Interpolare Lagrange

În analiza numerică , interpolarea Lagrange este un tip particular de interpolare polinomială , a fost descoperită pentru prima dată de Edward Waring în 1779 și mai târziu redescoperită de Leonhard Euler în 1783.

Definiție

Având o funcție $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ Și $n+1$ ${\ displaystyle n + 1}$ $n + 1$ puncte $a_{0},a_{1},a_{2}...a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {0}, a_ {1}, a_ {2} ... a_ {n}}$ ${\ displaystyle a_ {0}, a_ {1}, a_ {2} ... a_ {n}}$ pentru care se cunosc valorile $f(a_{0}),f(a_{1}),f(a_{2})...f(a_{n})$ ${\ displaystyle f (a_ {0}), f (a_ {1}), f (a_ {2}) ... f (a_ {n})}$ ${\ displaystyle f (a_ {0}), f (a_ {1}), f (a_ {2}) ... f (a_ {n})}$ definim polinomul interpolator Lagrange al funcției $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ polinomul

$P(x)=\sum _{i=0}^{n}{f(a_{i})\prod _{j\neq i,j=0}^{n}{\frac {x-a_{j}}{a_{i}-a_{j}}}}$ ${\ displaystyle P (x) = \ sum _ {i = 0} ^ {n} {f (a_ {i}) \ prod _ {j \ neq i, j = 0} ^ {n} {\ frac {x -a_ {j}} {a_ {i} -a_ {j}}}}}$ ${\ displaystyle P (x) = \ sum _ {i = 0} ^ {n} {f (a_ {i}) \ prod _ {j \ neq i, j = 0} ^ {n} {\ frac {x -a_ {j}} {a_ {i} -a_ {j}}}}}$

Proprietate

Pentru fiecare $i=1,2...n$ ${\ displaystyle i = 1,2 ... n}$ ${\ displaystyle i = 1,2 ... n}$ da ai $P(a_{i})=f(a_{i})$ ${\ displaystyle P (a_ {i}) = f (a_ {i})}$ ${\ displaystyle P (a_ {i}) = f (a_ {i})}$ și pentru orice $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ da ai

$f(x)=P(x)+{\frac {1}{n!}}\prod _{i=1}^{n}{(x-a_{i})}f^{(n)}(\xi )$ ${\ displaystyle f (x) = P (x) + {\ frac {1} {n!}} \ prod _ {i = 1} ^ {n} {(x-a_ {i})} f ^ {( n)} (\ xi)}$ ${\ displaystyle f (x) = P (x) + {\ frac {1} {n!}} \ prod _ {i = 1} ^ {n} {(x-a_ {i})} f ^ {( n)} (\ xi)}$

unde este $\xi$ ${\ displaystyle \ xi}$ $\ xi$ este o funcție de valoare necunoscută a $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ aparținând intervalului minim căruia îi aparțin punctele $a_{1},a_{2}...a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {1}, a_ {2} ... a_ {n}}$ ${\ displaystyle a_ {1}, a_ {2} ... a_ {n}}$ Și $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ .

Demonstrație

Pentru simplitate scriem

$p_{n}(x)=\prod _{i=1}^{n}(x-a_{i})$ ${\ displaystyle p_ {n} (x) = \ prod _ {i = 1} ^ {n} (x-a_ {i})}$ ${\ displaystyle p_ {n} (x) = \ prod _ {i = 1} ^ {n} (x-a_ {i})}$

pentru care

$P(x)=\sum _{i=1}^{n}{f(a_{i})g_{i}(x)}$ ${\ displaystyle P (x) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {f (a_ {i}) g_ {i} (x)}}$ ${\ displaystyle P (x) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {f (a_ {i}) g_ {i} (x)}}$

unde este

$g_{i}(x)={\frac {p_{n}(x)}{(x-a_{i})p_{n}'(a_{i})}}=\prod _{j\neq i}{\frac {x-a_{j}}{a_{i}-a_{j}}}$ ${\ displaystyle g_ {i} (x) = {\ frac {p_ {n} (x)} {(x-a_ {i}) p_ {n} '(a_ {i})}} = \ prod _ { j \ neq i} {\ frac {x-a_ {j}} {a_ {i} -a_ {j}}}}$ ${\ displaystyle g_ {i} (x) = {\ frac {p_ {n} (x)} {(x-a_ {i}) p_ {n} '(a_ {i})}} = \ prod _ { j \ neq i} {\ frac {x-a_ {j}} {a_ {i} -a_ {j}}}}$

acum avem asta pentru fiecare $i\neq j$ ${\ displaystyle i \ neq j}$ $i \ neq j$ se întâmplă că $g_{i}(a_{j})=0$ ${\ displaystyle g_ {i} (a_ {j}) = 0}$ ${\ displaystyle g_ {i} (a_ {j}) = 0}$ de vreme ce expresia lui $g_{i}(x)$ ${\ displaystyle g_ {i} (x)}$ ${\ displaystyle g_ {i} (x)}$ conține un factor $x-a_{j}$ ${\ displaystyle x-a_ {j}}$ ${\ displaystyle x-a_ {j}}$ un numărător, în plus $g_{i}(a_{i})=1$ ${\ displaystyle g_ {i} (a_ {i}) = 1}$ ${\ displaystyle g_ {i} (a_ {i}) = 1}$ pentru fiecare $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ de la care $P(a_{i})=f(a_{i})$ ${\ displaystyle P (a_ {i}) = f (a_ {i})}$ ${\ displaystyle P (a_ {i}) = f (a_ {i})}$ .

Acum să luăm în considerare funcția

$F(z)=f(z)-P(z)-[f(x)-P(x)]{\frac {p_{n}(z)}{p_{n}(x)}}$ ${\ displaystyle F (z) = f (z) -P (z) - [f (x) -P (x)] {\ frac {p_ {n} (z)} {p_ {n} (x)} }}$ ${\ displaystyle F (z) = f (z) -P (z) - [f (x) -P (x)] {\ frac {p_ {n} (z)} {p_ {n} (x)} }}$

cand $x\neq a_{i}\forall i$ ${\ displaystyle x \ neq a_ {i} \ forall i}$ ${\ displaystyle x \ neq a_ {i} \ forall i}$ , ea are $n+1$ ${\ displaystyle n + 1}$ $n + 1$ zerouri în puncte $a_{1},a_{2}...a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {1}, a_ {2} ... a_ {n}}$ ${\ displaystyle a_ {1}, a_ {2} ... a_ {n}}$ Și $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , derivând $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ori

$F^{(n)}(z)=f^{(n)}(z)-P^{(n)}(z)-[f(x)-P(x)]{\frac {p_{n}^{(n)}(z)}{p_{n}(x)}}$ ${\ displaystyle F ^ {(n)} (z) = f ^ {(n)} (z) -P ^ {(n)} (z) - [f (x) -P (x)] {\ frac {p_ {n} ^ {(n)} (z)} {p_ {n} (x)}}}$ ${\ displaystyle F ^ {(n)} (z) = f ^ {(n)} (z) -P ^ {(n)} (z) - [f (x) -P (x)] {\ frac {p_ {n} ^ {(n)} (z)} {p_ {n} (x)}}}$

Din aplicarea teoremei lui Rolle pentru $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ori funcția $F^{(n)}(z)$ ${\ displaystyle F ^ {(n)} (z)}$ ${\ displaystyle F ^ {(n)} (z)}$ are cel puțin un zero $\xi$ ${\ displaystyle \ xi}$ $\ xi$ în intervalul minim pe care îl conține $a_{1},a_{2}...a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {1}, a_ {2} ... a_ {n}}$ ${\ displaystyle a_ {1}, a_ {2} ... a_ {n}}$ Și $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ .

Noi stim aia $p_{n}(x)$ ${\ displaystyle p_ {n} (x)}$ ${\ displaystyle p_ {n} (x)}$ este un polinom de grad $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ al cărui coeficient de $x^{n}$ ${\ displaystyle x ^ {n}}$ $x ^ {n}$ este 1, deci $p_{n}^{(n)}(x)=n!$ ${\ displaystyle p_ {n} ^ {(n)} (x) = n!}$ ${\ displaystyle p_ {n} ^ {(n)} (x) = n!}$ , in schimb $P(x)$ ${\ displaystyle P (x)}$ $P (x)$ este un polinom de grad $n-1$ ${\ displaystyle n-1}$ $n - 1$ pentru care $P^{(n)}(x)=0$ ${\ displaystyle P ^ {(n)} (x) = 0}$ ${\ displaystyle P ^ {(n)} (x) = 0}$ , la sfarsit

$F^{(n)}(z)=f^{(n)}(z)-P^{(n)}(z)-[f(x)-P(x)]{\frac {n!}{p_{n}(x)}}$ ${\ displaystyle F ^ {(n)} (z) = f ^ {(n)} (z) -P ^ {(n)} (z) - [f (x) -P (x)] {\ frac {n!} {p_ {n} (x)}}}$ ${\ displaystyle F ^ {(n)} (z) = f ^ {(n)} (z) -P ^ {(n)} (z) - [f (x) -P (x)] {\ frac {n!} {p_ {n} (x)}}}$

$0=F^{(n)}(\xi )=f^{(n)}(\xi )-[f(x)-P(x)]{\frac {n!}{p_{n}(x)}}$ ${\ displaystyle 0 = F ^ {(n)} (\ xi) = f ^ {(n)} (\ xi) - [f (x) -P (x)] {\ frac {n!} {p_ { n} (x)}}}$ ${\ displaystyle 0 = F ^ {(n)} (\ xi) = f ^ {(n)} (\ xi) - [f (x) -P (x)] {\ frac {n!} {p_ { n} (x)}}}$

de la care

$f(x)-P(x)={\frac {p_{n}(x)}{n!}}f^{(n)}(\xi )$ ${\ displaystyle f (x) -P (x) = {\ frac {p_ {n} (x)} {n!}} f ^ {(n)} (\ xi)}$ ${\ displaystyle f (x) -P (x) = {\ frac {p_ {n} (x)} {n!}} f ^ {(n)} (\ xi)}$

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe Lagrange Interpolation