Criteriul Von Mises

Criteriul de distorsiune maximă (în domeniul tehnic denumit în mod obișnuit criteriul lui von Mises, chiar dacă rădăcina este incertă) este o suprafață de randament relativ la materialele ductile (este, prin urmare, un criteriu de randament ), izotropă , cu rezistență egală la tracțiune și compresie .

În spațiul tridimensional al principalelor solicitări $(\sigma _{I},\sigma _{II},\sigma _{III})$ ${\ displaystyle (\ sigma _ {I}, \ sigma _ {II}, \ sigma _ {III})}$ $(\ sigma_ {I}, \ sigma_ {II}, \ sigma_ {III})$ , acest domeniu corespunde unui cilindru cu secțiune circulară cu axă plasată în trisectorul octantei pozitive. Acest cilindru circumscrie prisma dreaptă cu o bază hexagonală asociată criteriului solicitării tangențiale maxime .

Criteriul von Mises presupune că rezistența la randament a materialului este atinsă atunci când energia de distorsiune atinge o valoare limită, unde distorsiunea este componenta deformării care determină o modificare a formei, dar nu și a volumului, a unui element de volum. .

$\sigma _{id,VM}={\sqrt {\sigma _{x}^{2}-\sigma _{x}\sigma _{y}+\sigma _{y}^{2}+3\tau _{xy}^{2}}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {id, VM} = {\ sqrt {\ sigma _ {x} ^ {2} - \ sigma _ {x} \ sigma _ {y} + \ sigma _ {y} ^ {2} +3 \ tau _ {xy} ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {id, VM} = {\ sqrt {\ sigma _ {x} ^ {2} - \ sigma _ {x} \ sigma _ {y} + \ sigma _ {y} ^ {2} +3 \ tau _ {xy} ^ {2}}}}$

Criteriul poate fi atribuit inițial lui Maxwell ( 1856 ), care l-a propus pe baza unor considerații pur matematico-formale.

Într-un context mai strict mecanic, criteriul a fost propus ulterior de Richard von Mises ( 1913 ) și, aproape independent și pe baza unor considerente diferite, și de Huber ( 1904 ) și Hencky ( 1924 ). Criteriul este mai des referit astăzi la acești autori.

Formalizarea criteriului

Câteva definiții :

Parte deviatică a deformării și tensiunii

{\boldsymbol {\varepsilon }}^{dev}={\boldsymbol {\varepsilon }}-{\bar {\varepsilon }}\,{\boldsymbol {\delta }}\;\;,\;\;{\boldsymbol {\sigma }}^{dev}={\boldsymbol {\sigma }}-{\bar {\sigma }}\,{\boldsymbol {\delta }}\;\;,\;\;{\boldsymbol {\delta }}\;

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon}} ^ {dev} = {\ boldsymbol {\ varepsilon}} - {\ bar {\ varepsilon}} \, {\ boldsymbol {\ delta}} \; \ ;, \; \; {\ boldsymbol {\ sigma}} ^ {dev} = {\ boldsymbol {\ sigma}} - {\ bar {\ sigma}} \, {\ boldsymbol {\ delta}} \; \ ;, \; \ ; {\ boldsymbol {\ delta}} \;}

\ boldsymbol {\ varepsilon} ^ {dev} = \ boldsymbol {\ varepsilon} - \ bar {\ varepsilon} \, \ boldsymbol {\ delta} \; \ ;, \; \; \ boldsymbol {\ sigma} ^ {dev} = \ boldsymbol {\ sigma} - \ bar {\ sigma} \, \ boldsymbol {\ delta} \; \ ;, \; \; \ boldsymbol {\ delta} \;

: tensor de identitate

{\bar {\varepsilon }}={\frac {1}{3}}{\mbox{tr}}\left({\boldsymbol {\varepsilon }}\right)={\frac {1}{3}}(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33})\;\;,\;\;{\bar {\sigma }}={\frac {1}{3}}{\mbox{tr}}{\bigl (}{\boldsymbol {\sigma }}{\bigr )}={\frac {1}{3}}(\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33})

{\ displaystyle {\ bar {\ varepsilon}} = {\ frac {1} {3}} {\ mbox {tr}} \ left ({\ boldsymbol {\ varepsilon}} \ right) = {\ frac {1} {3}} (\ varepsilon _ {11} + \ varepsilon _ {22} + \ varepsilon _ {33}) \; \ ;, \; \; {\ bar {\ sigma}} = {\ frac {1} {3}} {\ mbox {tr}} {\ bigl (} {\ boldsymbol {\ sigma}} {\ bigr)} = {\ frac {1} {3}} (\ sigma _ {11} + \ sigma _ {22} + \ sigma _ {33})}

\ bar {\ varepsilon} = \ frac {1} {3} \ mbox {tr} \ left (\ boldsymbol {\ varepsilon} \ right) = \ frac {1} {3} (\ varepsilon_ {11} + \ varepsilon_ {22} + \ varepsilon_ {33}) \; \ ;, \; \; \ bar {\ sigma} = \ frac {1} {3} \ mbox {tr} \ bigl (\ boldsymbol {\ sigma} \ bigr) = \ frac {1} {3} (\ sigma_ {11} + \ sigma_ {22} + \ sigma_ {33})

Partea deviatică a deformării este asociată cu o modificare a formei corpului, dar nu și a volumului: corespunde vitezei de deformare a deformării.

Relațiile constitutive ale materialelor elastic-liniare și izotrope în ceea ce privește coeficienții $(\lambda ,\mu \!)$ ${\ displaystyle (\ lambda, \ mu \!)}$ $(\ lambda, \ mu \!)$ de Lamé

{\boldsymbol {\sigma }}=\lambda \,{\mbox{tr}}\left({\boldsymbol {\varepsilon }}\right)\,{\boldsymbol {\delta }}+2\mu \,{\boldsymbol {\varepsilon }}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = \ lambda \, {\ mbox {tr}} \ left ({\ boldsymbol {\ varepsilon}} \ right) \, {\ boldsymbol {\ delta}} + 2 \ mu \, {\ boldsymbol {\ varepsilon}}}

\ boldsymbol {\ sigma} = \ lambda \, \ mbox {tr} \ left (\ boldsymbol {\ varepsilon} \ right) \, \ boldsymbol {\ delta} +2 \ mu \, \ boldsymbol {\ varepsilon}

{\boldsymbol {\sigma }}^{dev}=2\mu \,{\boldsymbol {\varepsilon }}^{dev}\;\;,\;\;{\bar {\sigma }}=(3\lambda +2\mu )\,{\bar {\varepsilon }}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} ^ {dev} = 2 \ mu \, {\ boldsymbol {\ varepsilon}} ^ {dev} \; \ ;, \; \; {\ bar {\ sigma}} = (3 \ lambda +2 \ mu) \, {\ bar {\ varepsilon}}}

\ boldsymbol {\ sigma} ^ {dev} = 2 \ mu \, \ boldsymbol {\ varepsilon} ^ {dev} \; \ ;,;;;; bar {\ sigma} = (3 \ lambda + 2 \ mu ) \, \ bar {\ varepsilon}

Densitatea energiei de deformare pentru materialele liniar-elastice și izotrope

\Phi ={\frac {1}{2}}\,{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{2}}\,\left({\frac {{\boldsymbol {\sigma }}^{dev}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}^{dev}}{2\mu }}+{\frac {{\bar {\sigma }}^{2}}{3\lambda +2\mu }}\right)

{\ displaystyle \ Phi = {\ frac {1} {2}} \, {\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot {\ boldsymbol {\ varepsilon}} = {\ frac {1} {2}} \, \ left ({\ frac {{\ boldsymbol {\ sigma}} ^ {dev} \ cdot {\ boldsymbol {\ sigma}} ^ {dev}} {2 \ mu}} + {\ frac {{\ bar {\ sigma }} ^ {2}} {3 \ lambda +2 \ mu}} \ right)}

\ Phi = \ frac {1} {2} \, \ boldsymbol {\ sigma} \ cdot \ boldsymbol {\ varepsilon} = \ frac {1} {2} \, \ left (\ frac {\ boldsymbol {\ sigma} ^ {dev} \ cdot \ boldsymbol {\ sigma} ^ {dev}} {2 \ mu} + \ frac {\ bar {\ sigma} ^ 2} {3 \ lambda + 2 \ mu} \ right)

Alicot distorsionant al densității energiei de deformare pentru materiale liniar-elastice și izotrope

\Phi ^{dev}={\frac {1}{4\mu }}\,{\boldsymbol {\sigma }}^{dev}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}^{dev}={\frac {1}{4\mu }}\,\left({\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}-3{\bar {\sigma }}^{2}\right)

{\ displaystyle \ Phi ^ {dev} = {\ frac {1} {4 \ mu}} \, {\ boldsymbol {\ sigma}} ^ {dev} \ cdot {\ boldsymbol {\ sigma}} ^ {dev} = {\ frac {1} {4 \ mu}} \, \ left ({\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot {\ boldsymbol {\ sigma}} - 3 {\ bar {\ sigma}} ^ {2} \ dreapta)}

\ Phi ^ {dev} = \ frac {1} {4 \ mu} \, \ boldsymbol {\ sigma} ^ {dev} \ cdot \ boldsymbol {\ sigma} ^ {dev} = \ frac {1} {4 \ mu} \, \ left (\ boldsymbol {\ sigma} \ cdot \ boldsymbol {\ sigma} - 3 \ bar {\ sigma} ^ 2 \ right)

În ceea ce privește componentele generice

\sigma _{ij}

{\ displaystyle \ sigma _ {ij}}

\ sigma_ {ij}

tensorului de tensiune:

\Phi ^{dev}={\frac {1}{4\mu }}\,\left({\frac {1}{3}}(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+{\frac {1}{3}}(\sigma _{11}-\sigma _{33})^{2}+{\frac {1}{3}}(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+2(\sigma _{12}^{2}+\sigma _{13}^{2}+\sigma _{23}^{2})\right)

{\ displaystyle \ Phi ^ {dev} = {\ frac {1} {4 \ mu}} \, \ left ({\ frac {1} {3}} (\ sigma _ {11} - \ sigma _ {22 }) ^ {2} + {\ frac {1} {3}} (\ sigma _ {11} - \ sigma _ {33}) ^ {2} + {\ frac {1} {3}} (\ sigma _ {22} - \ sigma _ {33}) ^ {2} +2 (\ sigma _ {12} ^ {2} + \ sigma _ {13} ^ {2} + \ sigma _ {23} ^ {2 }) \ dreapta)}

\ Phi ^ {dev} = \ frac {1} {4 \ mu} \, \ left (\ frac {1} {3} (\ sigma_ {11} - \ sigma_ {22}) ^ 2+ \ frac {1 } {3} (\ sigma_ {11} - \ sigma_ {33}) ^ 2+ \ frac {1} {3} (\ sigma_ {22} - \ sigma_ {33}) ^ 2 + 2 (\ sigma_ {12 } ^ 2 + \ sigma_ {13} ^ 2 + \ sigma_ {23} ^ 2) \ right)

În ceea ce privește principalele stresuri :

\Phi ^{dev}={\frac {1}{12\mu }}\,\left((\sigma _{I}-\sigma _{II})^{2}+(\sigma _{I}-\sigma _{III})^{2}+(\sigma _{II}-\sigma _{III})^{2}\right)

{\ displaystyle \ Phi ^ {dev} = {\ frac {1} {12 \ mu}} \, \ left ((\ sigma _ {I} - \ sigma _ {II}) ^ {2} + (\ sigma _ {I} - \ sigma _ {III}) ^ {2} + (\ sigma _ {II} - \ sigma _ {III}) ^ {2} \ right)}

\ Phi ^ {dev} = \ frac {1} {12 \ mu} \, \ left ((\ sigma_ {I} - \ sigma_ {II}) ^ 2 + (\ sigma_ {I} - \ sigma_ {III} ) ^ 2 + (\ sigma_ {II} - \ sigma_ {III}) ^ 2 \ dreapta)

Elipsa Von Mises

Conform criteriului von Mises, suprafața limită a domeniului elastic este definită de condiție

\Phi ^{dev}={\frac {1}{4\mu }}\,\left({\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}-3{\bar {\sigma }}^{2}\right)=k^{lim}

{\ displaystyle \ Phi ^ {dev} = {\ frac {1} {4 \ mu}} \, \ left ({\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot {\ boldsymbol {\ sigma}} - 3 {\ bar {\ sigma}} ^ {2} \ right) = k ^ {lim}}

\ Phi ^ {dev} = \ frac {1} {4 \ mu} \, \ left (\ boldsymbol {\ sigma} \ cdot \ boldsymbol {\ sigma} -3 \ bar {\ sigma} ^ 2 \ right) = k ^ {lim}

care s-a specializat în cazul limitativ al tensiunilor uniaxiale ( $\sigma _{y}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {y}}$ $\ sigma_y$ este stresul de randament )

\Phi ^{dev}={\frac {1}{6\mu }}\,\sigma _{y}^{2}=k^{lim}

{\ displaystyle \ Phi ^ {dev} = {\ frac {1} {6 \ mu}} \, \ sigma _ {y} ^ {2} = k ^ {lim}}

{\ displaystyle \ Phi ^ {dev} = {\ frac {1} {6 \ mu}} \, \ sigma _ {y} ^ {2} = k ^ {lim}}

vă permite să setați parametrul $k^{lim}$ ${\ displaystyle k ^ {lim}}$ $k ^ {lim}$ și pentru a finaliza construcția domeniului elastic. Pe baza criteriului von Mises, condiția de randament poate fi reprezentată de

f({\boldsymbol {\sigma }})={\frac {3}{2}}\,{\bigl (}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}-3{\bar {\sigma }}^{2}{\bigr )}-\sigma _{y}^{2}=0

{\ displaystyle f ({\ boldsymbol {\ sigma}}) = {\ frac {3} {2}} \, {\ bigl (} {\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot {\ boldsymbol {\ sigma}} -3 {\ bar {\ sigma}} ^ {2} {\ bigr)} - \ sigma _ {y} ^ {2} = 0}

f (\ boldsymbol {\ sigma}) = \ frac {3} {2} \, \ bigl (\ boldsymbol {\ sigma} \ cdot \ boldsymbol {\ sigma} -3 \ bar {\ sigma} ^ 2 \ bigr) - \ sigma_y ^ 2 = 0

exprimat în componente generice din

f(\sigma _{ij})={\frac {1}{2}}(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+{\frac {1}{2}}(\sigma _{11}-\sigma _{33})^{2}+{\frac {1}{2}}(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+3(\sigma _{12}^{2}+\sigma _{13}^{2}+\sigma _{23}^{2})-\sigma _{y}^{2}=0

{\ displaystyle f (\ sigma _ {ij}) = {\ frac {1} {2}} (\ sigma _ {11} - \ sigma _ {22}) ^ {2} + {\ frac {1} { 2}} (\ sigma _ {11} - \ sigma _ {33}) ^ {2} + {\ frac {1} {2}} (\ sigma _ {22} - \ sigma _ {33}) ^ { 2} +3 (\ sigma _ {12} ^ {2} + \ sigma _ {13} ^ {2} + \ sigma _ {23} ^ {2}) - \ sigma _ {y} ^ {2} = 0}

f (\ sigma_ {ij}) = \ frac {1} {2} (\ sigma_ {11} - \ sigma_ {22}) ^ 2+ \ frac {1} {2} (\ sigma_ {11} - \ sigma_ {33}) ^ 2+ \ frac {1} {2} (\ sigma_ {22} - \ sigma_ {33}) ^ 2 + 3 (\ sigma_ {12} ^ 2 + \ sigma_ {13} ^ 2 + \ sigma_ {23} ^ 2) - \ sigma_y ^ 2 = 0

iar în ceea ce privește principalele stresuri din

f(\sigma _{I},\sigma _{II},\sigma _{III})={\frac {1}{2}}(\sigma _{I}-\sigma _{II})^{2}+{\frac {1}{2}}(\sigma _{I}-\sigma _{III})^{2}+{\frac {1}{2}}(\sigma _{II}-\sigma _{III})^{2}-\sigma _{y}^{2}=0

{\ displaystyle f (\ sigma _ {I}, \ sigma _ {II}, \ sigma _ {III}) = {\ frac {1} {2}} (\ sigma _ {I} - \ sigma _ {II }) ^ {2} + {\ frac {1} {2}} (\ sigma _ {I} - \ sigma _ {III}) ^ {2} + {\ frac {1} {2}} (\ sigma _ {II} - \ sigma _ {III}) ^ {2} - \ sigma _ {y} ^ {2} = 0}

f (\ sigma_ {I}, \ sigma_ {II}, \ sigma_ {III}) = \ frac {1} {2} (\ sigma_ {I} - \ sigma_ {II}) ^ 2+ \ frac {1} {2} (\ sigma_ {I} - \ sigma_ {III}) ^ 2+ \ frac {1} {2} (\ sigma_ {II} - \ sigma_ {III}) ^ 2 - \ sigma_y ^ 2 = 0

În spațiul tridimensional al principalelor solicitări $(\sigma _{I},\sigma _{II},\sigma _{III})$ ${\ displaystyle (\ sigma _ {I}, \ sigma _ {II}, \ sigma _ {III})}$ $(\ sigma_ {I}, \ sigma_ {II}, \ sigma_ {III})$ , acest domeniu corespunde unui cilindru cu secțiune circulară cu o axă plasată în bisectoarea octantei pozitive. Acest cilindru circumscrie prisma dreaptă cu o bază hexagonală asociată criteriului Tresca .

Intersecția domeniului von Mises cu planul $\sigma _{III}=0$ ${\ displaystyle \ sigma _ {III} = 0}$ $\ sigma_ {III} = 0$ descrie o curbă de elipsă centrată la originea axelor $(\sigma _{I},\sigma _{II})$ ${\ displaystyle (\ sigma _ {I}, \ sigma _ {II})}$ $(\ sigma_ {I}, \ sigma_ {II})$

f(\sigma _{I},\sigma _{II},\sigma _{III}=0)=\sigma _{I}^{2}+\sigma _{II}^{2}-\sigma _{I}\,\sigma _{II}-\sigma _{y}^{2}=0

{\ displaystyle f (\ sigma _ {I}, \ sigma _ {II}, \ sigma _ {III} = 0) = \ sigma _ {I} ^ {2} + \ sigma _ {II} ^ {2} - \ sigma _ {I} \, \ sigma _ {II} - \ sigma _ {y} ^ {2} = 0}

f (\ sigma_ {I}, \ sigma_ {II}, \ sigma_ {III} = 0) = \ sigma_ {I} ^ 2 + \ sigma_ {II} ^ 2- \ sigma_ {I} \, \ sigma_ {II } - \ sigma_y ^ 2 = 0

Această elipsă circumscrie reprezentarea analogă a domeniului elastic asociat cu criteriul Tresca (un poligon hexagonal). Rezultă că criteriul Tresca este mai restrictiv. Cu toate acestea, diferențele nu sunt excesive și ambele criterii, în special criteriul von Mises, oferă rezultate care au un acord foarte bun cu rezultatele experimentale. Simplitatea mai mare de reprezentare a domeniului elastic oferit de criteriul von Mises favorizează o utilizare mai mare a acestuia în practică, în special în contextele de analiză de calcul.

Reprezentarea criteriului von Mises în spațiul 3D al tensiunilor principale

Reprezentarea criteriului von Mises în planul (σ _I , σ _II ) al tensiunilor principale

Alte interpretări ale criteriului von Mises

Interpretarea dată a criteriului von Mises, ca maxim al energiei deviatorice, nu este singura posibilă: criteriul poate avea interpretări diferite, dar echivalente, în sensul că acestea conduc la aceleași relații formale raportate mai sus. În special: condiția de randament este atinsă atunci când al doilea invariant $\ J_{2}$ ${\ displaystyle \ J_ {2}}$ $\ J_2$ a părții deviatice a tensorului de tensiune

J_{2}({\boldsymbol {\sigma }}^{dev})\equiv {\frac {1}{2}}\left(tr({\boldsymbol {\sigma }}^{dev}{\boldsymbol {\sigma }}^{dev})-(tr\,{\boldsymbol {\sigma }}^{dev})^{2}\right)={\frac {1}{2}}\left(tr({\boldsymbol {\sigma }}^{dev}{\boldsymbol {\sigma }}^{dev})\right)

{\ displaystyle J_ {2} ({\ boldsymbol {\ sigma}} ^ {dev}) \ equiv {\ frac {1} {2}} \ left (tr ({\ boldsymbol {\ sigma}} ^ {dev} {\ boldsymbol {\ sigma}} ^ {dev}) - (tr \, {\ boldsymbol {\ sigma}} ^ {dev}) ^ {2} \ right) = {\ frac {1} {2}} \ left (tr ({\ boldsymbol {\ sigma}} ^ {dev} {\ boldsymbol {\ sigma}} ^ {dev}) \ right)}

J_2 (\ boldsymbol {\ sigma} ^ {dev}) \ equiv \ frac {1} {2} \ left (tr (\ boldsymbol {\ sigma} ^ {dev} \ boldsymbol {\ sigma} ^ {dev}) - (tr \, \ boldsymbol {\ sigma} ^ {dev}) ^ 2 \ right) = \ frac {1} {2} \ left (tr (\ boldsymbol {\ sigma} ^ {dev} \ boldsymbol {\ sigma} ^ {dev}) \ dreapta)

atinge o valoare limită

\ f(J_{2})=J_{2}-k^{2}=0

{\ displaystyle \ f (J_ {2}) = J_ {2} -k ^ {2} = 0}

\ f (J_2) = J_2 - k ^ 2 = 0

Această interpretare este posibilă având în vedere relația dintre $\ J_{2}$ ${\ displaystyle \ J_ {2}}$ $\ J_2$ și densitatea energiei de distorsiune $\ \Phi ^{dev}$ ${\ displaystyle \ \ Phi ^ {dev}}$ $\ \ Phi ^ {dev}$ :

\ \Phi ^{dev}={\frac {J_{2}}{2\mu }}

{\ displaystyle \ \ Phi ^ {dev} = {\ frac {J_ {2}} {2 \ mu}}}

\ \ Phi ^ {dev} = \ frac {J_2} {2 \ mu}

În acest sens, dezvoltarea teoriei incrementale a plasticității pe baza condiției de randament furnizate de criteriul von Mises este adesea menționată ca $\ J_{2}$ ${\ displaystyle \ J_ {2}}$ $\ J_2$ - plasticitatea o $\ J_{2}$ ${\ displaystyle \ J_ {2}}$ $\ J_2$ - teoria fluxului .

Criteriul von Mises este, de asemenea, cunoscut sub numele de tensiune de forfecare maximă octaedrică , deoarece condiția de randament relativ poate fi interpretată ca atingând o valoare limită a tensiunii de forfecare octaedrică. $\ \tau _{oct}$ ${\ displaystyle \ \ tau _ {oct}}$ $\ \ tau_ {oct}$ , adică componenta tangențială a tensiunii pe planul octaedric, un plan echi-orientat față de cele trei direcții principale. Această interpretare este posibilă având în vedere relația dintre această cantitate $\ \tau _{oct}$ ${\ displaystyle \ \ tau _ {oct}}$ $\ \ tau_ {oct}$ iar invariantul $\ J_{2}$ ${\ displaystyle \ J_ {2}}$ $\ J_2$

\tau _{oct}={\sqrt {{\frac {2}{3}}J_{2}}}

{\ displaystyle \ tau _ {oct} = {\ sqrt {{\ frac {2} {3}} J_ {2}}}}

\ tau_ {oct} = \ sqrt {\ frac {2} {3} J_2}

Bibliografie

Laura Vergani, Mecanica materialelor , McGraw-Hill, Milano, 2006, ISBN 88-386-6345-9
Leone Corradi Dell'Acqua, Mecanica structurilor , vol. I, McGraw-Hill, Milano, 1992, ISBN 88-386-0665-X

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe criteriul von Mises

Portal de inginerie

Portal mecanic