Legi conjugate

În economie , două legi financiare , compunerea și actualizarea , spun că sunt căsătorite atunci când capitalul inițial al unui pilon , realizat printr-o lege a valorificării , la fel ca valoarea actuală a aceleiași sume, calculată utilizând o lege a actualizării .

Acest lucru este echivalent cu a spune asta, având în vedere legea valorificării

$M(t)=C\cdot f(t)$ ${\ displaystyle M (t) = C \ cdot f (t)}$ ${\ displaystyle M (t) = C \ cdot f (t)}$ , unde este $C\$ ${\ displaystyle C \}$ ${\ displaystyle C \}$ este capitalul inițial și $M\$ ${\ displaystyle M \}$ ${\ displaystyle M \}$ ascensorul în funcție de timp $t\$ ${\ displaystyle t \}$ ${\ displaystyle t \}$ ,

și având în vedere legea actualizării

$V_{a}(t)=C_{f}\cdot g(t)$ ${\ displaystyle V_ {a} (t) = C_ {f} \ cdot g (t)}$ ${\ displaystyle V_ {a} (t) = C_ {f} \ cdot g (t)}$ , unde este $V_{a}\$ ${\ displaystyle V_ {a} \}$ ${\ displaystyle V_ {a} \}$ este valoarea actuală a unui capital $C_{f}\$ ${\ displaystyle C_ {f} \}$ ${\ displaystyle C_ {f} \}$ disponibil în viitor $t\$ ${\ displaystyle t \}$ ${\ displaystyle t \}$ ,

dacă este fixat în legea valorificării, pentru capitalul inițial $C\$ ${\ displaystyle C \}$ ${\ displaystyle C \}$ , valoarea asumată de $V_{a}\$ ${\ displaystyle V_ {a} \}$ ${\ displaystyle V_ {a} \}$ la un moment dat ${\bar {t}}$ ${\ displaystyle {\ bar {t}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {t}}}$ :

$C:=V_{a}\left({\bar {t}}\right)$ ${\ displaystyle C: = V_ {a} \ left ({\ bar {t}} \ right)}$ ${\ displaystyle C: = V_ {a} \ left ({\ bar {t}} \ right)}$

atunci relația există:

$M\left({\bar {t}}\right)=C_{f}$ ${\ displaystyle M \ left ({\ bar {t}} \ right) = C_ {f}}$ ${\ displaystyle M \ left ({\ bar {t}} \ right) = C_ {f}}$ ,

oricum alegi tu ${\bar {t}}\geq 0$ ${\ displaystyle {\ bar {t}} \ geq 0}$ ${\ displaystyle {\ bar {t}} \ geq 0}$ .

Prin urmare, este ușor să verificați că între $f\$ ${\ displaystyle f \}$ $f \$ Și $g\$ ${\ displaystyle g \}$ ${\ displaystyle g \}$ trebuie să se aplice:

$g(t)={\frac {1}{f(t)}}$ ${\ displaystyle g (t) = {\ frac {1} {f (t)}}}$ ${\ displaystyle g (t) = {\ frac {1} {f (t)}}}$

De fapt, prin înlocuirea, în legea valorificării, a $M\left({\bar {t}}\right)$ ${\ displaystyle M \ left ({\ bar {t}} \ right)}$ ${\ displaystyle M \ left ({\ bar {t}} \ right)}$ valoarea corespunzătoare $C_{f}\$ ${\ displaystyle C_ {f} \}$ $C_ {f} \$ este la $C\$ ${\ displaystyle C \}$ ${\ displaystyle C \}$ valoarea corespunzătoare $V_{a}\left({\bar {t}}\right)$ ${\ displaystyle V_ {a} \ left ({\ bar {t}} \ right)}$ ${\ displaystyle V_ {a} \ left ({\ bar {t}} \ right)}$ , noi obținem:

$C_{f}=V_{a}\cdot f({\bar {t}})$ ${\ displaystyle C_ {f} = V_ {a} \ cdot f ({\ bar {t}})}$ ${\ displaystyle C_ {f} = V_ {a} \ cdot f ({\ bar {t}})}$ ,

de la care

$V_{a}({\bar {t}})=C_{f}\cdot {\frac {1}{f({\bar {t}})}}$ ${\ displaystyle V_ {a} ({\ bar {t}}) = C_ {f} \ cdot {\ frac {1} {f ({\ bar {t}})}}$ ${\ displaystyle V_ {a} ({\ bar {t}}) = C_ {f} \ cdot {\ frac {1} {f ({\ bar {t}})}}$

Cu toate acestea, acest lucru este valabil pentru fiecare ${\bar {t}}\geq 0$ ${\ displaystyle {\ bar {t}} \ geq 0}$ ${\ displaystyle {\ bar {t}} \ geq 0}$ , putem scrie:

$V_{a}(t)=C_{f}\cdot {\frac {1}{f(t)}}$ ${\ displaystyle V_ {a} (t) = C_ {f} \ cdot {\ frac {1} {f (t)}}}$ ${\ displaystyle V_ {a} (t) = C_ {f} \ cdot {\ frac {1} {f (t)}}}$

și de aici afirmația.

În acest moment este clar, deși nu este explicit în cele spuse până acum, că, pentru ca cele două legi, valorificarea și actualizarea, să fie conjugate, regimurile financiare pe care le aplică trebuie să fie echivalente sau, mai precis, conjugate cu fiecare altele, precum și dobânzile și ratele de actualizare respective trebuie conjugate. În acest scop, să începem de la relația de echivalență:

$I(t)\ =D(t)\ =M(t)\ -C\ =C_{f}-V_{a}(t)$ ${\ displaystyle I (t) \ = D (t) \ = M (t) \ -C \ = C_ {f} -V_ {a} (t)}$ ${\ displaystyle I (t) \ = D (t) \ = M (t) \ -C \ = C_ {f} -V_ {a} (t)}$

de la care

$I(t)\ =D(t)\ =C\cdot [f(t)-1]$ ${\ displaystyle I (t) \ = D (t) \ = C \ cdot [f (t) -1]}$ ${\ displaystyle I (t) \ = D (t) \ = C \ cdot [f (t) -1]}$

Si deasemenea

$I(t)\ =D(t)\ =C_{f}\cdot [1-g(t)]$ ${\ displaystyle I (t) \ = D (t) \ = C_ {f} \ cdot [1-g (t)]}$ ${\ displaystyle I (t) \ = D (t) \ = C_ {f} \ cdot [1-g (t)]}$

trecând acum la definițiile ratei dobânzii pe perioadă :

$i(t)\ ={\frac {I(t)}{C}}={\frac {M(t)}{C}}-1=f(t)-1$ ${\ displaystyle i (t) \ = {\ frac {I (t)} {C}} = {\ frac {M (t)} {C}} - 1 = f (t) -1}$ $i (t) \ = {\ frac {I (t)} {C}} = {\ frac {M (t)} {C}} - 1 = f (t) -1$

și rata de actualizare pentru perioada respectivă :

$d(t)\ ={\frac {D(t)}{C_{f}}}={\frac {C_{f}\cdot [1-g(t)]}{C_{f}}}=1-g(t)=1-{\frac {1}{f(t)}}$ ${\ displaystyle d (t) \ = {\ frac {D (t)} {C_ {f}}} = {\ frac {C_ {f} \ cdot [1-g (t)]} {C_ {f} }} = 1-g (t) = 1 - {\ frac {1} {f (t)}}}$ ${\ displaystyle d (t) \ = {\ frac {D (t)} {C_ {f}}} = {\ frac {C_ {f} \ cdot [1-g (t)]} {C_ {f} }} = 1-g (t) = 1 - {\ frac {1} {f (t)}}}$

Prin urmare, derivând în cele două relații $f(t)\$ ${\ displaystyle f (t) \}$ $f (t) \$ :

$f(t)\ =i(t)+1$ ${\ displaystyle f (t) \ = i (t) +1}$ ${\ displaystyle f (t) \ = i (t) +1}$

$f(t)\ ={\frac {1}{1-d(t)}}$ ${\ displaystyle f (t) \ = {\ frac {1} {1-d (t)}}}$ ${\ displaystyle f (t) \ = {\ frac {1} {1-d (t)}}}$

obținem relația care leagă $i(t)\$ ${\ displaystyle i (t) \}$ ${\ displaystyle i (t) \}$ la $d(t)\$ ${\ displaystyle d (t) \}$ $d (t) \$ :

$i(t)={\frac {1}{1-d(t)}}-1$ ${\ displaystyle i (t) = {\ frac {1} {1-d (t)}} - 1}$ ${\ displaystyle i (t) = {\ frac {1} {1-d (t)}} - 1}$ prin urmare:

$i(t)={\frac {d(t)}{1-d(t)}}$ ${\ displaystyle i (t) = {\ frac {d (t)} {1-d (t)}}}$ ${\ displaystyle i (t) = {\ frac {d (t)} {1-d (t)}}}$

În cele din urmă, oferim tabelul corespondenței dintre schemele de capitalizare și schemele de actualizare legate de acestea:

Schema simplă de valorificare $\Longleftrightarrow$ ${\ displaystyle \ Longleftrightarrow}$ ${\ displaystyle \ Longleftrightarrow}$ sistem de reduceri cu reducere simplă (sau rațională )

M(t)=C(1+it)\Longleftrightarrow V_{a}(t)={\frac {C_{f}}{1+it}}

{\ displaystyle M (t) = C (1 + it) \ Longleftrightarrow V_ {a} (t) = {\ frac {C_ {f}} {1 + it}}}

{\ displaystyle M (t) = C (1 + it) \ Longleftrightarrow V_ {a} (t) = {\ frac {C_ {f}} {1 + it}}}

Schema de capitalizare a dobânzii compuse $\Longleftrightarrow$ ${\ displaystyle \ Longleftrightarrow}$ ${\ displaystyle \ Longleftrightarrow}$ regim de actualizare a reducerilor compuse

M(t)=C(1+i)^{t}\Longleftrightarrow V_{a}(t)={\frac {C_{f}}{(1+i)^{t}}}

{\ displaystyle M (t) = C (1 + i) ^ {t} \ Longleftrightarrow V_ {a} (t) = {\ frac {C_ {f}} {(1 + i) ^ {t}}}}

{\ displaystyle M (t) = C (1 + i) ^ {t} \ Longleftrightarrow V_ {a} (t) = {\ frac {C_ {f}} {(1 + i) ^ {t}}}}

Schema de capitalizare a dobânzii anticipate $\Longleftrightarrow$ ${\ displaystyle \ Longleftrightarrow}$ ${\ displaystyle \ Longleftrightarrow}$ regim de actualizare a reducerilor comerciale

M(t)=C{\frac {1}{1-dt}}\Longleftrightarrow V_{a}(t)=C_{f}(1-dt)

{\ displaystyle M (t) = C {\ frac {1} {1-dt}} \ Longleftrightarrow V_ {a} (t) = C_ {f} (1-dt)}

{\ displaystyle M (t) = C {\ frac {1} {1-dt}} \ Longleftrightarrow V_ {a} (t) = C_ {f} (1-dt)}