Axioma logică

Axiomele logice sunt un set (infinit) de axiome ale unei teorii de prim ordin care formalizează toate deducțiile logice care se fac de obicei în demonstrațiile matematice. Există mai multe modalități de a realiza acest tip de formalizare. Una dintre acestea este dată de următorul set de axiome:

Pentru fiecare formulă bine formată ${\mathcal {A}},{\mathcal {B}},{\mathcal {C}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}, {\ mathcal {B}}, {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}, {\ mathcal {B}}, {\ mathcal {C}}}$ închiderile universale ale wff - urilor sunt axiome logice:
(L1) ${\mathcal {A}}\to ({\mathcal {B}}\to {\mathcal {A}})$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} \ to ({\ mathcal {B}} \ to {\ mathcal {A}})}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} \ to ({\ mathcal {B}} \ to {\ mathcal {A}})}$
(L2) $({\mathcal {A}}\to ({\mathcal {B}}\to {\mathcal {C}}))\to (({\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}})\to ({\mathcal {A}}\to {\mathcal {C}}))$ ${\ displaystyle ({\ mathcal {A}} \ to ({\ mathcal {B}} \ to {\ mathcal {C}})) \ to (({\ mathcal {A}} \ to {\ mathcal {B }}) \ to ({\ mathcal {A}} \ to {\ mathcal {C}}))}$ ${\ displaystyle ({\ mathcal {A}} \ to ({\ mathcal {B}} \ to {\ mathcal {C}})) \ to (({\ mathcal {A}} \ to {\ mathcal {B }}) \ to ({\ mathcal {A}} \ to {\ mathcal {C}}))}$
(L3) $(\neg {\mathcal {A}}\to \neg {\mathcal {B}})\to ({\mathcal {B}}\to {\mathcal {A}})$ ${\ displaystyle (\ neg {\ mathcal {A}} \ to \ neg {\ mathcal {B}}) \ to ({\ mathcal {B}} \ to {\ mathcal {A}})}$ ${\ displaystyle (\ neg {\ mathcal {A}} \ to \ neg {\ mathcal {B}}) \ to ({\ mathcal {B}} \ to {\ mathcal {A}})}$
(L4) $(\forall x{\mathcal {A}})\to {\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle (\ forall x {\ mathcal {A}}) \ to {\ mathcal {A}}}$ ${\ displaystyle (\ forall x {\ mathcal {A}}) \ to {\ mathcal {A}}}$ pentru fiecare wff ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal A}$ in care $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ nu este o variabilă gratuită
(L5) $(\forall x{\mathcal {A}}(x))\to {\mathcal {A}}(t)$ ${\ displaystyle (\ forall x {\ mathcal {A}} (x)) \ to {\ mathcal {A}} (t)}$ ${\ displaystyle (\ forall x {\ mathcal {A}} (x)) \ to {\ mathcal {A}} (t)}$ pentru fiecare wff ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal A}$ și pentru fiecare termen $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ care nu conține o variabilă gratuită de ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal A}$
(L6) $(\forall x({\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}))\to ((\forall x{\mathcal {A}})\to {\mathcal {B}})$ ${\ displaystyle (\ forall x ({\ mathcal {A}} \ to {\ mathcal {B}})) \ to ((\ forall x {\ mathcal {A}}) \ to {\ mathcal {B}} )}}$ ${\ displaystyle (\ forall x ({\ mathcal {A}} \ to {\ mathcal {B}})) \ to ((\ forall x {\ mathcal {A}}) \ to {\ mathcal {B}} )}}$ pentru fiecare wff ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal A}$ in care $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ nu este variabilă gratuită.

Rețineți că acestea sunt modele de axiome , fiecare dintre ele având instanțe infinit diferite.

Setul de axiome definite mai sus este valabil pentru un limbaj de prim ordin dotat cu simboluri pentru conectivități logice și cuantificatori " $\to$ ${\ displaystyle \ to}$ $\ la$ "," $\neg$ ${\ displaystyle \ neg}$ $\ neg$ " Și " $\forall$ ${\ displaystyle \ forall}$ $\ pentru toți$ ". Este suficient să se formalizeze într-o teorie de ordinul întâi toate tipurile de deducții logice dacă teoria este dotată cu singura regulă de inferență numită modus ponens care permite, având în vedere wff ${\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} \ to {\ mathcal {B}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} \ to {\ mathcal {B}}}$ Și ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal A}$ a deriva wff ${\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal B}$ . Teorema completitudinii pentru calcularea predicatelor asigură faptul că într-o teorie de ordinul întâi dotată cu aceste axiome, pot fi deduse toate wff-urile valabile din punct de vedere logic .

Dacă limbajul de primă ordine include simboluri pentru celelalte conectivități și cuantificatoare, este necesar să adăugați axiome care conectează noile conectivități și cuantificatoare cu cele utilizate până acum:

(L7) $\exists x{\mathcal {A}}\leftrightarrow \neg (\forall x\neg {\mathcal {A}})$ ${\ displaystyle \ există x {\ mathcal {A}} \ leftrightarrow \ neg (\ forall x \ neg {\ mathcal {A}})}$ ${\ displaystyle \ există x {\ mathcal {A}} \ leftrightarrow \ neg (\ forall x \ neg {\ mathcal {A}})}$
(L8) $({\mathcal {A}}\land {\mathcal {B}})\leftrightarrow (\neg ({\mathcal {A}}\to (\neg {\mathcal {B}})))$ ${\ displaystyle ({\ mathcal {A}} \ land {\ mathcal {B}}) \ leftrightarrow (\ neg ({\ mathcal {A}} \ to (\ neg {\ mathcal {B}})))}$ ${\ displaystyle ({\ mathcal {A}} \ land {\ mathcal {B}}) \ leftrightarrow (\ neg ({\ mathcal {A}} \ to (\ neg {\ mathcal {B}})))}$
(L9) $({\mathcal {A}}\lor {\mathcal {B}})\leftrightarrow ((\neg {\mathcal {A}})\to {\mathcal {B}})$ ${\ displaystyle ({\ mathcal {A}} \ lor {\ mathcal {B}}) \ leftrightarrow ((\ neg {\ mathcal {A}}) \ to {\ mathcal {B}})}$ ${\ displaystyle ({\ mathcal {A}} \ lor {\ mathcal {B}}) \ leftrightarrow ((\ neg {\ mathcal {A}}) \ to {\ mathcal {B}})}$

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică