Legea lui Darcy

Cilindru de nisip traversat de apă folosit în demonstrația legii lui Darcy.

În hidraulică , legea lui Darcy este o lege constitutivă care descrie mișcarea unui fluid într-un mediu poros. Această lege importantă este utilizată în toate acele aplicații inginerești (de exemplu teoria poroelasticității ) care au în vedere interacțiunea pur fizică ^[1] dintre un fluid în mișcare laminară într-un mediu poros.

Legea a fost formulată în 1856 de inginerul francez Henry Darcy pe baza rezultatelor experimentelor sale privind fluxul de apă prin paturile nisipoase. Acesta stabilește baza științifică cantitativă a permeabilității fluidelor pentru utilizare în domeniile de aplicare a științelor pământului , în special în hidrogeologie și petrofizică . ^[2]

Formulare slabă

Diagrama schematică pentru definirea legii lui Darcy.

Debitul unui fluid printr-un mediu poros complet saturat este definit integral prin următoarea ecuație a debitului ^[3] :

I_{v}=-\int _{S}{k \over \mu }\nabla p\cdot \operatorname {d} {\bar {r^{2}}}

{\ displaystyle I_ {v} = - \ int _ {S} {k \ over \ mu} \ nabla p \ cdot \ operatorname {d} {\ bar {r ^ {2}}}}

I_ {v} = - \ int _ {S} {k \ over \ mu} \ nabla p \ cdot \ operatorname d {\ bar {r ^ {2}}}

unde este:

k

{\ displaystyle k}

k

este permeabilitatea mediului poros

\mu

{\ displaystyle \ mu}

\ mu

este vâscozitatea fluidului

\nabla

{\ displaystyle \ nabla}

\ nabla

este operatorul gradientului spațial

p

{\ displaystyle p}

p

este presiunea fluidului

S.

{\ displaystyle S}

S.

este secțiunea prin care trece fluidul

Care pentru teorema divergenței este re-exprimată pentru ieșirea printr-o suprafață închisă care delimitează un volum V ca:

I_{v}=-\int _{V}\nabla \cdot \left({k \over \mu }\nabla p\right)\operatorname {d} r^{3}

{\ displaystyle I_ {v} = - \ int _ {V} \ nabla \ cdot \ left ({k \ over \ mu} \ nabla p \ right) \ operatorname {d} r ^ {3}}

I_ {v} = - \ int _ {V} \ nabla \ cdot \ left ({k \ over \ mu} \ nabla p \ right) \ operatorname dr ^ {3}

Această ecuație, definită experimental de Darcy, se aplică de obicei unui acvifer teoretic ( poros , complet saturat de un fluid monofazic continuu (adică apă în aplicațiile sale hidrogeologice), izotrop și care se sprijină pe un substrat impermeabil orizontal), având o secțiune constantă de zonă S și în care pânza freatică curge într-un regim de mișcare laminară . În acest acvifer, debitul este invers proporțional cu lungimea acviferului L și este direct proporțional cu secțiunea și cu căderea de presiune Δh , evidențiind analogia cu legea lui Ohm :

I_{v}={k \over \mu }{S \over L}\Delta p={\Delta h \over R}

{\ displaystyle I_ {v} = {k \ over \ mu} {S \ over L} \ Delta p = {\ Delta h \ over R}}

{\ displaystyle I_ {v} = {k \ over \ mu} {S \ over L} \ Delta p = {\ Delta h \ over R}}

unde R este rezistența hidraulică .

Formulare locală

În punctele din domeniul fluxului în care cantitățile implicate sunt continue putem trece la formularea puternică a legii lui Darcy:

\phi \,{\vec {u}}=-{\frac {k}{\mu }}\nabla p

{\ displaystyle \ phi \, {\ vec {u}} = - {\ frac {k} {\ mu}} \ nabla p}

{\ displaystyle \ phi \, {\ vec {u}} = - {\ frac {k} {\ mu}} \ nabla p}

unde u este viteza de curgere și "φ" porozitatea.

Dacă vâscozitatea este uniformă, poate introduce argumentul gradientului spațial:

\phi \,{\vec {u}}=-k\,\nabla \left({\frac {p}{\mu }}\right)

{\ displaystyle \ phi \, {\ vec {u}} = - k \, \ nabla \ left ({\ frac {p} {\ mu}} \ right)}

{\ displaystyle \ phi \, {\ vec {u}} = - k \, \ nabla \ left ({\ frac {p} {\ mu}} \ right)}

apoi definirea timpului caracteristic de curgere ("τ") ca fiind coeficientul presiunii ("p") în vâscozitate ("μ"), și debitul potențial Darcy ("q") ca produs al vitezei de curgere ( u ) pentru porozitate ( φ ) (care reprezintă formarea originală a fluxului din amonte), legea este de obicei re-exprimată în forma cea mai simplă:

{\vec {q}}=-k\,\nabla \tau

{\ displaystyle {\ vec {q}} = - k \, \ nabla \ tau}

{\ displaystyle {\ vec {q}} = - k \, \ nabla \ tau}

Formulare petrofizică

Legea lui Darcy este una dintre pietrele de temelie pe care se bazează petrofizica și este de obicei simplificată și scrisă pornind de la fluxul unui fluid printr-un mediu poros (un acvifer în aplicațiile sale hidrogeologice sau un rezervor în ingineria câmpurilor de hidrocarburi , venind definit și utilizat în practică cu următoarea ecuație ^[3] :

Q={\frac {kA}{L}}{\frac {\Delta p}{\mu }}

{\ displaystyle Q = {\ frac {kA} {L}} {\ frac {\ Delta p} {\ mu}}}

{\ displaystyle Q = {\ frac {kA} {L}} {\ frac {\ Delta p} {\ mu}}}

unde este

Î

{\ displaystyle Q}

Î

este debitul fluidului

k

{\ displaystyle k}

k

este permeabilitatea mediului poros

\Delta p

{\ displaystyle \ Delta p}

{\ displaystyle \ Delta p}

este diferența de presiune măsurată în două secțiuni ale mediului poros separate de o distanță

{L}

{\ displaystyle {L}}

{L}

de-a lungul conductei

\mu

{\ displaystyle \ mu}

\ mu

este coeficientul de vâscozitate al fluidului

LA

{\ displaystyle A}

LA

este secțiunea prin care trece fluidul

Această ecuație, care derivă din cea inițial definită empiric de Darcy în 1856 în urma experimentelor sale pentru construirea fântânilor Dijon , se aplică de obicei pe roci poroase de tip granular sau cu porozitate primară difuză, în timp ce nu este utilizabilă pentru roci fracturate în care mișcarea lichidului urmează comportamente diferite. Pentru valabilitatea sa completă, rezervorul stâncos trebuie să fie complet saturat de un fluid monofazic continuu (adică apă în aplicațiile sale hidrogeologice sau petrol fără prezența unei faze gazoase mobile) care nu este compresibil, izotrop și care se sprijină pe un substrat impermeabil orizontal), având o secțiune constantă a zonei A și în care pânza freatică curge sub un regim de curgere laminară .

Se remarcă faptul că domeniul de aplicare $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ este invers proporțională cu lungimea acviferului ${L}$ ${\ displaystyle {L}}$ ${L}$ „și este direct proporțional cu gradientul hidraulic: $\Delta p$ ${\ displaystyle \ Delta p}$ ${\ displaystyle \ Delta p}$ , adesea simplificat ca $\Delta h$ ${\ displaystyle \ Delta h}$ ${\ displaystyle \ Delta h}$ poate fi vizualizat ca diferența dintre înălțimile (măsurate sau teoretice) ale celor două coloane de apă din puțuri găurite până la baza impermeabilă de-a lungul celor două secțiuni considerate ale acviferului sau diferența de sarcină piezometrică.

Dependența de secțiune și vâscozitate ^{[ fără sursă ]}

Același subiect în detaliu: Legea lui Poiseuille .

Pe baza legii conductivității lui Poiseuille putem explica legea lui Darcy în cele două forme ale sale:

{\vec {v}}=-{32 \over \pi \mu ^{2}}\,S\,\nabla p

{\ displaystyle {\ vec {v}} = - {32 \ over \ pi \ mu ^ {2}} \, S \, \ nabla p}

{\ vec v} = - {32 \ over \ pi \ mu ^ {2}} \, S \, \ nabla p

Q={32 \over \pi l\mu ^{2}}\,S^{2}\,\Delta p

{\ displaystyle Q = {32 \ over \ pi l \ mu ^ {2}} \, S ^ {2} \, \ Delta p}

Q = {32 \ over \ pi l \ mu ^ {2}} \, S ^ {2} \, \ Delta p

Putem explica, de asemenea, difuzivitatea barică ca:

D_{p}={32S \over \pi \mu }

{\ displaystyle D_ {p} = {32S \ over \ pi \ mu}}

D_ {p} = {32S \ over \ pi \ mu}

Cazuistică

Legea lui Darcy rezumă într-un mod simplificat unele proprietăți familiare pe care le prezintă apa subterană pe măsură ce curge prin acvifer :

în absența unui gradient de presiune, nu există flux în condiții hidrostatice.
în prezența unui gradient de presiune, fluxul are loc în direcția care merge de la cea mai mare la cea mai mică presiune (de unde și semnul negativ din formularea matematică).
pe măsură ce gradientul de presiune crește, debitul crește.
viteza unui flux depinde de formarea solului și, prin urmare, de porozitatea acestuia (și în același material poate diferi în funcție de direcție), chiar și cu același gradient de presiune.

Notă

^ adică, se presupune că nu are loc nicio interacțiune de natură chimică între fluid și matricea solidă
^ Henry Darcy, Les Fontaines Publiques de la Ville de Dijon , Dalmont, Paris (1856).
^ ^a ^b în G. Mavko și alii.

Bibliografie

( FR ) Henry Darcy Les sources publiques de la ville de Dijon: exposition and application des principes à suivre et des formulas à employer dans les questions de distribution d'eau ^{[ broken link ]} (Paris: V. Dalmont, 1856). Este publicația în care Darcy a introdus legea căreia i s-a dat numele ca recunoaștere.
Gary Mavko, Jack Dvorkin, Tapan Mukerji, The Physical Handbook Handbook , Cambridge University Press, 2003, ISBN 978-0-521-62068-0

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere în legea lui Darcy

linkuri externe

(EN) Henry Darcy și legea sa privind biosystems.okstate.edu. Adus la 13 ianuarie 2008 (arhivat din original la 4 ianuarie 2008) .
( EN ) GO Brown Henry Darcy and the making of a law Arhivat 21 februarie 2007 la Internet Archive . Cercetarea resurselor de apă, 38 , 110 (2002).

Portal de inginerie

Portal mecanic

[1] ă, se presupune că nu are loc nicio interacțiune de natură chimică între fluid și matricea solidă

[2] Henry Darcy, Les Fontaines Publiques de la Ville de Dijon , Dalmont, Paris (1856).

[in_G._Mavko_et_alii-3] în G. Mavko și alii.

[1]

[2]

[3]