Experiment Haynes-Shockley

În fizica semiconductorilor , experimentul Haynes-Shockley evidențiază proprietățile de transport ale sarcinii electrice (găuri și electroni) cu metoda timpului de zbor . Experimentul a fost descris într-un scurt articol de Haynes și Shockley în 1948, ^[1] și apoi într-o lucrare mai detaliată semnată de Shockley, Pearson și Haynes în 1949. ^[2] ^[3] Mobilitatea poate fi măsurată în experiment, durata medie de viață și coeficientul de difuzie al purtătorilor de sarcini minoritari.

Schema aparatului experimentului Haynes-Shockley

În experimentul original ^[4], o baterie a fost utilizată pentru a crea un câmp electric de-a lungul unei bare semiconductoare monocristaline dopate, iar într-un punct al probei, un impuls scurt de purtători de sarcină minoritară a fost injectat printr-un contact punct (emițător) mai mare de distribuția de echilibru, care a fost transportată de câmpul electric de-a lungul eșantionului. Taxele în exces au fost colectate de un al doilea contact de vârf (colector). O modalitate alternativă de a injecta sarcini în exces este utilizarea unui fascicul laser pulsat care produce un exces de găuri și electroni în zona iluminată a semiconductorului ( efect fotoelectric intern) ^[5] .

Ecuații

Pentru a descrie efectul considerăm o bară de material semiconductor de tip n lung d . Vrem să calculăm mobilitatea electrică a purtătorilor de sarcină, coeficientul de difuzie și durata medie de viață a purtătorilor. În cele ce urmează simplificăm problema reducându-ne doar la cazul transportului cu sens unic.

Densitățile de curent js pentru electroni (e) și găuri (p) sunt:

j_{e}=+\mu _{n}nE+D_{n}{\frac {\partial n}{\partial x}}

{\ displaystyle j_ {e} = + \ mu _ {n} nE + D_ {n} {\ frac {\ partial n} {\ partial x}}}

{\ displaystyle j_ {e} = + \ mu _ {n} nE + D_ {n} {\ frac {\ partial n} {\ partial x}}}

j_{p}=+\mu _{p}pE-D_{p}{\frac {\partial p}{\partial x}}

{\ displaystyle j_ {p} = + \ mu _ {p} pE-D_ {p} {\ frac {\ partial p} {\ partial x}}}

{\ displaystyle j_ {p} = + \ mu _ {p} pE-D_ {p} {\ frac {\ partial p} {\ partial x}}}

unde μs sunt mobilitățile purtătorilor de sarcină, E câmpul electric, n și p densitățile purtătorului, Ds coeficienții de difuzie și x poziția. Primul termen din dreapta în ecuații se datorează derivării în câmpul electric și al doilea termen către difuzie.

Calcul

Să luăm în considerare ecuațiile de continuitate:

{\frac {\partial n}{\partial t}}={\frac {-(n-n_{0})}{\tau _{n}}}-{\frac {\partial j_{e}}{\partial x}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial n} {\ partial t}} = {\ frac {- (n-n_ {0})} {\ tau _ {n}}} - {\ frac {\ partial j_ { și}} {\ partial x}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial n} {\ partial t}} = {\ frac {- (n-n_ {0})} {\ tau _ {n}}} - {\ frac {\ partial j_ { și}} {\ partial x}}}

{\frac {\partial p}{\partial t}}={\frac {-(p-p_{0})}{\tau _{p}}}-{\frac {\partial j_{p}}{\partial x}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial p} {\ partial t}} = {\ frac {- (p-p_ {0})} {\ tau _ {p}}} - {\ frac {\ partial j_ { p}} {\ partial x}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial p} {\ partial t}} = {\ frac {- (p-p_ {0})} {\ tau _ {p}}} - {\ frac {\ partial j_ { p}} {\ partial x}}}

Indicii 0 indică concentrațiile de echilibru. Electronii și găurile se recombină cu o durată de viață τ .

Noi definim

p_{1}=p-p_{0}\,,\quad n_{1}=n-n_{0}

{\ displaystyle p_ {1} = p-p_ {0} \ ,, \ quad n_ {1} = n-n_ {0}}

{\ displaystyle p_ {1} = p-p_ {0} \ ,, \ quad n_ {1} = n-n_ {0}}

și rescrieți ecuațiile anterioare ca:

{\frac {\partial p_{1}}{\partial t}}=D_{p}{\frac {\partial ^{2}p_{1}}{\partial x^{2}}}-\mu _{p}p{\frac {\partial E}{\partial x}}-\mu _{p}E{\frac {\partial p_{1}}{\partial x}}-{\frac {p_{1}}{\tau _{p}}}{\frac {\partial n_{1}}{\partial t}}=D_{n}{\frac {\partial ^{2}n_{1}}{\partial x^{2}}}+\mu _{n}n{\frac {\partial E}{\partial x}}+\mu _{n}E{\frac {\partial n_{1}}{\partial x}}-{\frac {n_{1}}{\tau _{n}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial p_ {1}} {\ partial t}} = D_ {p} {\ frac {\ partial ^ {2} p_ {1}} {\ partial x ^ {2}}} - \ mu _ {p} p {\ frac {\ partial E} {\ partial x}} - \ mu _ {p} E {\ frac {\ partial p_ {1}} {\ partial x}} - {\ frac {p_ {1}} {\ tau _ {p}}} {\ frac {\ partial n_ {1}} {\ partial t}} = D_ {n} {\ frac {\ partial ^ {2} n_ { 1}} {\ partial x ^ {2}}} + \ mu _ {n} n {\ frac {\ partial E} {\ partial x}} + \ mu _ {n} E {\ frac {\ partial n_ {1}} {\ partial x}} - {\ frac {n_ {1}} {\ tau _ {n}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial p_ {1}} {\ partial t}} = D_ {p} {\ frac {\ partial ^ {2} p_ {1}} {\ partial x ^ {2}}} - \ mu _ {p} p {\ frac {\ partial E} {\ partial x}} - \ mu _ {p} E {\ frac {\ partial p_ {1}} {\ partial x}} - {\ frac {p_ {1}} {\ tau _ {p}}} {\ frac {\ partial n_ {1}} {\ partial t}} = D_ {n} {\ frac {\ partial ^ {2} n_ { 1}} {\ partial x ^ {2}}} + \ mu _ {n} n {\ frac {\ partial E} {\ partial x}} + \ mu _ {n} E {\ frac {\ partial n_ {1}} {\ partial x}} - {\ frac {n_ {1}} {\ tau _ {n}}}}

Gradientul câmpului electric ∂E / ∂x poate fi calculat cu legea lui Gauss :

{\frac {\partial E}{\partial x}}={\frac {\rho }{\epsilon \epsilon _{0}}}={\frac {e_{0}((p-p_{0})-(n-n_{0}))}{\epsilon \epsilon _{0}}}={\frac {e_{0}(p_{1}-n_{1})}{\epsilon \epsilon _{0}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial E} {\ partial x}} = {\ frac {\ rho} {\ epsilon \ epsilon _ {0}}} = {\ frac {e_ {0} ((p-p_ {0}) - (n-n_ {0}))} {\ epsilon \ epsilon _ {0}}} = {\ frac {e_ {0} (p_ {1} -n_ {1})} {\ epsilon \ epsilon _ {0}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial E} {\ partial x}} = {\ frac {\ rho} {\ epsilon \ epsilon _ {0}}} = {\ frac {e_ {0} ((p-p_ {0}) - (n-n_ {0}))} {\ epsilon \ epsilon _ {0}}} = {\ frac {e_ {0} (p_ {1} -n_ {1})} {\ epsilon \ epsilon _ {0}}}}

unde este $\epsilon$ ${\ displaystyle \ epsilon}$ ${\ displaystyle \ epsilon}$ este constanta dielectrică ( $\epsilon _{0}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {0}}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {0}}$ în gol), $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ densitatea sarcinii, e $e_{0}$ ${\ displaystyle e_ {0}}$ ${\ displaystyle e_ {0}}$ sarcina elementară.

Să schimbăm variabilele cu substituții:

p_{1}=n_{\text{m}}+\delta \,,\quad n_{1}=n_{\text{m}}-\delta \

{\ displaystyle p_ {1} = n _ {\ text {m}} + \ delta \ ,, \ quad n_ {1} = n _ {\ text {m}} - \ delta \}

{\ displaystyle p_ {1} = n _ {\ text {m}} + \ delta \ ,, \ quad n_ {1} = n _ {\ text {m}} - \ delta \}

,

și să presupunem că densitatea purtătorilor injectați δ este mult mai mică decât $n_{\text{m}}$ ${\ displaystyle n _ {\ text {m}}}$ ${\ displaystyle n _ {\ text {m}}}$ . Ecuațiile inițiale devin:

{\frac {\partial n_{\text{m}}}{\partial t}}=D_{p}{\frac {\partial ^{2}n_{\text{m}}}{\partial x^{2}}}-\mu _{p}p{\frac {\partial E}{\partial x}}-\mu _{p}E{\frac {\partial n_{\text{m}}}{\partial x}}-{\frac {n_{\text{m}}}{\tau _{p}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial n _ {\ text {m}}} {\ partial t}} = D_ {p} {\ frac {\ partial ^ {2} n _ {\ text {m}}} {\ partial x ^ {2}}} - \ mu _ {p} p {\ frac {\ partial E} {\ partial x}} - \ mu _ {p} E {\ frac {\ partial n _ {\ text {m}}} {\ partial x}} - {\ frac {n _ {\ text {m}}} {\ tau _ {p}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial n _ {\ text {m}}} {\ partial t}} = D_ {p} {\ frac {\ partial ^ {2} n _ {\ text {m}}} {\ partial x ^ {2}}} - \ mu _ {p} p {\ frac {\ partial E} {\ partial x}} - \ mu _ {p} E {\ frac {\ partial n _ {\ text {m}}} {\ partial x}} - {\ frac {n _ {\ text {m}}} {\ tau _ {p}}}}

{\frac {\partial n_{\text{m}}}{\partial t}}=D_{n}{\frac {\partial ^{2}n_{\text{m}}}{\partial x^{2}}}+\mu _{n}n{\frac {\partial E}{\partial x}}+\mu _{n}E{\frac {\partial n_{\text{m}}}{\partial x}}-{\frac {n_{\text{m}}}{\tau _{n}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial n _ {\ text {m}}} {\ partial t}} = D_ {n} {\ frac {\ partial ^ {2} n _ {\ text {m}}} {\ partial x ^ {2}}} + \ mu _ {n} n {\ frac {\ partial E} {\ partial x}} + \ mu _ {n} E {\ frac {\ partial n _ {\ text {m}}} {\ partial x}} - {\ frac {n _ {\ text {m}}} {\ tau _ {n}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial n _ {\ text {m}}} {\ partial t}} = D_ {n} {\ frac {\ partial ^ {2} n _ {\ text {m}}} {\ partial x ^ {2}}} + \ mu _ {n} n {\ frac {\ partial E} {\ partial x}} + \ mu _ {n} E {\ frac {\ partial n _ {\ text {m}}} {\ partial x}} - {\ frac {n _ {\ text {m}}} {\ tau _ {n}}}}

Folosind relația lui Einstein $\mu =e\beta D$ ${\ displaystyle \ mu = e \ beta D}$ ${\ displaystyle \ mu = e \ beta D}$ , unde β este reciprocul produsului kT ( temperatura constantă și absolută a lui Boltzmann ), ecuațiile devin:

{\frac {\partial n_{\text{m}}}{\partial t}}=D^{*}{\frac {\partial ^{2}n_{\text{m}}}{\partial x^{2}}}-\mu ^{*}E{\frac {\partial n_{\text{m}}}{\partial x}}-{\frac {n_{\text{m}}}{\tau ^{*}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial n _ {\ text {m}}} {\ partial t}} = D ^ {*} {\ frac {\ partial ^ {2} n _ {\ text {m}} } {\ partial x ^ {2}}} - \ mu ^ {*} E {\ frac {\ partial n _ {\ text {m}}} {\ partial x}} - {\ frac {n _ {\ text {m}}} {\ tau ^ {*}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial n _ {\ text {m}}} {\ partial t}} = D ^ {*} {\ frac {\ partial ^ {2} n _ {\ text {m}} } {\ partial x ^ {2}}} - \ mu ^ {*} E {\ frac {\ partial n _ {\ text {m}}} {\ partial x}} - {\ frac {n _ {\ text {m}}} {\ tau ^ {*}}}}

,

unde se păstrează pentru D * , μ * și τ * :

D^{*}={\frac {D_{n}D_{p}(n+p)}{pD_{p}+nD_{n}}},\mu ^{*}={\frac {\mu _{n}\mu _{p}(n-p)}{p\mu _{p}+n\mu _{n}}}

{\ displaystyle D ^ {*} = {\ frac {D_ {n} D_ {p} (n + p)} {pD_ {p} + nD_ {n}}}, \ mu ^ {*} = {\ frac {\ mu _ {n} \ mu _ {p} (np)} {p \ mu _ {p} + n \ mu _ {n}}}}

{\ displaystyle D ^ {*} = {\ frac {D_ {n} D_ {p} (n + p)} {pD_ {p} + nD_ {n}}}, \ mu ^ {*} = {\ frac {\ mu _ {n} \ mu _ {p} (np)} {p \ mu _ {p} + n \ mu _ {n}}}}

Și

{\frac {1}{\tau ^{*}}}={\frac {p\mu _{p}\tau _{p}+n\mu _{n}\tau _{n}}{\tau _{p}\tau _{n}(p\mu _{p}+n\mu _{n})}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ tau ^ {*}}} = {\ frac {p \ mu _ {p} \ tau _ {p} + n \ mu _ {n} \ tau _ {n} } {\ tau _ {p} \ tau _ {n} (p \ mu _ {p} + n \ mu _ {n})}}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ tau ^ {*}}} = {\ frac {p \ mu _ {p} \ tau _ {p} + n \ mu _ {n} \ tau _ {n} } {\ tau _ {p} \ tau _ {n} (p \ mu _ {p} + n \ mu _ {n})}}}

.

Presupunând atât n >> p, fie p → 0 (cazul semiconductorului de tip n cu puține găuri injectate), avem D * → Dp , μ * → μp și 1 / τ * → 1 / τp . Semiconductorul se comportă de parcă numai golurile ( purtători de sarcină minoritară) se mișcă în el.

Ecuația finală este:

n_{\text{m}}(x,t)=A{\frac {1}{\sqrt {4\pi D^{*}t}}}e^{-t/\tau ^{*}}e^{-{\frac {(x+\mu ^{*}Et-x_{0})^{2}}{4D^{*}t}}}

{\ displaystyle n _ {\ text {m}} (x, t) = A {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi D ^ {*} t}}} e ^ {- t / \ tau ^ {*}} e ^ {- {\ frac {(x + \ mu ^ {*} Et-x_ {0}) ^ {2}} {4D ^ {*} t}}}}

{\ displaystyle n _ {\ text {m}} (x, t) = A {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi D ^ {*} t}}} e ^ {- t / \ tau ^ {*}} și ^ {- {\ frac {(x + \ mu ^ {*} Et-x_ {0}) ^ {2}} {4D ^ {*} t}}}}

interpretabil ca un impuls instantaneu al găurilor injectate la momentul t = 0 ( Dirac delta ) care se deplasează spre electrodul colector, transformându-se într-un Gauss care se lărgește și scade în zonă.

Parametrii μ , D și τ pot fi calculați din forma semnalului colectat la colector.

\mu ^{*}={\frac {d}{Et_{0}}}

{\ displaystyle \ mu ^ {*} = {\ frac {d} {Et_ {0}}}}

{\ displaystyle \ mu ^ {*} = {\ frac {d} {Et_ {0}}}}

D^{*}=(\mu ^{*}E)^{2}{\frac {(\delta t)^{2}}{16t_{0}}}

{\ displaystyle D ^ {*} = (\ mu ^ {*} E) ^ {2} {\ frac {(\ delta t) ^ {2}} {16t_ {0}}}}

{\ displaystyle D ^ {*} = (\ mu ^ {*} E) ^ {2} {\ frac {(\ delta t) ^ {2}} {16t_ {0}}}}

unde d este distanța parcursă în timpul t ₀ și δt lățimea impulsului observat.

Notă

^ Haynes, J.; Shockley, W. (1949). "Investigația injecției găurilor în acțiunea tranzistorului". Revizuirea fizică 75 (4): 691.
^ Shockley, W. și Pearson, GL și Haynes, JR (1949). "Injecție de găuri în germaniu - Studii cantitative și tranzistoare filamentare". Jurnalul tehnic al sistemului Bell 28: 344–366.
^ Jerrold H. Krenz (2000). Concepte electronice: o introducere. Cambridge University Press. p. 137. ISBN 978-0-521-66282-6 .
^ De pe YouTube
^ A.Sconza, G.Galet și G.Torzo: "O versiune îmbunătățită a experimentului Haynes-Shockley cu injecție electrică și optică a purtătorilor în exces" Am. J. Phys, 68, 80-87 (2000) [1] Arhivat pe 29 mai 2012 la Internet Archive .

Elemente conexe

linkuri externe

Applet1 care simulează experimentul Haynes - Shockley , pe acsu.buffalo.edu .
Applet2 care simulează experimentul Haynes - Shockley , pe lamp.tu-graz.ac.at .
Video care ilustrează experimentul original , pe youtube.com .
Un aparat didactic pentru realizarea experimentului Haynes-Shockley , pe labtrek.it .

Portal electronic

Portalul de fizică

[1] Haynes, J.; Shockley, W. (1949). "Investigația injecției găurilor în acțiunea tranzistorului". Revizuirea fizică 75 (4): 691.

[2] Shockley, W. și Pearson, GL și Haynes, JR (1949). "Injecție de găuri în germaniu - Studii cantitative și tranzistoare filamentare". Jurnalul tehnic al sistemului Bell 28: 344–366.

[3] Jerrold H. Krenz (2000). Concepte electronice: o introducere. Cambridge University Press. p. 137. ISBN 978-0-521-66282-6 .

[4] De pe YouTube

[5] A.Sconza, G.Galet și G.Torzo: "O versiune îmbunătățită a experimentului Haynes-Shockley cu injecție electrică și optică a purtătorilor în exces" Am. J. Phys, 68, 80-87 (2000) [1] Arhivat pe 29 mai 2012 la Internet Archive .

[1]

[2]

[3]

[4],

[5]