Sistemul axiomatic

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În matematică , un sistem axiomatic (sau axiomatic ) este un set de axiome care pot fi utilizate pentru a demonstra teoreme . Prin urmare, o teorie matematică constă dintr-o axiomatică și din toate teoremele care derivă din aceasta.

Proprietate

Un sistem axiomatic este coerent dacă nu este posibil să se derive două teoreme contradictorii din sistem.

Într-un sistem axiomatic, se spune că axioma este independentă dacă nu poate fi dedusă din celelalte axiome. Un sistem este independent dacă fiecare axiomă a acestuia este independentă.

Un sistem axiomatic este complet dacă este posibil să se demonstreze (pornind de la aceste axiome) adevărul sau falsitatea oricărei propoziții deductibile din sistemul axiomatic pus (cu alte cuvinte, toate propozițiile care pot fi formulate în universul în care sistemul axiomatic este plasat, sunt definibile, în termeni de adevăr sau falsitate, din același set de axiome).

Demonstrații și definiții

Atât axiomele, cât și teoremele care pot fi derivate din acestea sunt enunțuri sau afirmații care declară existența anumitor relații între anumiți termeni. Deci, atunci când declarați axiomele unui sistem axiomatic, declarați afirmații care se presupun că sunt adevărate a priori, iar teoremele care pot fi deduse din acele axiome sunt adevărate atunci când se presupune adevărul axiomelor. Din acest punct de vedere, axiomele pot fi considerate „teoreme primitive”, adică acele teoreme care nu sunt derivate de la nimeni altcineva și din care sunt derivate toate celelalte.

Atât axiomele, cât și teoremele, așa cum am spus, afirmă ceva din anumiți termeni. Așa cum axiomele pot fi considerate „teoreme primitive”, care ca atare sunt „nedemonstrabile” (sau în orice caz nedovedite și presupuse a fi adevărate a priori), tot așa dintre toți termenii care apar într-o teorie există unii care rezultatul „nedefinibil” (sau în orice caz nedefinit și presupus a fi cunoscut a priori). Acești termeni se numesc termeni primitivi (sau chiar concepte primitive sau noțiuni primitive ): aceștia sunt acei termeni care nu sunt definiți din niciun alt termen și din care sunt definiți toți ceilalți.

Toate acestea nu înseamnă că există o separare între dovezi și definiții, deoarece aceste două aspecte ale unei teorii sunt strict complementare una cu cealaltă.

O dovadă imediată a acestei complementarități este faptul că adesea unii termeni sunt definiți după ce s-a dovedit existența și teorema unicității. De exemplu, dacă demonstrăm că există un anumit număr cu anumite cerințe, și că acest număr este unic, atunci putem începe să se refere la acesta cu articole și pronume demonstrative (“numărul pe care ...« sau»acel număr că ... "), apoi pentru a simplifica expresiile putem introduce un nume pentru acel termen, obținând astfel o nouă definiție .

Un alt aspect, mai subtil și crucial, al legăturii strânse dintre dovezi și definiții apare atunci când ne întrebăm cum este posibil să plecăm de la „adevăruri nedovedite” și „concepte nedefinite”. Dacă atunci când afirmăm axiomele nu știm despre ce vorbim, ce rost are să spunem ceva? Și cum considerăm adevărat ceea ce spunem? Confruntate cu aceste întrebări, probleme filosofice profunde apar pe baza teoriilor, probleme la care s-a lucrat de secole, dacă nu de milenii.

În istoria filozofiei, mulți au încercat să răspundă la aceste întrebări recurgând la ipotetice facultăți umane capabile să transcende dovada simplă a teoremelor și definiția explicită a termenilor. Aceste facultăți ar fi mai mult sau mai puțin atribuite a ceea ce se numește în mod obișnuit intuiție . Astfel, conceptele primitive ar fi „cunoscute prin intuiție”, iar axiomele ar fi „evidente prin intuiție”. Chiar presupunând că toate acestea pot avea sens, rămâne problema dacă această presupusă facultate pe care am definit-o intuiție este o facultate care derivă din sensul anumitor concepte și dovada anumitor propoziții începând de la experiență sau dacă acele semnificații și acea dovadă sunt deja cunoscut omului într-un mod înnăscut .

De-a lungul secolelor au fost exprimate cele mai variate, conflictuale și chiar confuze opinii cu privire la aceste probleme. O încercare de a ieși dintr-un mod riguros a fost întreprinsă la sfârșitul secolului al XIX-lea (cu lucrările lui Frege, Russell, Wittgenstein etc.), renunțând la speculații vagi de natură metafizică și concentrându-se pe studiul proprietățile sistemelor axiomatice. Din acest studiu a apărut posibilitatea ca conceptele primitive, deși nu sunt definite în mod explicit pornind de la orice alt concept, sunt însă definite implicit „între ele”, pornind tocmai de la sistemul axiomelor.

Conceptul de definiție implicită ar necesita un tratament îndelungat al logicii, dar, ca primă abordare, putem folosi ceva mai mult decât imaginea metaforică, având în vedere că se întâmplă ceva similar cu ceea ce se întâmplă atunci când aveți un sistem de ecuații cu mai multe necunoscute. În acest caz, pornim de la o serie de cantități necunoscute și, deși sunt necunoscute, se declară o serie de relații între ele. Niciuna dintre aceste relații, în sine, nu este suficientă pentru a determina valoarea necunoscutelor, totuși, dacă aceste relații sunt „suficiente” în număr, atunci când sunt luate toate împreună, ele determină în mod unic valoarea necunoscutelor. În cazul definițiilor implicite, plecăm de la un set de concepte care urmează a fi definite și - chiar și fără a cunoaște semnificația acestor concepte - declarăm propoziții care le conțin. Când aceste propoziții ating un număr „suficient”, devine posibil să se deducă teoreme din acele propoziții, astfel încât pentru aceste concepte se poate spune ce este „adevărat” și ce este „fals”. Prin urmare, atunci când afirmațiile referitoare la aceste concepte și presupuse a fi adevărate a priori devin „suficiente”, două circumstanțe apar simultan:

  • pornind de la aceste afirmații este posibil să se deducă teoreme;
  • astfel de teoreme enunță ceva din termenii primitivi sau produc dovezi din care pot fi definite alte concepte derivate din cele primitive și apoi concepte derivate din cele derivate și așa mai departe.

Când apar aceste circumstanțe, spunem, de fapt, că acest sistem de afirmații constituie un sistem axiomatic . Prin urmare, sistemul axiomatic:

  • pe de o parte, este caracterizat ca un sistem de propoziții din care este posibil să se demonstreze teoreme cu privire la anumiți termeni și termenii rezultați,
  • dar pe de altă parte, tocmai pentru că pornind de la acel sistem de propoziții devine posibil să spunem ce este „adevărat” sau „fals” dintre acești termeni, trebuie să admitem, de asemenea, că atunci când acel sistem de propoziții devine „suficient” pentru a demonstra teoremele, atunci chiar și termenii primitivi, cei care nu au fost definiți în mod explicit, se dovedesc a fi cumva „cunoscuți”; și întrucât nu a fost dată o definiție explicită, se spune că a fost dată o definiție implicită , care se dovedește a fi conținută „intrinsec” în sistemul axiomelor.

Aici putem vedea clar legătura strânsă dintre dovezi și definiții: sistemul axiomelor este astfel deoarece pornind de la acesta putem demonstra unele teoreme despre termenii primitivi și derivații lor, dar dacă este posibil să se demonstreze teoremele este tocmai pentru că - în unele mod „implicit” - acele axiome definesc acești termeni.

De exemplu, dacă plecăm de la un set de termeni primitivi și necunoscuți, cum ar fi „punct”, „linie” etc. și declarăm o serie de afirmații din care este posibil să derivăm că „suma unghiurilor interne ale unui triunghi este un unghi plat ", se spune ceva" adevărat "despre concepte care nu au fost niciodată definite în mod explicit, totuși faptul că pornind de la aceste axiome a devenit posibil să se spună ceea ce este" adevărat "despre aceste concepte înseamnă că într-un fel axiomele conțin ceea ce metafizica tradițională ar defini „esența” acestor concepte.

fundal

Schiță de matematică
Această secțiune despre subiectul matematicii este doar o schiță . Contribuiți la îmbunătățirea acestuia în conformitate cu convențiile Wikipedia . Urmați sfaturile de proiectare de referință .

Prima încercare de axiomatizare datează din Elementele lui Euclid (sec. IV-III î.Hr.) și privește geometria plană . Euclid oferă 5 noțiuni comune și cinci postulate , din care derivă apoi alte teoreme. În aceeași perioadă, Aristotel oferă primul cadru formal al logicii în Organon , colectând diverse axiome de la Platon și de la alți filozofi anteriori. În matematică, însă, prima încercare de axiomatizare a venit în 1888 , când Richard Dedekind a propus un set de axiome pe numere, [1] . În anul următor, Giuseppe Peano reia lucrarea lui Dedekind și își expune axiomele asupra aritmeticii:

  1. Există un număr natural, 0 (sau 1)
  2. Fiecare număr natural are un număr natural succesor
  3. Numere diferite au succesori diferiți
  4. 0 (sau 1) nu este succesorul unui număr natural
  5. Fiecare set de numere naturale care conține zero (sau unul) și succesorul fiecăruia dintre elementele sale coincide cu întregul set de numere naturale (axioma de inducție)

Luăm 0 sau 1 în funcție de modelul numerelor naturale dorite. Peano lasă în urmă axiomele logice care îi permit să opereze cu logică simbolică. Unele noțiuni comune sunt implicate:

  1. Un număr poate fi unic și mai mic, mai mare sau egal cu un alt număr (relații de sortare)
  2. Dat fiind două numere m și n , cu m > n , procedând prin succesorii lui n ajungem la m într-un număr finit de pași (continuitatea numerelor)

Deja Gottlob Frege cu lucrarea sa Die Grundlagen der Arithmetik [2] din 1884 și ulterior Grundsetze der Arithmetik , au încercat să reducă aritmetica la logică. Bertrand Russell și-a subminat încercarea descoperind paradoxul cu același nume al lui Russell în 1901 și, pentru a remedia acest lucru, a elaborat Principia Mathematica cu Alfred North Whitehead . În 1899 , David Hilbert a reformulat axiomele geometriei, făcând de asemenea explicite noțiunile implicite lăsate implicate de Euclid: de exemplu, Euclid nu spune că există cel puțin trei puncte în plan și că există cel puțin un punct pe plan care nu aparține liniei etc. Grundlagen der Geometrie (Fundamentele geometriei) constă din

  1. Trei obiecte, care lasă nedefinit:
    punct
    linia
    podea
  2. Șase relații, întotdeauna nedeterminate
    Fie pe
    Fii la mijloc
    A fi in
    Fii egal cu
    Fii paralel cu
    Fii continuu
  3. Douăzeci și una de axiome (numite axiome Hilbert )
    opt rapoarte de incidență
    patru proprietăți de sortare
    cinci relații de congruență
    trei relații de continuitate
    un postulat pe paralelism echivalent cu postulatul paralel al lui Euclid

În Congresul din 1900, Hilbert a pus câteva probleme , inclusiv dovada consistenței axiomelor matematicii și axiomatizării fizicii. În 1931, Kurt Gödel a demonstrat că orice sistem axiomatic echivalent cu axiomele lui Peano era incomplet și că, dacă un astfel de sistem este consecvent, nu poate fi folosit pentru a-și dovedi propria consistență. ( Teorema incompletitudinii lui Gödel ).

Notă

  1. ^ Richard Dedekind , 1890, „Scrisoare către Keferstein”. pp. 98-103.
  2. ^ Die Grundlagen der Arithmetik: eine logisch-mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl, Breslau, 1884

Bibliografie

Elemente conexe

Controlul autorității Tezaur BNCF 17846
Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică
Adus de la „ https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Axisystem&oldid=111738866 ”