Formula Klein-Nishina

În electrodinamica cuantică , formula Klein-Nishina ^[1] oferă secțiunea transversală diferențială a împrăștierii unui foton dintr-un electron liber ( împrăștiere Compton ) la cea mai mică ordine de aproximare ( $\alpha ^{2}$ ${\ displaystyle \ alpha ^ {2}}$ $\ alpha ^ {2}$ ) din punct de vedere al constantei structurii fine . În limita de frecvență joasă, se găsește secțiunea transversală a împrăștierii Thomson .

Această secțiune transversală este valabilă

${\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \cos \theta }}={\frac {\pi \hbar ^{2}\alpha ^{2}}{m_{e}^{2}c^{2}}}\left({\frac {k'}{k}}\right)^{2}\left({\frac {k}{k'}}+{\frac {k'}{k}}-\sin ^{2}\theta \right)$ ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ sigma} {\ mathrm {d} \ cos \ theta}} = {\ frac {\ pi \ hbar ^ {2} \ alpha ^ {2}} {m_ { e} ^ {2} c ^ {2}}} \ left ({\ frac {k '} {k}} \ right) ^ {2} \ left ({\ frac {k} {k'}} + { \ frac {k '} {k}} - \ sin ^ {2} \ theta \ right)}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ sigma} {\ mathrm {d} \ cos \ theta}} = {\ frac {\ pi \ hbar ^ {2} \ alpha ^ {2}} {m_ { e} ^ {2} c ^ {2}}} \ left ({\ frac {k '} {k}} \ right) ^ {2} \ left ({\ frac {k} {k'}} + { \ frac {k '} {k}} - \ sin ^ {2} \ theta \ right)}$

unde este $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ este frecvența fotonului incident, $k^{'}$ ${\ displaystyle k '}$ $k '$ cea a celui emis e $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ constanta structurii fine

Valoarea a $k'/k$ ${\ displaystyle k '/ k}$ ${\ displaystyle k '/ k}$ se obține din cinematica împrăștierii Compton și este valabilă

${\frac {k'}{k}}={\frac {1}{1+\hbar k(1-\cos \theta )/(m_{e}c)}}$ ${\ displaystyle {\ frac {k '} {k}} = {\ frac {1} {1+ \ hbar k (1- \ cos \ theta) / (m_ {e} c)}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {k '} {k}} = {\ frac {1} {1+ \ hbar k (1- \ cos \ theta) / (m_ {e} c)}}}$

Derivare

Să luăm în considerare procesul de difuzie al unui foton de către un electron inițial staționar. La prima ordine de aproximare, procesul este descris de diagramele Feynman

Din regulile Feynman ale electrodinamicii cuantice, luând în considerare:

un foton care intră în patru momente $k^{\mu }=(k,\mathbf {k} )$ ${\ displaystyle k ^ {\ mu} = (k, \ mathbf {k})}$ ${\ displaystyle k ^ {\ mu} = (k, \ mathbf {k})}$ , polarizare $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$
un electron staționar în starea inițială de patru momente $p^{\mu }=(m_{e},0)$ ${\ displaystyle p ^ {\ mu} = (m_ {e}, 0)}$ ${\ displaystyle p ^ {\ mu} = (m_ {e}, 0)}$ , a învârti $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$
un foton de ieșire de patru momente $k'^{\mu }=(k',\mathbf {k'} )$ ${\ displaystyle k '^ {\ mu} = (k', \ mathbf {k '})}$ ${\ displaystyle k '^ {\ mu} = (k', \ mathbf {k '})}$ , polarizare ${LA}^{'}$ ${\ displaystyle A '}$ $LA'$
un electron de ieșire de patru momente $p'^{\mu }=(p_{0}',\mathbf {p'} )$ ${\ displaystyle p '^ {\ mu} = (p_ {0}', \ mathbf {p '})}$ ${\ displaystyle p '^ {\ mu} = (p_ {0}', \ mathbf {p '})}$ , a învârti $r^{'}$ ${\ displaystyle r '}$ $r '$
propagatorul fermionic $S(p+k)={\frac {p\!\!\!/+k\!\!\!/+m_{e}}{(p+k)^{2}-m_{e}^{2}}}$ ${\ displaystyle S (p + k) = {\ frac {p \! \! \! / + k \! \! \! / + m_ {e}} {(p + k) ^ {2} -m_ { și} ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle S (p + k) = {\ frac {p \! \! \! / + k \! \! \! / + m_ {e}} {(p + k) ^ {2} -m_ { și} ^ {2}}}}$

și procesul analog în care se schimbă momentul fotonului incident $k\to -k'$ ${\ displaystyle k \ to -k '}$ ${\ displaystyle k \ to -k '}$

ținând cont de cinematica pentru care $k^{\mu }k'_{\mu }=kk'(1-\cos \theta )$ ${\ displaystyle k ^ {\ mu} k '_ {\ mu} = kk' (1- \ cos \ theta)}$ ${\ displaystyle k ^ {\ mu} k '_ {\ mu} = kk' (1- \ cos \ theta)}$ Și $p_{0}'={\sqrt {k^{2}+k'^{2}-2kk'\cos \theta +m_{e}^{2}}}$ ${\ displaystyle p_ {0} '= {\ sqrt {k ^ {2} + k' ^ {2} -2kk '\ cos \ theta + m_ {e} ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle p_ {0} '= {\ sqrt {k ^ {2} + k' ^ {2} -2kk '\ cos \ theta + m_ {e} ^ {2}}}}$

veți obține elementul matrice

$i{\mathcal {M}}_{rr'}^{AA'}=-ie^{2}\varepsilon _{\mu }^{A'}(k'){\bar {u}}_{r'}(\mathbf {p} ')\gamma ^{\mu }{\frac {(p\!\!\!/+k\!\!\!/+m_{e})}{(p+k)^{2}-m_{e}^{2}}}\gamma ^{\nu }\varepsilon _{\nu }^{A}(k)u_{r}(\mathbf {p} )-ie^{2}\varepsilon _{\mu }^{A'}(k'){\bar {u}}_{r'}(\mathbf {p} ')\gamma ^{\mu }{\frac {(p\!\!\!/-k\!\!\!/'+m_{e})}{(p-k')^{2}-m_{e}^{2}}}\gamma ^{\nu }\varepsilon _{\nu }^{A}(k)u_{r}(\mathbf {p} )$ ${\ displaystyle i {\ mathcal {M}} _ {rr '} ^ {AA'} = - adică ^ {2} \ varepsilon _ {\ mu} ^ {A '} (k') {\ bar {u} } _ {r '} (\ mathbf {p}') \ gamma ^ {\ mu} {\ frac {(p \! \! \! / + k \! \! \! / + m_ {e})} {(p + k) ^ {2} -m_ {e} ^ {2}}} \ gamma ^ {\ nu} \ varepsilon _ {\ nu} ^ {A} (k) u_ {r} (\ mathbf { p}) -ie ^ {2} \ varepsilon _ {\ mu} ^ {A '} (k') {\ bar {u}} _ {r '} (\ mathbf {p}') \ gamma ^ {\ mu} {\ frac {(p \! \! \! / - k \! \! \! / '+ m_ {e})} {(p-k') ^ {2} -m_ {e} ^ { 2}}} \ gamma ^ {\ nu} \ varepsilon _ {\ nu} ^ {A} (k) u_ {r} (\ mathbf {p})}$ ${\ displaystyle i {\ mathcal {M}} _ {rr '} ^ {AA'} = - adică ^ {2} \ varepsilon _ {\ mu} ^ {A '} (k') {\ bar {u} } _ {r '} (\ mathbf {p}') \ gamma ^ {\ mu} {\ frac {(p \! \! \! / + k \! \! \! / + m_ {e})} {(p + k) ^ {2} -m_ {e} ^ {2}}} \ gamma ^ {\ nu} \ varepsilon _ {\ nu} ^ {A} (k) u_ {r} (\ mathbf { p}) -ie ^ {2} \ varepsilon _ {\ mu} ^ {A '} (k') {\ bar {u}} _ {r '} (\ mathbf {p}') \ gamma ^ {\ mu} {\ frac {(p \! \! \! / - k \! \! \! / '+ m_ {e})} {(p-k') ^ {2} -m_ {e} ^ { 2}}} \ gamma ^ {\ nu} \ varepsilon _ {\ nu} ^ {A} (k) u_ {r} (\ mathbf {p})}$

Prin exploatarea proprietăților polarizatorilor, așa că $p^{\mu }\varepsilon _{\mu }^{A}(k)=0$ ${\ displaystyle p ^ {\ mu} \ varepsilon _ {\ mu} ^ {A} (k) = 0}$ ${\ displaystyle p ^ {\ mu} \ varepsilon _ {\ mu} ^ {A} (k) = 0}$ de sine $p^{\mu }$ ${\ displaystyle p ^ {\ mu}}$ ${\ displaystyle p ^ {\ mu}}$ nu are componentă spațială în timp ce $k^{\mu }\varepsilon _{\mu }^{A}(k)=0$ ${\ displaystyle k ^ {\ mu} \ varepsilon _ {\ mu} ^ {A} (k) = 0}$ ${\ displaystyle k ^ {\ mu} \ varepsilon _ {\ mu} ^ {A} (k) = 0}$ pe polarizări fizice, putem simplifica această expresie până când obținem

$i{\mathcal {M}}_{rr'}^{AA'}=-{\frac {ie^{2}}{2kk'm_{e}}}{\bar {u}}_{r'}(\mathbf {k} -\mathbf {k} ')M_{AA'}u_{r}(0)$ ${\ displaystyle i {\ mathcal {M}} _ {rr '} ^ {AA'} = - {\ frac {ie ^ {2}} {2kk'm_ {e}}} {\ bar {u}} _ {r '} (\ mathbf {k} - \ mathbf {k}') M_ {AA '} u_ {r} (0)}$ ${\ displaystyle i {\ mathcal {M}} _ {rr '} ^ {AA'} = - {\ frac {ie ^ {2}} {2kk'm_ {e}}} {\ bar {u}} _ {r '} (\ mathbf {k} - \ mathbf {k}') M_ {AA '} u_ {r} (0)}$

unde este $M_{AA'}=k'\varepsilon \!\!\!/_{\rho }^{A'}(k')k\!\!\!/\varepsilon \!\!\!/_{A}^{\rho }(k)+k\varepsilon \!\!\!/_{\rho }^{A}(k)k\!\!\!/'\varepsilon \!\!\!/_{A'}^{\rho }(k')$ ${\ displaystyle M_ {AA '} = k' \ varepsilon \! \! \! / _ {\ rho} ^ {A '} (k') k \! \! \! / \ varepsilon \! \! \! / _ {A} ^ {\ rho} (k) + k \ varepsilon \! \! \! / _ {\ Rho} ^ {A} (k) k \! \! \! / '\ Varepsilon \! \ ! \! / _ {A '} ^ {\ rho} (k')}$ ${\ displaystyle M_ {AA '} = k' \ varepsilon \! \! \! / _ {\ rho} ^ {A '} (k') k \! \! \! / \ varepsilon \! \! \! / _ {A} ^ {\ rho} (k) + k \ varepsilon \! \! \! / _ {\ Rho} ^ {A} (k) k \! \! \! / '\ Varepsilon \! \ ! \! / _ {A '} ^ {\ rho} (k')}$

Pentru calcularea secțiunii transversale este, prin urmare, necesar să se calculeze pătratul elementului matricial mediat pe polarizări și rotiri. Veți obține atunci

${\bar {\mathcal {M}}}^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{rr'}{\frac {1}{2}}\sum _{AA'}{\mathcal {M}}_{rr'}^{2\,AA'}={\frac {e^{4}}{8(kk'm_{e})^{2}}}\sum _{r}u_{r}(0){\bar {u}}_{r}(0){\bar {M}}_{AA'}\sum _{r'}u_{r'}(\mathbf {k} -\mathbf {k'} ){\bar {u}}_{r'}(\mathbf {k} -\mathbf {k'} )M_{AA'}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ mathcal {M}}} ^ {2} = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {rr '} {\ frac {1} {2}} \ sum _ { AA '} {\ mathcal {M}} _ {rr'} ^ {2 \, AA '} = {\ frac {e ^ {4}} {8 (kk'm_ {e}) ^ {2}}} \ sum _ {r} u_ {r} (0) {\ bar {u}} _ {r} (0) {\ bar {M}} _ {AA '} \ sum _ {r'} u_ {r ' } (\ mathbf {k} - \ mathbf {k '}) {\ bar {u}} _ {r'} (\ mathbf {k} - \ mathbf {k '}) M_ {AA'}}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ mathcal {M}}} ^ {2} = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {rr '} {\ frac {1} {2}} \ sum _ { AA '} {\ mathcal {M}} _ {rr'} ^ {2 \, AA '} = {\ frac {e ^ {4}} {8 (kk'm_ {e}) ^ {2}}} \ sum _ {r} u_ {r} (0) {\ bar {u}} _ {r} (0) {\ bar {M}} _ {AA '} \ sum _ {r'} u_ {r ' } (\ mathbf {k} - \ mathbf {k '}) {\ bar {u}} _ {r'} (\ mathbf {k} - \ mathbf {k '}) M_ {AA'}}$

Exploatând relația

$\sum _{r}u_{r}(\mathbf {p} ){\bar {u}}_{r}(\mathbf {p} )=p\!\!\!/+m_{e}$ ${\ displaystyle \ sum _ {r} u_ {r} (\ mathbf {p}) {\ bar {u}} _ {r} (\ mathbf {p}) = p \! \! \! / + m_ { Și}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {r} u_ {r} (\ mathbf {p}) {\ bar {u}} _ {r} (\ mathbf {p}) = p \! \! \! / + m_ { Și}}$

avem

${\bar {\mathcal {M}}}^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{AA'}{\mathcal {M}}^{2\,AA'}={\frac {e^{4}}{8(kk'm_{e})^{2}}}{\frac {1}{2}}\sum _{AA'}\mathrm {tr} [(p\!\!\!/'+m_{e}){\bar {M}}^{AA'}(p\!\!\!/+m_{e})M^{AA'}]$ ${\ displaystyle {\ bar {\ mathcal {M}}} ^ {2} = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {AA '} {\ mathcal {M}} ^ {2 \, AA' } = {\ frac {e ^ {4}} {8 (kk'm_ {e}) ^ {2}}} {\ frac {1} {2}} \ sum _ {AA '} \ mathrm {tr} [(p \! \! \! / '+ m_ {e}) {\ bar {M}} ^ {AA'} (p \! \! \! / + m_ {e}) M ^ {AA '} ]}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ mathcal {M}}} ^ {2} = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {AA '} {\ mathcal {M}} ^ {2 \, AA' } = {\ frac {e ^ {4}} {8 (kk'm_ {e}) ^ {2}}} {\ frac {1} {2}} \ sum _ {AA '} \ mathrm {tr} [(p \! \! \! / '+ m_ {e}) {\ bar {M}} ^ {AA'} (p \! \! \! / + m_ {e}) M ^ {AA '} ]}$

Acum, $(p\!\!\!/'+m_{e}){\bar {M}}^{AA'}(p\!\!\!/+m_{e})M^{AA'}={\frac {e^{4}}{8(kk'm_{e})^{2}}}{\frac {1}{2}}\sum _{AA'}[32m_{e}^{2}k^{2}k'^{2}(\varepsilon _{A}^{\mu }(k)\varepsilon _{A'\,\mu }(k'))^{2}+8kk'm_{e}(k^{\mu }k'_{\mu })(k-k')]$ ${\ displaystyle (p \! \! \! / '+ m_ {e}) {\ bar {M}} ^ {AA'} (p \! \! \! / + m_ {e}) M ^ {AA '} = {\ frac {e ^ {4}} {8 (kk'm_ {e}) ^ {2}}} {\ frac {1} {2}} \ sum _ {AA'} [32m_ {e } ^ {2} k ^ {2} k '^ {2} (\ varepsilon _ {A} ^ {\ mu} (k) \ varepsilon _ {A' \, \ mu} (k ')) ^ {2 } + 8kk'm_ {e} (k ^ {\ mu} k '_ {\ mu}) (k-k')]}$ ${\ displaystyle (p \! \! \! / '+ m_ {e}) {\ bar {M}} ^ {AA'} (p \! \! \! / + m_ {e}) M ^ {AA '} = {\ frac {e ^ {4}} {8 (kk'm_ {e}) ^ {2}}} {\ frac {1} {2}} \ sum _ {AA'} [32m_ {e } ^ {2} k ^ {2} k '^ {2} (\ varepsilon _ {A} ^ {\ mu} (k) \ varepsilon _ {A' \, \ mu} (k ')) ^ {2 } + 8kk'm_ {e} (k ^ {\ mu} k '_ {\ mu}) (k-k')]}$

Media polarizărilor rămâne de realizat. Pentru a face acest lucru, este necesar să se exploateze egalitatea

$\sum _{A}\varepsilon _{A}^{\mu }(k)\varepsilon _{A\,\nu }(k)=\Pi _{\mu \nu }(k)=-\eta _{\mu \nu }+{\frac {k_{\mu }k_{\nu }^{*}+k_{\nu }k_{\mu }^{*}}{k^{\lambda }k_{\lambda }^{*}}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {A} \ varepsilon _ {A} ^ {\ mu} (k) \ varepsilon _ {A \, \ nu} (k) = \ Pi _ {\ mu \ nu} (k) = - \ eta _ {\ mu \ nu} + {\ frac {k _ {\ mu} k _ {\ nu} ^ {*} + k _ {\ nu} k _ {\ mu} ^ {*}} { k ^ {\ lambda} k _ {\ lambda} ^ {*}}}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {A} \ varepsilon _ {A} ^ {\ mu} (k) \ varepsilon _ {A \, \ nu} (k) = \ Pi _ {\ mu \ nu} (k) = - \ eta _ {\ mu \ nu} + {\ frac {k _ {\ mu} k _ {\ nu} ^ {*} + k _ {\ nu} k _ {\ mu} ^ {*}} { k ^ {\ lambda} k _ {\ lambda} ^ {*}}}}$

deci, ținând cont de faptul că din cinematica pe care o avem

$k^{\mu }k'_{\mu }=kk'(1-\cos \theta )$ ${\ displaystyle k ^ {\ mu} k '_ {\ mu} = kk' (1- \ cos \ theta)}$ ${\ displaystyle k ^ {\ mu} k '_ {\ mu} = kk' (1- \ cos \ theta)}$

prin urmare ( $\mathbf {k} ^{*}=-\mathbf {k}$ ${\ displaystyle \ mathbf {k} ^ {*} = - \ mathbf {k}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {k} ^ {*} = - \ mathbf {k}}$ )

$k^{\mu }k_{\mu }^{'*}=kk'(1+\cos \theta )$ ${\ displaystyle k ^ {\ mu} k _ {\ mu} ^ {'*} = kk' (1+ \ cos \ theta)}$ ${\ displaystyle k ^ {\ mu} k _ {\ mu} ^ {'*} = kk' (1+ \ cos \ theta)}$

ajungem în sfârșit

${\bar {\mathcal {M}}}^{2}={\frac {e^{4}}{8(kk'm_{e})^{2}}}16m_{e}^{2}k^{2}k'^{2}\left({\frac {k'}{k}}+{\frac {k}{k'}}-\sin ^{2}\theta \right)$ ${\ displaystyle {\ bar {\ mathcal {M}}} ^ {2} = {\ frac {e ^ {4}} {8 (kk'm_ {e}) ^ {2}}} 16m_ {e} ^ {2} k ^ {2} k '^ {2} \ left ({\ frac {k'} {k}} + {\ frac {k} {k '}} - \ sin ^ {2} \ theta \ dreapta)}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ mathcal {M}}} ^ {2} = {\ frac {e ^ {4}} {8 (kk'm_ {e}) ^ {2}}} 16m_ {e} ^ {2} k ^ {2} k '^ {2} \ left ({\ frac {k'} {k}} + {\ frac {k} {k '}} - \ sin ^ {2} \ theta \ dreapta)}$

Secțiunea transversală se obține prin aplicarea formulei generale

$\mathrm {d} \sigma ={\frac {1}{4p^{\mu }k_{\mu }}}{\bar {\mathcal {M}}}^{2}\int {\frac {\mathrm {d} \mathbf {k'} }{(2\pi )^{3}2k'}}\int {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p'} }{(2\pi )^{3}2p_{0}'}}(2\pi )^{4}\delta ^{(4)}(k+p-k'-p')$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ sigma = {\ frac {1} {4p ^ {\ mu} k _ {\ mu}}} {\ bar {\ mathcal {M}}} ^ {2} \ int { \ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {k '}} {(2 \ pi) ^ {3} 2k'}} \ int {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {p '}} {(2 \ pi) ^ {3} 2p_ {0} '}} (2 \ pi) ^ {4} \ delta ^ {(4)} (k + p-k'-p')}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ sigma = {\ frac {1} {4p ^ {\ mu} k _ {\ mu}}} {\ bar {\ mathcal {M}}} ^ {2} \ int { \ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {k '}} {(2 \ pi) ^ {3} 2k'}} \ int {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {p '}} {(2 \ pi) ^ {3} 2p_ {0} '}} (2 \ pi) ^ {4} \ delta ^ {(4)} (k + p-k'-p')}$

Acum, $p^{\mu }k_{\mu }=km_{e}$ ${\ displaystyle p ^ {\ mu} k _ {\ mu} = km_ {e}}$ ${\ displaystyle p ^ {\ mu} k _ {\ mu} = km_ {e}}$ în timp ce, eliminarea integrării în $\mathrm {d} \mathbf {p'}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {p '}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {p '}}$ prin delta Dirac și descompunându-l în $\mathrm {d} \mathbf {k'}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {k '}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {k '}}$ în partea radială și unghiulară ajungem în cele din urmă

$\mathrm {d} \sigma ={\frac {1}{4km_{e}}}{\frac {e^{4}}{16(kk'm_{e})^{2}}}16m_{e}^{2}k^{2}k'^{2}\left({\frac {k'}{k}}+{\frac {k}{k'}}-\sin ^{2}\theta \right)\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} k'\,k'}{(2\pi )^{3}}}\int {\frac {\mathrm {d} \phi \mathrm {d} \cos \theta }{2p_{0}'(k')}}(2\pi )\delta (k'+p_{0}'(k')-m_{e}-k)$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ sigma = {\ frac {1} {4km_ {e}}} {\ frac {e ^ {4}} {16 (kk'm_ {e}) ^ {2}}} 16m_ {e} ^ {2} k ^ {2} k '^ {2} \ left ({\ frac {k'} {k}} + {\ frac {k} {k '}} - \ sin ^ { 2} \ theta \ right) \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ mathrm {d} k '\, k'} {(2 \ pi) ^ {3}}} \ int {\ frac {\ mathrm {d} \ phi \ mathrm {d} \ cos \ theta} {2p_ {0} '(k')}} (2 \ pi) \ delta (k '+ p_ {0}' (k ' ) -m_ {e} -k)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ sigma = {\ frac {1} {4km_ {e}}} {\ frac {e ^ {4}} {16 (kk'm_ {e}) ^ {2}}} 16m_ {e} ^ {2} k ^ {2} k '^ {2} \ left ({\ frac {k'} {k}} + {\ frac {k} {k '}} - \ sin ^ { 2} \ theta \ right) \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ mathrm {d} k '\, k'} {(2 \ pi) ^ {3}}} \ int {\ frac {\ mathrm {d} \ phi \ mathrm {d} \ cos \ theta} {2p_ {0} '(k')}} (2 \ pi) \ delta (k '+ p_ {0}' (k ' ) -m_ {e} -k)}$

și, prin urmare, fiind $k^{'}$ ${\ displaystyle k '}$ $k '$ care rezolvă ecuația din delta Dirac cea care corespunde conservării energiei, adică

${\frac {km_{e}}{m_{e}+k(1-\cos \theta )}}$ ${\ displaystyle {\ frac {km_ {e}} {m_ {e} + k (1- \ cos \ theta)}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {km_ {e}} {m_ {e} + k (1- \ cos \ theta)}}}$

formula Klein-Nishina se găsește făcând substituțiile corespunzătoare.

Limita de frecvență joasă

Pentru fotonii cu frecvență joasă, adică în limita non-relativistă, avem $k\to 0$ ${\ displaystyle k \ to 0}$ ${\ displaystyle k \ to 0}$ prin urmare $k'/k\to 1$ ${\ displaystyle k '/ k \ to 1}$ ${\ displaystyle k '/ k \ to 1}$ . În acest caz devine formula Klein-Nishina

${\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \cos \theta }}={\frac {\pi \alpha ^{2}\hbar ^{2}}{m_{e}^{2}c^{2}}}(2-\sin ^{2}\theta )={\frac {\pi \alpha ^{2}\hbar ^{2}}{m_{e}^{2}c^{2}}}(1+\cos ^{2}\theta )=\pi \alpha ^{2}\lambda _{e}^{2}(1+\cos ^{2}\theta )$ ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ sigma} {\ mathrm {d} \ cos \ theta}} = {\ frac {\ pi \ alpha ^ {2} \ hbar ^ {2}} {m_ { e} ^ {2} c ^ {2}}} (2- \ sin ^ {2} \ theta) = {\ frac {\ pi \ alpha ^ {2} \ hbar ^ {2}} {m_ {e} ^ {2} c ^ {2}}} (1+ \ cos ^ {2} \ theta) = \ pi \ alpha ^ {2} \ lambda _ {e} ^ {2} (1+ \ cos ^ {2 } \ theta)}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ sigma} {\ mathrm {d} \ cos \ theta}} = {\ frac {\ pi \ alpha ^ {2} \ hbar ^ {2}} {m_ { e} ^ {2} c ^ {2}}} (2- \ sin ^ {2} \ theta) = {\ frac {\ pi \ alpha ^ {2} \ hbar ^ {2}} {m_ {e} ^ {2} c ^ {2}}} (1+ \ cos ^ {2} \ theta) = \ pi \ alpha ^ {2} \ lambda _ {e} ^ {2} (1+ \ cos ^ {2 } \ theta)}$

unde este $\lambda _{e}=\hbar /(m_{e}c^{2})$ ${\ displaystyle \ lambda _ {e} = \ hbar / (m_ {e} c ^ {2})}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {e} = \ hbar / (m_ {e} c ^ {2})}$ este lungimea Compton a electronului.

Notă

^ Klein, O și Nishina, Y, Über die Streuung von Strahlung durch freie Elektronen nach der neuen relativistischen Quantendynamik von Dirac , în Z. Phys. , vol. 52, nr. 11-12, 1929, pp. 853 și 869, Bibcode : 1929ZPhy ... 52..853K , DOI : 10.1007 / BF01366453 .

Elemente conexe

Surse

( EN ) Nikolaj Nikolajevič Bogoljubov, Dmitrij Vasil'evič Širkov,Introducere în teoria câmpurilor cuantizate , traducere de GM Volkoff, New York, Interscience Publishers, 1959 [1957] , pp. 275 -279.

[1] Klein, O și Nishina, Y, Über die Streuung von Strahlung durch freie Elektronen nach der neuen relativistischen Quantendynamik von Dirac , în Z. Phys. , vol. 52, nr. 11-12, 1929, pp. 853 și 869, Bibcode : 1929ZPhy ... 52..853K , DOI : 10.1007 / BF01366453 .

[1]