Constantă catalană

Constantă catalană
Simbol	K.
Valoare	0.9159655941772190150546 ... (secvența A006752 a OEIS )
Originea numelui	Eugène Charles Catalan
Fracție continuă	[0; 1, 10, 1, 8, 1, 88, 4, 1, 1, 7, ...] (secvența A014538 a OEIS)
Camp	numere reale

În matematică , constanta catalană apare ocazional în estimările combinatorii și este definită ca

\mathrm {K} =\beta (2)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+...,

{\ displaystyle \ mathrm {K} = \ beta (2) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 1) ^ {2 }}} = {\ frac {1} {1 ^ {2}}} - {\ frac {1} {3 ^ {2}}} + {\ frac {1} {5 ^ {2}}} - { \ frac {1} {7 ^ {2}}} + ...,}

\ mathrm {K} = \ beta (2) = \ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} {\ frac {(-1) ^ {{n}}} {(2n + 1) ^ {2}}} = {\ frac {1} {1 ^ {2}}} - {\ frac {1} {3 ^ {2}}} + {\ frac {1} {5 ^ {2}} } - {\ frac {1} {7 ^ {2}}} + ...,

unde β este funcția beta Dirichlet . Valoarea sa numerică aproximativă este

K = 0,915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 ...

Nu se știe dacă K este un număr rațional sau irațional .

Identități integrale

Unele identități sunt:

K=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}y^{2}}}\,dx\,dy

{\ displaystyle K = \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {1} {1 + x ^ {2} y ^ {2}}} \, dx \ , dy}

K = \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {1} {1 + x ^ {2} y ^ {2}}} \, dx \, dy

K=-\int _{0}^{1}{\frac {\ln t}{1+t^{2}}}{\mbox{ d}}t

{\ displaystyle K = - \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ ln t} {1 + t ^ {2}}} {\ mbox {d}} t}

K = - \ int _ {{0}} ^ {{1}} {\ frac {\ ln t} {1 + t ^ {2}}} {\ mbox {d}} t

K=\int _{0}^{\pi /4}{\frac {t}{\sin t\cos t}}\;dt

{\ displaystyle K = \ int _ {0} ^ {\ pi / 4} {\ frac {t} {\ sin t \ cos t}} \; dt}

K = \ int _ {{0}} ^ {{\ pi / 4}} {\ frac {t} {\ sin t \ cos t}} \; dt

K={\frac {1}{4}}\int _{-\pi /2}^{\pi /2}{\frac {t}{\sin t}}\;dt

{\ displaystyle K = {\ frac {1} {4}} \ int _ {- \ pi / 2} ^ {\ pi / 2} {\ frac {t} {\ sin t}} \; dt}

K = {\ frac {1} {4}} \ int _ {{- \ pi / 2}} ^ {{\ pi / 2}} {\ frac {t} {\ sin t}} \; dt

K=\int _{0}^{\pi /4}\ln(\cot(t))\,dt

{\ displaystyle K = \ int _ {0} ^ {\ pi / 4} \ ln (\ cot (t)) \, dt}

K = \ int _ {{0}} ^ {{\ pi / 4}} \ ln (\ cot (t)) \, dt

K=\int _{0}^{\infty }\arctan(e^{-t})\,dt

{\ displaystyle K = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ arctan (e ^ {- t}) \, dt}

K = \ int _ {{0}} ^ {{\ infty}} \ arctan (e ^ {{- t}}) \, dt

K=\int _{0}^{1}{\frac {\arctan t}{t}}dt

{\ displaystyle K = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ arctan t} {t}} dt}

K = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ arctan t} {t}} dt

K={\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\mathrm {K} (t)\,dt

{\ displaystyle K = {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {1} \ mathrm {K} (t) \, dt}

K = {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {1} {\ mathrm {K}} (t) \, dt

unde K ( t ) este o integrală eliptică completă de primul fel.

Utilitate

K apare în combinație și ca a doua funcție poligamma , numită și funcție trigamma , pentru argumentele fracționare:

\psi _{1}\left({\frac {1}{4}}\right)=\pi ^{2}+8K

{\ displaystyle \ psi _ {1} \ left ({\ frac {1} {4}} \ right) = \ pi ^ {2} + 8K}

\ psi _ {{1}} \ left ({\ frac {1} {4}} \ right) = \ pi ^ {2} + 8K

\psi _{1}\left({\frac {3}{4}}\right)=\pi ^{2}-8K

{\ displaystyle \ psi _ {1} \ left ({\ frac {3} {4}} \ right) = \ pi ^ {2} -8K}

\ psi _ {{1}} \ left ({\ frac {3} {4}} \ right) = \ pi ^ {2} -8K

Simon Plouffe a furnizat un set infinit de identități între funcția trigamma, $\pi ^{2}$ ${\ displaystyle \ pi ^ {2}}$ $\ pi ^ {2}$ și constanta catalană; aceste identități pot fi exprimate ca trasee pe un grafic.

Apare, de asemenea, cu referire la distribuția secantă hiperbolică .

Bibliografie

( EN ) Victor Adamchik, 33 de reprezentări pentru constanta catalană (nu este actualizat)
( EN ) Victor Adamchik, Seria asociată constantei catalane , (2002) Zeitschrift fuer Analysis und ihre Anwendungen (ZAA), 21 , pp. 1-10.
( EN ) Simon Plouffe, Some identities (III) with the Catalan constant .. Arhivat 20 aprilie 2009 la Internet Archive . , (1993) (Oferă peste o sută de identități diferite) .
(EN) Simon Plouffe, o oarecare identitate cu constanta catalană și Pi ^ 2 Depus 21 aprilie 2009 în Internet Archive . , (1999) (Oferă o interpretare grafică a relației)
( EN ) Greg Fee, constanta catalană (formula lui Ramanujan) (1996) (Oferă primele 300.000 de cifre ale constantei catalane.) .

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, Catalan Constant , în MathWorld Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică