Legea actualizării

Dacă o lege de valorificare servește la determinarea valorii viitoare a unui capital disponibil astăzi, o lege de reducere are ca scop determinarea valorii anticipate a unui capital care ar trebui să fie disponibil la o dată viitoare. Prin urmare, dacă pentru o capitalizare putem vorbi de amânare , pentru reducere trebuie să vorbim despre anticipare .

În mod clar, acest avans are un cost, care este legat de conceptul de dobândă „pasivă” sau de reducere . Trebuie să fie astfel încât, valorificând valoarea actuală pe care ne-o propune legea de reducere aleasă, ajungem la determinarea unei sume a cărei valoare să coincidă cu viitorul capital de la care am plecat. Legea valorificării și rata dobânzii asumate în acest scop sunt determinate univoc de regulile de corespondență enunțate și din acest motiv se spune că sunt conjugate .

Acest tip de specularitate permite, prin legile de valorificare , să deducă principalele caracteristici ale legilor de actualizare legate de acestea. Și tocmai cu regimurile financiare de actualizare asociate cu regimurile financiare de capitalizare cunoscute ne vom ocupa.

Să vedem mai întâi partea axiomatică .

O lege generică a actualizării este exprimată prin relația :

$V_{a}(t)=G(C_{f},t)\$ ${\ displaystyle V_ {a} (t) = G (C_ {f}, t) \}$ ${\ displaystyle V_ {a} (t) = G (C_ {f}, t) \}$

unde este $V_{a}\$ ${\ displaystyle V_ {a} \}$ ${\ displaystyle V_ {a} \}$ este valoarea actuală a capitalului $C_{f}\$ ${\ displaystyle C_ {f} \}$ ${\ displaystyle C_ {f} \}$ disponibil în viitor $t\$ ${\ displaystyle t \}$ ${\ displaystyle t \}$ .

Următoarele proprietăți trebuie să i se aplice:

1) $G(C_{f},t)\$ ${\ displaystyle G (C_ {f}, t) \}$ ${\ displaystyle G (C_ {f}, t) \}$ definit pentru $C_{f}\geq 0$ ${\ displaystyle C_ {f} \ geq 0}$ ${\ displaystyle C_ {f} \ geq 0}$ si pentru $t\$ ${\ displaystyle t \}$ ${\ displaystyle t \}$ : $0\leq t\leq T$ ${\ displaystyle 0 \ leq t \ leq T}$ $0 \ leq t \ leq T$

2) $G(0,t)\ =0$ ${\ displaystyle G (0, t) \ = 0}$ ${\ displaystyle G (0, t) \ = 0}$ pentru fiecare valoare a $t\$ ${\ displaystyle t \}$ ${\ displaystyle t \}$

3) $G(C_{f},0)=C_{f}\$ ${\ displaystyle G (C_ {f}, 0) = C_ {f} \}$ ${\ displaystyle G (C_ {f}, 0) = C_ {f} \}$

4) Dacă $C_{2}>C_{1}\$ ${\ displaystyle C_ {2}> C_ {1} \}$ ${\ displaystyle C_ {2}> C_ {1} \}$ , asa de $G(C_{2},t)\geq G(C_{1},t)$ ${\ displaystyle G (C_ {2}, t) \ geq G (C_ {1}, t)}$ ${\ displaystyle G (C_ {2}, t) \ geq G (C_ {1}, t)}$

5) Pentru fiecare $t_{2}>t_{1}\$ ${\ displaystyle t_ {2}> t_ {1} \}$ ${\ displaystyle t_ {2}> t_ {1} \}$ , $G(C,t_{2})\leq G(C,t_{1})$ ${\ displaystyle G (C, t_ {2}) \ leq G (C, t_ {1})}$ ${\ displaystyle G (C, t_ {2}) \ leq G (C, t_ {1})}$ ; funcția este deci monotonă care nu crește

6) $G(C_{f},t)=C_{f}G(1,t)\$ ${\ displaystyle G (C_ {f}, t) = C_ {f} G (1, t) \}$ ${\ displaystyle G (C_ {f}, t) = C_ {f} G (1, t) \}$ , pentru fiecare $t\$ ${\ displaystyle t \}$ ${\ displaystyle t \}$

Rețineți că proprietatea 2 ar fi putut fi omisă, deoarece este deductibilă din 6 .

Cu toate acestea, trebuie spus că proprietatea 6 nu este întotdeauna satisfăcută în practică, de unde și necesitatea de a specifica proprietatea 2 independent.

Proprietatea 6 este totuși presupusă a fi adevărată în axiomatizarea matematică, deoarece simplifică și într-un anumit sens armonizează studiul unei legi financiare date.

Prin izolarea viitorului capital $C_{f}\$ ${\ displaystyle C_ {f} \}$ $C_ {f} \$ din restul funcției, de fapt, putem studia o singură lege G (1, t), în care se presupune un capital unitar, aplicând apoi factorul $C_{f}\$ ${\ displaystyle C_ {f} \}$ $C_ {f} \$ , ca un coeficient de proporționalitate , obținând astfel tendința legii pentru acel capital particular. Este obișnuit să se pună în acest sens

$g(t)=G(1,t)\$ ${\ displaystyle g (t) = G (1, t) \}$ ${\ displaystyle g (t) = G (1, t) \}$

și formalizează legea valorificării în formă

$V_{a}(t)=C_{f}g(t)\$ ${\ displaystyle V_ {a} (t) = C_ {f} g (t) \}$ ${\ displaystyle V_ {a} (t) = C_ {f} g (t) \}$

La funcție $g(t)\$ ${\ displaystyle g (t) \}$ ${\ displaystyle g (t) \}$ se dă numele factorului de reducere .

Pe baza postulatelor enunțate, se deduc următoarele proprietăți pentru funcția factorului de reducere :

1) $g(t)\$ ${\ displaystyle g (t) \}$ ${\ displaystyle g (t) \}$ definit pentru $t\$ ${\ displaystyle t \}$ ${\ displaystyle t \}$ : $0\leq t\geq T$ ${\ displaystyle 0 \ leq t \ geq T}$ ${\ displaystyle 0 \ leq t \ geq T}$

2) $g(0)=1\$ ${\ displaystyle g (0) = 1 \}$ ${\ displaystyle g (0) = 1 \}$

3) fără creștere, deci dacă este derivabil , $g^{'}(t)\leq 0$ ${\ displaystyle g ^ {'} (t) \ leq 0}$ ${\ displaystyle g ^ {'} (t) \ leq 0}$

O lege de reducere este de obicei asociată cu un regim de actualizare financiară , adică tocmai cu termenul de regim de actualizare financiară o lege financiară care aplică un anumit factor de reducere. Cele trei familii de funcții pe care dorim să le luăm în considerare sunt, în practică, formele conjugate ale celor trei familii văzute pentru factorul de creștere văzut în secțiunea Legea capitalizării .

Ele iau forma:

g(t)={\frac {1}{1+ht}}

{\ displaystyle g (t) = {\ frac {1} {1 + ht}}}

{\ displaystyle g (t) = {\ frac {1} {1 + ht}}}

,

(h\geq 0)

{\ displaystyle (h \ geq 0)}

{\ displaystyle (h \ geq 0)}

.

aceasta este forma conjugată a „ funcțiilor afine ” . Regimul financiar de reducere simplă sau rațională se bazează pe acest tip de funcție.

g(t)=e^{-ht}\

{\ displaystyle g (t) = e ^ {- ht} \}

{\ displaystyle g (t) = e ^ {- ht} \}

,

(h\geq 0)

{\ displaystyle (h \ geq 0)}

{\ displaystyle (h \ geq 0)}

.

aceasta este forma conjugată a funcțiilor exponențiale . Regimul financiar de reducere compusă se bazează pe acest tip de funcție.

g(t)=1-ht\

{\ displaystyle g (t) = 1-ht \}

{\ displaystyle g (t) = 1-ht \}

,

(h\geq 0)

{\ displaystyle (h \ geq 0)}

{\ displaystyle (h \ geq 0)}

.

aceasta este forma conjugată a funcțiilor hiperbolice . Regimul financiar de reducere comercială se bazează pe acest tip de funcție.

În analogie cu legile de valorificare, $h\$ ${\ displaystyle h \}$ $h \$ este legată de rata de actualizare unitară. Vă rugăm să consultați secțiunea privind legea capitalizării pentru o prezentare adecvată a dobânzii unitare și a ratelor de actualizare.

Să analizăm acum pe scurt cele trei regimuri financiare menționate.

Schemă financiară simplă sau rațională de reduceri

Este conjugatul regimului financiar de capitalizare a dobânzii simple. Prin plasarea:

$V_{a}$ ${\ displaystyle V_ {a}}$ $Merge}$ = valoarea actualizată sau suma actualizată

$C_{f}$ ${\ displaystyle C_ {f}}$ $C_ {f}$ = capitalul viitor (disponibil în $t\$ ${\ displaystyle t \}$ ${\ displaystyle t \}$

$D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ = reducere

$the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ = rata dobânzii legii valorificării conjugate

noi obținem:

$V_{a}={\frac {C_{f}}{1+it}}\$ ${\ displaystyle V_ {a} = {\ frac {C_ {f}} {1 + it}} \}$ ${\ displaystyle V_ {a} = {\ frac {C_ {f}} {1 + it}} \}$ de la care

$D=C_{f}-V_{a}={\frac {C_{f}it}{1+it}}\$ ${\ displaystyle D = C_ {f} -V_ {a} = {\ frac {C_ {f} it} {1 + it}} \}$ ${\ displaystyle D = C_ {f} -V_ {a} = {\ frac {C_ {f} it} {1 + it}} \}$

Dacă evaluăm prima relație cu $C_{f}=1\$ ${\ displaystyle C_ {f} = 1 \}$ ${\ displaystyle C_ {f} = 1 \}$ , adică cu un capital viitor unitar, devine

$V_{a}={\frac {1}{1+it}}$ ${\ displaystyle V_ {a} = {\ frac {1} {1 + it}}}$ ${\ displaystyle V_ {a} = {\ frac {1} {1 + it}}}$

Avem astfel factorul rațional de reducere $g(t)\$ ${\ displaystyle g (t) \}$ ${\ displaystyle g (t) \}$

$g(t)={\frac {1}{1+it}}$ ${\ displaystyle g (t) = {\ frac {1} {1 + it}}}$ ${\ displaystyle g (t) = {\ frac {1} {1 + it}}}$

Regim financiar de reduceri compuse

Este conjugatul regimului financiar de capitalizare a dobânzii compuse.

Folosind definițiile date la punctul anterior, pornim de la relația generală:

$V_{a}=C_{f}g(t)\$ ${\ displaystyle V_ {a} = C_ {f} g (t) \}$ ${\ displaystyle V_ {a} = C_ {f} g (t) \}$

a identificat funcția de capitalizare conjugată adecvată: $f(t)=(1+i)^{t}\$ ${\ displaystyle f (t) = (1 + i) ^ {t} \}$ ${\ displaystyle f (t) = (1 + i) ^ {t} \}$ ,

începând de la relație:

$g(t)={\frac {1}{f(t)}}\$ ${\ displaystyle g (t) = {\ frac {1} {f (t)}} \}$ ${\ displaystyle g (t) = {\ frac {1} {f (t)}} \}$ noi obținem

$g(t)={\frac {1}{(1+i)^{t}}}\$ ${\ displaystyle g (t) = {\ frac {1} {(1 + i) ^ {t}}} \}$ ${\ displaystyle g (t) = {\ frac {1} {(1 + i) ^ {t}}} \}$ de la care

$V_{a}=C_{f}{\frac {1}{(1+i)^{t}}}\$ ${\ displaystyle V_ {a} = C_ {f} {\ frac {1} {(1 + i) ^ {t}}} \}$ ${\ displaystyle V_ {a} = C_ {f} {\ frac {1} {(1 + i) ^ {t}}} \}$

de aici primim și reducerea:

$D=C_{f}-V_{a}=C_{f}[1-{\frac {1}{(1+i)^{t}}}]\$ ${\ displaystyle D = C_ {f} -V_ {a} = C_ {f} [1 - {\ frac {1} {(1 + i) ^ {t}}}] \}$ ${\ displaystyle D = C_ {f} -V_ {a} = C_ {f} [1 - {\ frac {1} {(1 + i) ^ {t}}}] \}$

Dacă evaluăm prima relație cu $C_{f}=1\$ ${\ displaystyle C_ {f} = 1 \}$ ${\ displaystyle C_ {f} = 1 \}$ , adică cu un capital viitor unitar, devine

$V_{a}={\frac {1}{1+i}}^{t}$ ${\ displaystyle V_ {a} = {\ frac {1} {1 + i}} ^ {t}}$ ${\ displaystyle V_ {a} = {\ frac {1} {1 + i}} ^ {t}}$

Avem astfel factorul rațional de reducere $g(t)\$ ${\ displaystyle g (t) \}$ ${\ displaystyle g (t) \}$

$g(t)={\frac {1}{1+it}}$ ${\ displaystyle g (t) = {\ frac {1} {1 + it}}}$ ${\ displaystyle g (t) = {\ frac {1} {1 + it}}}$

care se poate exprima și prin forța interesului $\delta \$ ${\ displaystyle \ delta \}$ ${\ displaystyle \ delta \}$ :

$g(t)=e^{\delta t}\$ ${\ displaystyle g (t) = e ^ {\ delta t} \}$ ${\ displaystyle g (t) = e ^ {\ delta t} \}$

cu $\delta =ln(1+i)\$ ${\ displaystyle \ delta = ln (1 + i) \}$ ${\ displaystyle \ delta = ln (1 + i) \}$

Regim financiar de reduceri comerciale

Este conjugatul regimului financiar de capitalizare avansată a dobânzii.

Știind că

$f(t)={\frac {1}{1-dt}}$ ${\ displaystyle f (t) = {\ frac {1} {1-dt}}}$ ${\ displaystyle f (t) = {\ frac {1} {1-dt}}}$

unde este $d\$ ${\ displaystyle d \}$ $d \$ este rata de actualizare unitară

$V_{a}=C_{f}-D=C_{f}-C_{f}dt=C_{f}(1-dt)\$ ${\ displaystyle V_ {a} = C_ {f} -D = C_ {f} -C_ {f} dt = C_ {f} (1-dt) \}$ ${\ displaystyle V_ {a} = C_ {f} -D = C_ {f} -C_ {f} dt = C_ {f} (1-dt) \}$ (*)

(*) reamintim din definiția regimului dobânzii anticipate că

D=C_{f}dt\

{\ displaystyle D = C_ {f} dt \}

{\ displaystyle D = C_ {f} dt \}

Elemente conexe