Identitatea lui Roy

Identitatea lui Roy, numită după economistul francez René Roy , este în microeconomie lema care leagă funcția cererii Marshalliene de funcția de utilitate indirectă .

În special, dată fiind o funcție de utilitate indirectă V ( p , w ), unde p este vectorul prețurilor mărfurilor și w venitul , identitatea lui Roy spune că cantitatea cerută de bunul i ( x _i ) este egală cu:

x_{i}(\mathbf {p} ,w)=-{\frac {\frac {\partial V(\mathbf {p} ,w)}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial V(\mathbf {p} ,w)}{\partial w}}}

{\ displaystyle x_ {i} (\ mathbf {p}, w) = - {\ frac {\ frac {\ partial V (\ mathbf {p}, w)} {\ partial p_ {i}}} {\ frac {\ partial V (\ mathbf {p}, w)} {\ partial w}}}}

{\ displaystyle x_ {i} (\ mathbf {p}, w) = - {\ frac {\ frac {\ partial V (\ mathbf {p}, w)} {\ partial p_ {i}}} {\ frac {\ partial V (\ mathbf {p}, w)} {\ partial w}}}}

Derivarea identității lui Roy

Identitatea lui Roy este o aplicație a teoremei plicului . Conform acestei teoreme, dată fiind o problemă de optimizare , derivata funcției de valoare față de un parametru este egală cu derivata Lagrangianului față de același parametru.

În cazul specific, dată fiind problema constrânsă de maximizare a utilității :

\max _{x_{1},\ldots ,x_{n}}U(x_{1},\ldots ,x_{n})\ {\textrm {s.t.}}\ \sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}=w

{\ displaystyle \ max _ {x_ {1}, \ ldots, x_ {n}} U (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ {\ textrm {st}} \ \ sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} x_ {i} = w}

{\ displaystyle \ max _ {x_ {1}, \ ldots, x_ {n}} U (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ {\ textrm {st}} \ \ sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} x_ {i} = w}

Lagrangianul corespunzător este:

\ {\mathcal {L}}(x_{1},\ldots ,x_{n},\lambda )=U(x_{1},\ldots ,x_{n})-\lambda (\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}-w)

{\ displaystyle \ {\ mathcal {L}} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}, \ lambda) = U (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) - \ lambda (\ sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} x_ {i} -w)}

{\ displaystyle \ {\ mathcal {L}} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}, \ lambda) = U (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) - \ lambda (\ sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} x_ {i} -w)}

Funcția de valoare , adică funcția care leagă valoarea funcției obiective (funcția de utilitate U în acest caz) cu parametrii problemei (prețurile p și venitul w ) este funcția de utilitate indirectă V ( p , w ).

Derivata parțială a Lagrangianului față de prețul bunului i este

\ {\frac {\partial V(\mathbf {p} ,w)}{\partial p_{i}}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial p_{i}}}=-\lambda x_{i}

{\ displaystyle \ {\ frac {\ partial V (\ mathbf {p}, w)} {\ partial p_ {i}}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial p_ { i}}} = - \ lambda x_ {i}}

{\ displaystyle \ {\ frac {\ partial V (\ mathbf {p}, w)} {\ partial p_ {i}}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial p_ { i}}} = - \ lambda x_ {i}}

Derivatul parțial cu privire la venituri este:

\ {\frac {\partial V(\mathbf {p} ,w)}{\partial w}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial w}}=\lambda

{\ displaystyle \ {\ frac {\ partial V (\ mathbf {p}, w)} {\ partial w}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial w}} = \ lambda}

{\ displaystyle \ {\ frac {\ partial V (\ mathbf {p}, w)} {\ partial w}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial w}} = \ lambda}

pentru care avem:

\ {\frac {\partial V(\mathbf {p} ,w)}{\partial p_{i}}}=-{\frac {\partial V(\mathbf {p} ,w)}{\partial w}}x_{i}

{\ displaystyle \ {\ frac {\ partial V (\ mathbf {p}, w)} {\ partial p_ {i}}} = - {\ frac {\ partial V (\ mathbf {p}, w)} { \ partial w}} x_ {i}}

{\ displaystyle \ {\ frac {\ partial V (\ mathbf {p}, w)} {\ partial p_ {i}}} = - {\ frac {\ partial V (\ mathbf {p}, w)} { \ partial w}} x_ {i}}

din care rezultă:

\ x_{i}=-{\frac {\partial V(\mathbf {p} ,w)}{\partial p_{i}}}/{\frac {\partial V(\mathbf {p} ,w)}{\partial w}}

{\ displaystyle \ x_ {i} = - {\ frac {\ partial V (\ mathbf {p}, w)} {\ partial p_ {i}}} / {\ frac {\ partial V (\ mathbf {p} , w)} {\ partial w}}}

{\ displaystyle \ x_ {i} = - {\ frac {\ partial V (\ mathbf {p}, w)} {\ partial p_ {i}}} / {\ frac {\ partial V (\ mathbf {p} , w)} {\ partial w}}}

Bibliografie

Mas-Colell, Andreu; Whinston, Michael; & Green, Jerry (1995). Teoria microeconomică . Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-507340-1
Roy, René (1947), „La Distribution du Revenu Entre Les Divers Biens”, Econometrica , 15, 205-225.

Elemente conexe