} + {\ frac {1} {109} } \ right) + \ cdots

și are valoarea:

B ₄ = 0,87058 83800 ± 0,00000 00005.

Această constantă nu trebuie confundată cu constanta lui Brun pentru primii veri , adică perechi de primi ai formei ( p , p + 4), scrisă și ca B ₄ .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Articol despre enumerarea primelor gemene și despre constanta Brun , pe trnicely.net . Adus la 13 septembrie 2005 (arhivat din original la 8 decembrie 2013) .
( EN ) Calculul constantei lui Brun , pe numbers.computation.free.fr . Adus la 13 septembrie 2005 (arhivat din original la 24 decembrie 2019) .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică