Criteriul de condensare Cauchy

În matematică , criteriul de condensare Cauchy este o serie de criterii de convergență , numit după Augustin-Louis Cauchy . El afirmă că, pentru un non-negativ și non-creștere succesiune $a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ $a_ {n}$ , serialul

\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}}

converge dacă și numai în cazul în care suma converge

\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}a_{2^{n}}

{\ Displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} 2 ^ {n} a_ {2 ^ {n}}}

{\ Displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} 2 ^ {n} a_ {2 ^ {n}}}

adică, aceste două serii au același caracter. Mai mult decât atât, în cazul în care ambele conduc, inegalitatea deține

\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\leq \sum _{n=0}^{\infty }2^{n}a_{2^{n}}\leq 2\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.

{\ Displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} \ leq \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} 2 ^ {n} a_ {2 ^ {n}} \ leq 2 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}.}

{\ Displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} \ leq \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} 2 ^ {n} a_ {2 ^ {n}} \ leq 2 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}.}

Demonstrație

Este $a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ $a_ {n}$ un non-negativ și non-creștere secvență de numere reale . Dovada se bazează pe colectarea termenilor seriei în grupuri de lungime $2^{n}$ ${\ displaystyle 2 ^ {n}}$ $2 ^ {n}$ , Apoi estimarea fiecare grup, pentru a trece de la o serie la alta. În cazul în care „condensat“ converge serie, atunci

${\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}&=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}+\cdots +a_{2^{n}}+a_{2^{n}+1}+\cdots +a_{2^{n+1}-1}+\cdots \\&=a_{1}+\underbrace {a_{2}+a_{3}} _{\leq a_{2}+a_{2}}+\underbrace {a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}} _{\leq a_{4}+a_{4}+a_{4}+a_{4}}+\cdots +\underbrace {a_{2^{n}}+a_{2^{n}+1}+\cdots +a_{2^{n+1}-1}} _{\leq a_{2^{n}}+a_{2^{n}}+\cdots +a_{2^{n}}}+\cdots \\&\leq a_{1}+2a_{2}+4a_{4}+\cdots +2^{n}a_{2^{n}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}a_{2^{n}}.\end{aligned}}$ ${\ Displaystyle {\ begin {aliniat} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} & = a_ {1} + a_ {2} + a_ {3} + a_ {4} + a_ { 5} + a_ {6} + a_ {7} + \ cdots + a_ {2 ^ {n}} + a_ {2 ^ {n} +1} + \ cdots + a_ {2 ^ {n + 1} -1 } + \ cdots \\ & = a_ {1} + \ underbrace {a_ {2} + a_ {3}} _ {\ leq a_ {2} + a_ {2}} + \ underbrace {a_ {4} + a_ {5} + a_ {6} + a_ {7}} _ {\ leq a_ {4} + a_ {4} + a_ {4} + a_ {4}} + \ cdots + \ underbrace {a_ {2 ^ { n}} + a_ {2 ^ {n} +1} + \ cdots + a_ {2 ^ {n + 1} -1}} _ {\ leq a_ {2 ^ {n}} + a_ {2 ^ {n }} + \ cdots + a_ {2 ^ {n}}} + \ cdots \\ & \ leq a_ {1} + 2a_ {2} + 4a_ {4} + \ cdots + 2 ^ {n} a_ {2 ^ {n}} + \ cdots = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} 2 ^ {n} a_ {2 ^ {n}}. \ end {aliniat}}}$ ${\ Displaystyle {\ begin {aliniat} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} & = a_ {1} + a_ {2} + a_ {3} + a_ {4} + a_ { 5} + a_ {6} + a_ {7} + \ cdots + a_ {2 ^ {n}} + a_ {2 ^ {n} +1} + \ cdots + a_ {2 ^ {n + 1} -1 } + \ cdots \\ & = a_ {1} + \ underbrace {a_ {2} + a_ {3}} _ {\ leq a_ {2} + a_ {2}} + \ underbrace {a_ {4} + a_ {5} + a_ {6} + a_ {7}} _ {\ leq a_ {4} + a_ {4} + a_ {4} + a_ {4}} + \ cdots + \ underbrace {a_ {2 ^ { n}} + a_ {2 ^ {n} +1} + \ cdots + a_ {2 ^ {n + 1} -1}} _ {\ leq a_ {2 ^ {n}} + a_ {2 ^ {n }} + \ cdots + a_ {2 ^ {n}}} + \ cdots \\ & \ leq a_ {1} + 2a_ {2} + 4a_ {4} + \ cdots + 2 ^ {n} a_ {2 ^ {n}} + \ cdots = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} 2 ^ {n} a_ {2 ^ {n}}. \ end {aliniat}}}$

și, prin urmare, seria inițială converge de asemenea; faptul că succesiunea este non-creștere, și, prin urmare, de fiecare dată, a fost exploatat într-un mod esențial $n<m$ ${\ Displaystyle n <m}$ $n <m$ , da $a_{n}>a_{m}$ ${\ Displaystyle a_ {n}> a_ {m}}$ ${\ Displaystyle a_ {n}> a_ {m}}$ sau $a_{n}=a_{m}$ ${\ Displaystyle a_ {n} = a_ {m}}$ ${\ Displaystyle a_ {n} = a_ {m}}$ . În mod similar, putem estima „condensat“ seria ca

{\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}a_{2^{n}}&=\underbrace {a_{1}+a_{2}} _{\leq a_{1}+a_{1}}+\underbrace {a_{2}+a_{4}+a_{4}+a_{4}} _{\leq a_{2}+a_{2}+a_{3}+a_{3}}+\cdots +\underbrace {a_{2^{n}}+a_{2^{n+1}}+\cdots +a_{2^{n+1}}} _{\leq a_{2^{n}}+a_{2^{n}}+a_{(2^{n}+1)}+a_{(2^{n}+1)}+\cdots +a_{(2^{n+1}-1)}}+\cdots \\&\leq a_{1}+a_{1}+a_{2}+a_{2}+a_{3}+a_{3}+\cdots +a_{n}+a_{n}+\cdots =2\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.\end{aligned}}

{\ Displaystyle {\ begin {aliniat} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} 2 ^ {n} a_ {2 ^ {n}} & = \ underbrace {a_ {1} + a_ {2}} _ {\ leq a_ {1} + a_ {1}} + \ underbrace {a_ {2} + a_ {4} + a_ {4} + a_ {4}} _ {\ leq a_ {2} + a_ {2 } + a_ {3} + a_ {3}} + \ cdots + \ underbrace {a_ {2 ^ {n}} + a_ {2 ^ {n + 1}} + \ cdots + a_ {2 ^ {n + 1 }}} _ {\ leq a_ {2 ^ {n}} + a_ {2 ^ {n}} + a _ {(2 ^ {n} 1)} + o _ {(2 ^ {n} +1 )} + \ cdots + o _ {(2 ^ {n + 1} -1)}} + \ cdots \\ & \ leq a_ {1} + a_ {1} + a_ {2} + a_ {2} + a_ {3} + a_ {3} + \ cdots + a_ {n} + a_ {n} + \ cdots = 2 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}. \ end {aliniat} }}

{\ Displaystyle {\ begin {aliniat} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} 2 ^ {n} a_ {2 ^ {n}} & = \ underbrace {a_ {1} + a_ {2}} _ {\ leq a_ {1} + a_ {1}} + \ underbrace {a_ {2} + a_ {4} + a_ {4} + a_ {4}} _ {\ leq a_ {2} + a_ {2 } + a_ {3} + a_ {3}} + \ cdots + \ underbrace {a_ {2 ^ {n}} + a_ {2 ^ {n + 1}} + \ cdots + a_ {2 ^ {n + 1 }}} _ {\ leq a_ {2 ^ {n}} + a_ {2 ^ {n}} + a _ {(2 ^ {n} 1)} + o _ {(2 ^ {n} +1 )} + \ cdots + o _ {(2 ^ {n + 1} -1)}} + \ cdots \\ & \ leq a_ {1} + a_ {1} + a_ {2} + a_ {2} + a_ {3} + a_ {3} + \ cdots + a_ {n} + a_ {n} + \ cdots = 2 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}. \ end {aliniat} }}

și, prin urmare, în cazul în care converge seria inițială, apoi „condensat“ seria de asemenea converge. Prin demonstrația am obținut, de asemenea, estimarea

\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\leq \sum _{n=0}^{\infty }2^{n}a_{2^{n}}\leq 2\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}

{\ Displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} \ leq \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} 2 ^ {n} a_ {2 ^ {n}} \ leq 2 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}}

{\ Displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} \ leq \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} 2 ^ {n} a_ {2 ^ {n}} \ leq 2 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}}

.

Generalizare

O generalizare a acestui criteriu a fost găsit de Schlömilch : ambele $\{a_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {a_ {n} \}}$ $\ {a_ {n} \}$ un non-creștere și de succesiune pozitivă, și așa să fie $\{u_{n}\}$ ${\ Displaystyle \ {u_ {n} \}}$ ${\ Displaystyle \ {u_ {n} \}}$ o succesiune strict crescătoare de numere naturale astfel încât

\exists K\in \mathbb {R} :|{\frac {u_{n+1}-u_{n}}{u_{n}-u_{n-1}}}|\leq K,

{\ Displaystyle \ există K \ în \ mathbb {R}: | {\ frac {u_ {n + 1} -u_ {n}} {u_ {n} -u_ {n-1}}} | \ leq K, }

{\ Displaystyle \ există K \ în \ mathbb {R}: | {\ frac {u_ {n + 1} -u_ {n}} {u_ {n} -u_ {n-1}}} | \ leq K, }

adică, este limitat. Apoi, seria $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}}$ converge, dacă și numai dacă converge

\sum _{n=0}^{\infty }{\Delta u_{n}}a_{u_{n}}=\sum _{n=0}^{\infty }(u_{n+1}-u_{n})a_{u_{n}}

{\ Displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ Delta u_ {n}} a_ {u_ {n}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (u_ {n + 1} -u_ {n}) a_ {u_ {n}}}

{\ Displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ Delta u_ {n}} a_ {u_ {n}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (u_ {n + 1} -u_ {n}) a_ {u_ {n}}}

Dacă luăm $u_{n}=2^{n}$ ${\ Displaystyle u_ {n} = 2 ^ {n}}$ ${\ Displaystyle u_ {n} = 2 ^ {n}}$ , da $\Delta u_{n}=u_{n+1}-u_{n}=2^{n}$ ${\ Displaystyle \ Delta u_ {n} = u_ {n + 1} -u_ {n} = 2 ^ {n}}$ ${\ Displaystyle \ Delta u_ {n} = u_ {n + 1} -u_ {n} = 2 ^ {n}}$ , Recâștigarea astfel criteriul de condensare Cauchy- ca un caz particular.

În general, observăm că, dacă luăm $u_{n}=k^{n}$ ${\ Displaystyle u_ {n} = k ^ {n}}$ ${\ Displaystyle u_ {n} = k ^ {n}}$ , cu $k>1$ ${\ displaystyle k> 1}$ $k> 1$ , asa de $u_{n}$ ${\ Displaystyle u_ {n}}$ ${\ Displaystyle u_ {n}}$ îndeplinește condițiile de mai sus și că avem $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}}$ converge dacă și numai în cazul în care converge seria $\sum _{n=0}^{\infty }k^{n}a_{k^{n}}$ ${\ Displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} k ^ {n} a_ {k ^ {n}}}$ ${\ Displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} k ^ {n} a_ {k ^ {n}}}$

Utilizare

Criteriul este util mai ales în cazul seriilor în care logaritmii sunt prezente, care sunt „transformate“ prin condensare în generalizate serie armonice , care sunt mai ușor de tratat. De exemplu, în cazul seriei

\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n(\ln n)^{a}(\ln \ln n)^{b}}}

{\ Displaystyle \ sum _ {n = 2} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n (\ ln n) ^ {a} (\ ln \ ln n) ^ {b}}}}

{\ Displaystyle \ sum _ {n = 2} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n (\ ln n) ^ {a} (\ ln \ ln n) ^ {b}}}}

o primă aplicare a criteriului prevede seria

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{n}}{2^{n}(\ln e^{n\ln 2})^{a}(\ln \ln e^{n\ln 2})^{b}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{a}(\ln 2)^{a}(\ln n+\ln \ln 2)^{b}}}

{\ Displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {2 ^ {n}} {2 ^ {n} (\ ln e ^ {n \ ln 2}) ^ {a} (\ ln \ ln e ^ {n \ ln 2}) ^ {b}}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {a} (\ ln 2) ^ {a} (\ ln n + \ ln \ ln 2) ^ {b}}}}

{\ Displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {2 ^ {n}} {2 ^ {n} (\ ln e ^ {n \ ln 2}) ^ {a} (\ ln \ ln e ^ {n \ ln 2}) ^ {b}}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {a} (\ ln 2) ^ {a} (\ ln n + \ ln \ ln 2) ^ {b}}}}

care converge pentru $a>1$ ${\ displaystyle a> 1}$ ${\ Displaystyle a> 1}$ și divergenta $a<1$ ${\ Displaystyle a <1}$ ${\ Displaystyle a <1}$ ; în cazul extrem $a=1$ ${\ displaystyle a = 1}$ ${\ Displaystyle a = 1}$ o aplicare suplimentară a criteriului prevede (cu excepția cazului o constantă)

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{b}}}

{\ Displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {b}}}}

{\ Displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {b}}}}

care converge pentru $b>1$ ${\ B displaystyle> 1}$ ${\ B displaystyle> 1}$ și divergenta în celelalte cazuri.

Bibliografie

Khoury Bonar (2006). Seria Infinit Real. Asociația matematică a Americii. ISBN 0-88385-745-6 .

linkuri externe

(RO) demonstratiei criteriu , pe pirate.shu.edu. Adus de 21 noiembrie 2009 (arhivate original pe 25 iulie 2009).

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică