Debit vehicul

Blocaj de trafic în Franța

Analiza fluxului vehiculelor de vehicule în situații reale de trafic face obiectul studiului Ingineriei Transporturilor . Prin intermediul modelelor matematice bazate în principal pe constatări empirice, se încearcă furnizarea unei modelări matematice a problemei pentru a înțelege evoluția dinamică a mișcării vehiculelor într-o anumită infrastructură.

Ecuația stării de curgere a vehiculelor

Pentru a simula comportamentul vehiculelor, se introduc cantități care descriu starea sistemului.

Prin urmare, luați în considerare un set de vehicule care traversează o secțiune L (de exemplu, 1 km) într-o perioadă T (de exemplu, 1 oră). Debitul este definit ca numărul de vehicule care traversează secțiunea "L" în unitatea de timp; se calculează ca raportul dintre numărul "n" de vehicule, care au secțiunea transversală "L" în perioada "T" și "T":

q={\frac {n}{T}}

{\ displaystyle q = {\ frac {n} {T}}}

{\ displaystyle q = {\ frac {n} {T}}}

Dacă considerăm că distanțele dintre vehiculele individuale ( h _i ) sunt comparabile și n este foarte mare, putem spune că suma distanțelor individuale coincide cu perioada T : $\sum _{i=1}^{n}h_{i}\approx T$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} h_ {i} \ approx T}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} h_ {i} \ approx T}$ . Prin urmare, împărțind ambele părți la n obținem o relație importantă:

{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}h_{i}={\frac {T}{n}}\longrightarrow q^{-1}={\frac {T}{n}}={\bar {h}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} h_ {i} = {\ frac {T} {n}} \ longrightarrow q ^ {- 1} = { \ frac {T} {n}} = {\ bar {h}}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} h_ {i} = {\ frac {T} {n}} \ longrightarrow q ^ {- 1} = { \ frac {T} {n}} = {\ bar {h}}}

sau că inversul fluxului este aproximativ egal cu distanța medie în timp între vehiculele din infrastructură.

În mod similar, se introduce densitatea , adică numărul de vehicule care, în momentul generic, insistă asupra unității de lungime a infrastructurii; este calculat ca raportul dintre numărul "n" de vehicule, care insistă (în momentul generic) într-o secțiune de lungime "L" și "L":

k={\frac {n}{L}}

{\ displaystyle k = {\ frac {n} {L}}}

{\ displaystyle k = {\ frac {n} {L}}}

și - în mod similar - pentru numeroase măsurători și pentru distanțe omogene ( d _i ) poate fi aproximat $\sum _{i=1}^{n}d_{i}\approx L$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} d_ {i} \ approx L}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} d_ {i} \ approx L}$ și, prin urmare, împărțind ambii membri întotdeauna la n , obținem o altă relație importantă:

{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}={\frac {L}{n}}\longrightarrow K^{-1}={\frac {L}{n}}={\bar {d}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} d_ {i} = {\ frac {L} {n}} \ longrightarrow K ^ {- 1} = { \ frac {L} {n}} = {\ bar {d}}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} d_ {i} = {\ frac {L} {n}} \ longrightarrow K ^ {- 1} = { \ frac {L} {n}} = {\ bar {d}}}

adică inversul densității este aproximativ egal cu distanța spațială medie dintre vehiculele din infrastructură.

Fiecare familie individuală de vehicule se caracterizează prin fluxul și densitatea sa. Prin urmare, deoarece viteza este relația dintre distanțele spațiale și temporale, avem asta $v_{i}={\frac {D_{i}}{H_{i}}}={\frac {\frac {1}{k_{i}}}{\frac {1}{q_{i}}}}={\frac {q_{i}}{k_{i}}}$ ${\ displaystyle v_ {i} = {\ frac {D_ {i}} {H_ {i}}} = {\ frac {\ frac {1} {k_ {i}}} {\ frac {1} {q_ { i}}}} = {\ frac {q_ {i}} {k_ {i}}}}$ ${\ displaystyle v_ {i} = {\ frac {D_ {i}} {H_ {i}}} = {\ frac {\ frac {1} {k_ {i}}} {\ frac {1} {q_ { i}}}} = {\ frac {q_ {i}} {k_ {i}}}}$ . Deci, adăugând toate fluxurile și toate densitățile ( $q_{t}=\sum _{i=1}^{n}q_{i}$ ${\ displaystyle q_ {t} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} q_ {i}}$ ${\ displaystyle q_ {t} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} q_ {i}}$ Și $k_{t}=\sum _{i=1}^{n}k_{i}$ ${\ displaystyle k_ {t} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} k_ {i}}$ ${\ displaystyle k_ {t} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} k_ {i}}$ ) aveți $\sum _{i=1}^{n}q_{i}=\sum _{i=1}^{n}k_{i}v_{i}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} q_ {i} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} k_ {i} v_ {i}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} q_ {i} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} k_ {i} v_ {i}}$ sau asta $q_{t}=k_{t}\sum _{i=1}^{n}{\frac {k_{i}}{k_{t}}}v_{i}$ ${\ displaystyle q_ {t} = k_ {t} \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {k_ {i}} {k_ {t}}} v_ {i}}$ ${\ displaystyle q_ {t} = k_ {t} \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {k_ {i}} {k_ {t}}} v_ {i}}$ .

Prin urmare, debitul este egal cu produsul densității și viteza medie față de spațiu:

q=k{\bar {v_{s}}}

{\ displaystyle q = k {\ bar {v_ {s}}}}

{\ displaystyle q = k {\ bar {v_ {s}}}}

.

Modele de ieșire

Analiza macroscopică a infrastructurii

Analiza macroscopică a evoluției dinamice a unei infrastructuri are loc prin studierea variației cantităților medii fundamentale, adică debitul, densitatea și viteza. Prin urmare, se folosesc modele matematice, bazate pe descoperiri empirice, care leagă aceste cantități între ele.

Viteză / densitate

Model liniar sau Greenshield :

v=v_{f}\left(1-{\frac {k}{k_{j}}}\right)

{\ displaystyle v = v_ {f} \ left (1 - {\ frac {k} {k_ {j}}} \ right)}

{\ displaystyle v = v_ {f} \ left (1 - {\ frac {k} {k_ {j}}} \ right)}

unde v _f este viteza de curgere liberă (viteza medie implementată de vehiculele care circulă izolat sau în absența totală a condiționării reciproce, porțiunea de drum considerată) și k _j este valoarea densității maxime.

Modelul liniar este matematic mai simplu de gestionat, dar oferă valori nerealiste în situații neliniare, adică pentru valori de densitate ridicate sau minime.

Modelul logaritmic sau Greenberg

v=v_{m}*\ln \left({\frac {k_{j}}{k}}\right)

{\ displaystyle v = v_ {m} * \ ln \ left ({\ frac {k_ {j}} {k}} \ right)}

{\ displaystyle v = v_ {m} * \ ln \ left ({\ frac {k_ {j}} {k}} \ right)}

unde v _m este viteza pentru care debitul este maxim.

Modelul logaritmic este mai precis și mai eficient, în special pentru valori de densitate apropiate de congestie, în timp ce nu este pentru valori scăzute (unde totuși nu există probleme). Pentru a evita viteze infinite pentru k care tind la 0 Underwood a refăcut formula după cum urmează:

v=v_{f}\ e^{({\frac {k}{k_{m}}})}

{\ displaystyle v = v_ {f} \ e ^ {({\ frac {k} {k_ {m}}})}}

{\ displaystyle v = v_ {f} \ e ^ {({\ frac {k} {k_ {m}}})}}

Debit / Densitate: Diagrama fundamentală a traficului

Relația care leagă fluxul cu densitatea este diagrama fundamentală a traficului , foarte utilă pentru înțelegerea și prezicerea evoluției traficului pe baza unor fenomene particulare (a se vedea mai jos unda de șoc ).

Model parabolic Din modelul liniar și ecuația de stare se obține următoarea formulă:

q=k\ v=v_{f}\left(k-{\frac {k^{2}}{k_{j}}}\right)

{\ displaystyle q = k \ v = v_ {f} \ left (k - {\ frac {k ^ {2}} {k_ {j}}} \ right)}

{\ displaystyle q = k \ v = v_ {f} \ left (k - {\ frac {k ^ {2}} {k_ {j}}} \ right)}

adică o parabolă care trece prin origine, cu un maxim în

{\frac {k_{j}}{2}}

{\ displaystyle {\ frac {k_ {j}} {2}}}

{\ displaystyle {\ frac {k_ {j}} {2}}}

corespunzătoare debitului la capacitate maximă, și cu un al doilea intersecție cu axa k în k _j. Înclinarea vectorilor care unesc originea cu orice punct al parabolei corespunde vitezei medii la punctul care, în cazul particular al lui k = 0 , corespunde vitezei libere v _f .

Modelul logaritmic Din modelul Greenberg și ecuația de stare obținem:

q=k\ v=kv_{m}\ln \left({\frac {k_{j}}{k}}\right)

{\ displaystyle q = k \ v = kv_ {m} \ ln \ left ({\ frac {k_ {j}} {k}} \ right)}

{\ displaystyle q = k \ v = kv_ {m} \ ln \ left ({\ frac {k_ {j}} {k}} \ right)}

Prin anularea derivatului, debitul maxim este când

k={\frac {k_{j}}{e}}

{\ displaystyle k = {\ frac {k_ {j}} {e}}}

{\ displaystyle k = {\ frac {k_ {j}} {e}}}

și corespunde

q=v_{m}\ {\frac {k_{j}}{e}}

{\ displaystyle q = v_ {m} \ {\ frac {k_ {j}} {e}}}

{\ displaystyle q = v_ {m} \ {\ frac {k_ {j}} {e}}}

Viteză / Debit

Acest model este foarte util pentru a face față fluxurilor neîntrerupte.

Atâta timp cât $v-vf=-v_{f}\ {\frac {k}{k_{j}}}$ ${\ displaystyle v-vf = -v_ {f} \ {\ frac {k} {k_ {j}}}}$ ${\ displaystyle v-vf = -v_ {f} \ {\ frac {k} {k_ {j}}}}$ avem asta $k=k_{j}\left(1-{\frac {v}{v_{f}}}\right)$ ${\ displaystyle k = k_ {j} \ left (1 - {\ frac {v} {v_ {f}}} \ right)}$ ${\ displaystyle k = k_ {j} \ left (1 - {\ frac {v} {v_ {f}}} \ right)}$ . Se obține astfel substituirea $q=k\ v=k_{j}\left(v-{\frac {v^{2}}{v_{f}}}\right)$ ${\ displaystyle q = k \ v = k_ {j} \ left (v - {\ frac {v ^ {2}} {v_ {f}}} \ right)}$ ${\ displaystyle q = k \ v = k_ {j} \ left (v - {\ frac {v ^ {2}} {v_ {f}}} \ right)}$ .

Analiză detaliată: modelul vehiculului în coadă

Analiza anterioară a luat în considerare cantitățile macroscopice. Modelul vehiculului la coadă, pe de altă parte, studiază tipul de răspuns al unui individ supus variațiilor din mediul extern pe baza principiului stimul-reacție.

Prin urmare, un vehicul n + 1 pus în coadă la un alt n va accelera sau va frâna după un anumit timp psihotehnic T dacă următorul vehicul n și- a schimbat starea de mișcare. Prin urmare, principiul este acela al

reacție (t + T) = sensibilitate * stimul (t)

Prin urmare, variația vitezei locale a vehiculului este direct proporțională cu diferența de viteză cu următoarea și cu un coeficient de sensibilitate α :

a_{n+1}(t+T)=\alpha \ [V_{n}(t)-V_{n+1}(t)]

{\ displaystyle a_ {n + 1} (t + T) = \ alpha \ [V_ {n} (t) -V_ {n + 1} (t)]}

{\ displaystyle a_ {n + 1} (t + T) = \ alpha \ [V_ {n} (t) -V_ {n + 1} (t)]}

.

Deoarece tipul de răspuns variază în funcție de distanța spațială cu vehiculul în urma acestei relații a fost generalizată la următoarea formă:

a_{n+1}(t+T)={\frac {\alpha }{[X_{n}(t)-X_{n+1}(t)]}}\ [V_{n}(t)-V_{n+1}(t)]

{\ displaystyle a_ {n + 1} (t + T) = {\ frac {\ alpha} {[X_ {n} (t) -X_ {n + 1} (t)]}} \ [V_ {n} (t) -V_ {n + 1} (t)]}

{\ displaystyle a_ {n + 1} (t + T) = {\ frac {\ alpha} {[X_ {n} (t) -X_ {n + 1} (t)]}} \ [V_ {n} (t) -V_ {n + 1} (t)]}

unde este $\alpha =\alpha _{0}\ V_{n}(t)$ ${\ displaystyle \ alpha = \ alpha _ {0} \ V_ {n} (t)}$ ${\ displaystyle \ alpha = \ alpha _ {0} \ V_ {n} (t)}$ .

Reveniți la modelul macroscopic

Prin integrarea acestei ecuații diferențiale (care poate fi rezolvată numai dacă α este constantă) revenim la starea staționară a modelului macroscopic, descrisă de modelul logaritmic (amintiți-vă că distanța medie x este egală cu reciprocitatea densității k ):

V_{n+1}(t+T)=\alpha \log \left({\frac {1}{k}}\right)

{\ displaystyle V_ {n + 1} (t + T) = \ alpha \ log \ left ({\ frac {1} {k}} \ right)}

{\ displaystyle V_ {n + 1} (t + T) = \ alpha \ log \ left ({\ frac {1} {k}} \ right)}

Stabilitatea traficului

Datorită modelului vehiculului aflat în coadă, este posibilă definirea matematică a condițiilor de stabilitate a traficului în urma stimulilor externi. Produsul va fi luat în considerare $C=\alpha \ T$ ${\ displaystyle C = \ alpha \ T}$ ${\ displaystyle C = \ alpha \ T}$ .

Stabilitate locală

Stabilitatea locală studiază evoluția a două vehicule la coadă care interacționează. Pentru valorile C incluse între anumite extreme există o anumită variație a spațierii reciproce într-o anumită perioadă de timp.

De sine $0\ <\ C\ <\ {\frac {1}{e}}$ ${\ displaystyle 0 \ <\ C \ <\ {\ frac {1} {e}}}$ ${\ displaystyle 0 \ <\ C \ <\ {\ frac {1} {e}}}$ există o distanță non-sinusoidală, în care variația mișcării este eliminată imediat
De sine ${\frac {1}{e}}\ \leq \ C\ <\ {\frac {\pi }{2}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {e}} \ \ leq \ C \ <\ {\ frac {\ pi} {2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {e}} \ \ leq \ C \ <\ {\ frac {\ pi} {2}}}$ există o distanță sinusoidală amortizată
De sine $C={\frac {\pi }{2}}$ ${\ displaystyle C = {\ frac {\ pi} {2}}}$ ${\ displaystyle C = {\ frac {\ pi} {2}}}$ există o distanță sinusoidală care nu este eliminată
De sine $C>\ {\frac {\pi }{2}}$ ${\ displaystyle C> \ {\ frac {\ pi} {2}}}$ ${\ displaystyle C> \ {\ frac {\ pi} {2}}}$ există o distanță sinusoidală amplificată

Stabilitate asimptotică

Stabilitatea asimptotică, pe de altă parte, ia în considerare răspunsul întregii infrastructuri la variațiile cauzate de comportamentul unui anumit vehicul, iar curentul vehiculului se stabilizează dacă $C<0.5$ ${\ displaystyle C <0,5}$ ${\ displaystyle C <0,5}$ .

Abandonul staționar: undă de șoc

Abandonarea condițiilor staționare se datorează unor evenimente discontinue de-a lungul timpului, cum ar fi oprirea semaforului , lucrări în desfășurare la infrastructură sau accidente.

În aceste cazuri, capacitatea drumului este redusă și, prin urmare, apare un fenomen variabil de „blocaj”. Viteza vehiculelor este redusă, precum și debitul. Lângă restricția densitatea se ridică la o valoare K _b datorită vitezei reduse care permite distanțe mai mici (starea de „coadă“ în mișcare sau scurgere hipercritica) în timp ce doar după obstrucția există o densitate normalizată K _m mai mică decât în staționare condiții.

Propagarea diferitelor stări de ieșire (definite de o triadă de viteză, densitate și flux) are loc în funcție de unde care sunt în general considerate (prin aproximare) a fi punctuale și care sunt definite ca unde cinematice. O așa-numită „undă de șoc” W (cu o viteză de ordinul 15-30 km / h) va porni în amonte de locul accidentului, care lovește curentul vehiculului la densitatea normală K și îl separă de curent în orice moment. coada.

Deoarece numărul vehiculelor lovite de val într-un interval de timp t este constant, avem acest lucru $k_{a}(V_{a}-W)t=k_{b}(V_{b}-W)t$ ${\ displaystyle k_ {a} (V_ {a} -W) t = k_ {b} (V_ {b} -W) t}$ ${\ displaystyle k_ {a} (V_ {a} -W) t = k_ {b} (V_ {b} -W) t}$ de aceea viteza undei de șoc este dată de $W={\frac {Q_{a}-Q_{c}}{K_{a}-K_{b}}}$ ${\ displaystyle W = {\ frac {Q_ {a} -Q_ {c}} {K_ {a} -K_ {b}}}}$ ${\ displaystyle W = {\ frac {Q_ {a} -Q_ {c}} {K_ {a} -K_ {b}}}}$ , adică panta coardei care unește punctul de pe parabola debit / densitate chiar înainte de accident (A) cu cea de pe ramura „congestionată” corespunzătoare restricției (B).

Odată ce incidentul a fost eliminat, o altă undă va începe cu o viteză mai mare decât cea anterioară, care va atinge punctul de capacitate maximă (C). Când această undă ajunge la unda de șoc, coada va fi disipată și ultima undă de la C la A va readuce sistemul în condițiile inițiale de ieșire.

Elemente conexe

Portal de transport : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de transport