Legea valorificării

Capitalizarea este operația prin care se calculează valoarea la un anumit moment viitor a unui capital disponibil în prezent. Procesul opus, adică evaluarea unei sume viitoare în momentul prezent, se numește reducere .

Din punct de vedere matematic, o lege financiară a valorificării este orice funcție a timpului care permite determinarea, având în vedere un capital inițial C, valoarea corespunzătoare a sumei M (t) la un moment generic viitor t:

M(t)\ =F(C,t)

{\ displaystyle M (t) \ = F (C, t)}

M (t) \ = F (C, t)

pentru care sunt valabile următoarele proprietăți:

$F(C,t)\$ ${\ displaystyle F (C, t) \}$ $F (C, t) \$ trebuie definit pentru $C\geq 0$ ${\ displaystyle C \ geq 0}$ $C \ geq 0$ si pentru $0\leq t\leq T$ ${\ displaystyle 0 \ leq t \ leq T}$ $0 \ leq t \ leq T$ ;
$F(0,t)\ =0,\ \forall \ t$ ${\ displaystyle F (0, t) \ = 0, \ \ forall \ t}$ $F (0, t) \ = 0, \ \ forall \ t$ ;
$F(C,0)=C\$ ${\ displaystyle F (C, 0) = C \}$ $F (C, 0) = C \$ ;
F este o funcție monotonă care nu descrește:
1. $C_{2}>C_{1}\ \Rightarrow F(C_{2},t)\geq F(C_{1},t)$ ${\ displaystyle C_ {2}> C_ {1} \ \ Rightarrow F (C_ {2}, t) \ geq F (C_ {1}, t)}$ $C_ {2}> C_ {1} \ \ Rightarrow F (C_ {2}, t) \ geq F (C_ {1}, t)$ ;
2. $t_{2}>t_{1}\ \Rightarrow \ F(C,t_{2})\geq F(C,t_{1})$ ${\ displaystyle t_ {2}> t_ {1} \ \ Rightarrow \ F (C, t_ {2}) \ geq F (C, t_ {1})}$ $t_ {2}> t_ {1} \ \ Rightarrow \ F (C, t_ {2}) \ geq F (C, t_ {1})$ ;
$F(C,t)=CF(1,t),\ \forall \ t$ ${\ displaystyle F (C, t) = CF (1, t), \ \ forall \ t}$ $F (C, t) = CF (1, t), \ \ forall \ t$

Rețineți că proprietatea 2 ar putea fi omisă, deoarece poate fi dedusă din 5. Cu toate acestea, trebuie spus că aceasta din urmă nu este întotdeauna satisfăcută în practică, de unde și necesitatea de a specifica 2 independent.

Proprietatea 5 este totuși presupusă a fi adevărată în axiomatizarea matematică, deoarece simplifică și face într-un anumit sens armonios studiul unei legi financiare date. Izolând capitalul C de restul funcției, de fapt, putem studia o singură lege F (1, t), în care se presupune un capital unitar, aplicându-i apoi factorul C, ca un coeficient de proporționalitate , obținându-se astfel tendința legii pentru capitalul respectiv.

Este obișnuit să se pună în acest sens

f(t)=F(1,t)\

{\ displaystyle f (t) = F (1, t) \}

f (t) = F (1, t) \

și formalizează legea valorificării în formă

M(t)=C\ f(t)\

{\ displaystyle M (t) = C \ f (t) \}

M (t) = C \ f (t) \

La funcție $f(t)\$ ${\ displaystyle f (t) \}$ $f (t) \$ se dă numele factorului ascendent .

Pe baza postulatelor enunțate, se deduc următoarele proprietăți pentru factorul ascendent:

$f(t)\$ ${\ displaystyle f (t) \}$ $f (t) \$ este definit pentru $0\leq t\leq T$ ${\ displaystyle 0 \ leq t \ leq T}$ $0 \ leq t \ leq T$ ;
$f(0)=1\$ ${\ displaystyle f (0) = 1 \}$ $f (0) = 1 \$ ;
$f(t)\$ ${\ displaystyle f (t) \}$ $f (t) \$ este monoton și nu scade, prin urmare, dacă se diferențiază, vom avea: $f^{'}(t)\geq 0$ ${\ displaystyle f ^ {'} (t) \ geq 0}$ $f ^ {{'}} (t) \ geq 0$

Regimuri financiare

O lege a valorificării este de obicei asociată cu un regim financiar , tocmai prin acest termen însemnând o lege financiară care aplică un anumit factor de sumă.

Clasele de funcții utilizate

În majoritatea cazurilor tratate în practică, sunt recunoscute trei familii de funcții ale factorului ascendent :

Funcții afine

Regimul financiar cu dobândă simplă se bazează pe funcțiile conexe și au forma:

f(t)=1+ht\ (h\geq 0)

{\ displaystyle f (t) = 1 + ht \ (h \ geq 0)}

f (t) = 1 + ht \ (h \ geq 0)

.

Graficul acestei funcții este o linie dreaptă situată în primul cadran, cu coeficient unghiular h și ordonată 1 cu t = 0.

$f\$ ${\ displaystyle f \}$ $f \$ este deci o funcție afină a t.

Funcții exponențiale

Regimul financiar cu dobândă compusă se bazează pe funcțiile exponențiale.

Funcțiile de acest tip au forma:

f(t)=e^{ht}\ (h\geq 0)

{\ displaystyle f (t) = e ^ {ht} \ (h \ geq 0)}

f (t) = e ^ {{ht}} \ (h \ geq 0)

.

Graficul se află în întregime în primul cadran, cu ordonată 1 pentru t = 0.

Funcții hiperbolice

Regimul financiar al dobânzii anticipate se bazează pe funcțiile hiperbolice și au forma:

f(t)={\frac {1}{1-ht}}\ (h\geq 0)

{\ displaystyle f (t) = {\ frac {1} {1-ht}} \ (h \ geq 0)}

f (t) = {\ frac {1} {1-ht}} \ (h \ geq 0)

.

Graficul acestei clase de funcții este o ramură de hiperbolă situată în primul cadran, cu ordonată 1 pentru t = 0.

Spre deosebire de funcțiile anterioare, are ca limitare, sub pedeapsa pierderii atât a semnificației matematice, cât și a celor financiare, respectarea condiției:

1-ht\ >0

{\ displaystyle 1-ht \> 0}

1-ht \> 0

, de la care

0\leq t<{\frac {1}{h}}

{\ displaystyle 0 \ leq t <{\ frac {1} {h}}}

0 \ leq t <{\ frac {1} {h}}

.

Pentru a înțelege semnificația h, care este legată de rata dobânzii unitare, să ne reamintim pe scurt semnificația ratei dobânzii și a ratei de actualizare .

Plecând de la definiția legii date de mai sus, aceasta definește dobânda I, maturizată la funcția t (și astfel t), diferența dintre montantul acumulat în acel moment și inițialul de capital :

I(t)=M(t)-C\

{\ displaystyle I (t) = M (t) -C \}

I (t) = M (t) -C \

.

Cu toate acestea, fiind: $M(t)=C\ f(t)\$ ${\ displaystyle M (t) = C \ f (t) \}$ $M (t) = C \ f (t) \$ , poti sa scrii:

I(t)=C\ f(t)-C\ =C\left(f(t)-1\right)

{\ displaystyle I (t) = C \ f (t) -C \ = C \ left (f (t) -1 \ right)}

I (t) = C \ f (t) -C \ = C \ left (f (t) -1 \ right)

Rata dobânzii pe perioadă definește apoi raportul dintre dobânda acumulată la un moment dat t și capitalul inițial C:

i(t)\ ={\frac {I(t)}{C}}={\frac {M(t)}{C}}-1=f(t)-1

{\ displaystyle i (t) \ = {\ frac {I (t)} {C}} = {\ frac {M (t)} {C}} - 1 = f (t) -1}

i (t) \ = {\ frac {I (t)} {C}} = {\ frac {M (t)} {C}} - 1 = f (t) -1

În cele din urmă, dacă substituim t în i (t) cu o perioadă unitară, obținem rata dobânzii unitare :

i=i(1)=f(1)-1\

{\ displaystyle i = i (1) = f (1) -1 \}

i = i (1) = f (1) -1 \

Cu un raționament similar, începând de la formalizarea dată legii actualizării , se definește reducerea D, evaluată în funcție de timpul t, diferența dintre ceea ce va fi capitalul disponibil în acel moment și valoarea sa actuală :

D(t)=C_{f}-Va(t)\

{\ displaystyle D (t) = C_ {f} -Va (t) \}

D (t) = C_ {f} -Va (t) \

Cu toate acestea fiind $Va(t)=C_{f}g(t)\$ ${\ displaystyle Va (t) = C_ {f} g (t) \}$ $Va (t) = C_ {f} g (t) \$ , poti sa scrii:

D(t)=C_{f}-C_{f}g(t)=C_{f}\left(1-g(t)\right)

{\ displaystyle D (t) = C_ {f} -C_ {f} g (t) = C_ {f} \ left (1-g (t) \ right)}

D (t) = C_ {f} -C_ {f} g (t) = C_ {f} \ left (1-g (t) \ right)

sau, în virtutea legilor conjugate :

D(t)=C_{f}-C_{f}g(t)=C_{f}\left(1-{\frac {1}{f(t)}}\right)

{\ displaystyle D (t) = C_ {f} -C_ {f} g (t) = C_ {f} \ left (1 - {\ frac {1} {f (t)}} \ right)}

D (t) = C_ {f} -C_ {f} g (t) = C_ {f} \ left (1 - {\ frac {1} {f (t)}} \ right)

Rata de actualizare a perioadei este apoi definită ca raportul dintre actualizarea calculată astăzi în raport cu timpul viitor de disponibilitate a capitalului viitor $C_{f}\$ ${\ displaystyle C_ {f} \}$ $C_ {f} \$ (deci funcția lui t):

d(t)\ ={\frac {D(t)}{C_{f}}}={\frac {C_{f}[1-g(t)]}{C_{f}}}=1-g(t)=1-{\frac {1}{f(t)}}

{\ displaystyle d (t) \ = {\ frac {D (t)} {C_ {f}}} = {\ frac {C_ {f} [1-g (t)]} {C_ {f}}} = 1-g (t) = 1 - {\ frac {1} {f (t)}}}

d (t) \ = {\ frac {D (t)} {C_ {f}}} = {\ frac {C_ {f} [1-g (t)]} {C_ {f}}} = 1- g (t) = 1 - {\ frac {1} {f (t)}}

În cele din urmă, dacă înlocuiți la in $d(t)\$ ${\ displaystyle d (t) \}$ $d (t) \$ o perioadă unitară, se obține rata de actualizare unitară :

d=d(1)=1-{\frac {1}{f(1)}}\

{\ displaystyle d = d (1) = 1 - {\ frac {1} {f (1)}} \}

d = d (1) = 1 - {\ frac {1} {f (1)}} \

Să analizăm acum pe scurt cele trei regimuri financiare menționate mai sus.

Interes simplu

Regimul financiar cu dobândă simplă este unul în care dobânda I crește liniar cu timpul t, conform unui factor de proporționalitate constând din produsul capitalului inițial C și a ratei dobânzii unitare i. În simboluri:

I(t)=Cit\

{\ displaystyle I (t) = Cit \}

I (t) = Cit \

Amintind că relația este valabilă pentru coloana M $M=C+I(t)\$ ${\ displaystyle M = C + I (t) \}$ $M = C + I (t) \$ , prin urmare, putem scrie:

M(t)=C(1+it)\

{\ displaystyle M (t) = C (1 + it) \}

M (t) = C (1 + it) \

Prin urmare, pentru acest regim financiar, factorul de sumă este reprezentat de expresia:

f(t)=1+it\

{\ displaystyle f (t) = 1 + it \}

f (t) = 1 + it \

Interes compus

În regimul financiar cu dobânzi compuse se consideră că, la sfârșitul fiecărei perioade, dobânda acumulată în perioada respectivă trebuie adăugată principalului, pentru a constitui astfel un nou capital pe care să se calculeze dobânda în perioada ulterioară.

Având în vedere că suma este suma capitalului și a dobânzii acumulate, putem spune că în regimul dobânzii compuse suma la momentul t este luată ca capital nou pentru perioada următoare.

Procedând așa cum este indicat pentru mai multe perioade, este posibil să se obțină formula care descrie acest regim.

Presupunem fiecare perioadă a duratei unității. La sfârșitul primei perioade vom avea:

M(1)=C(1+i)\

{\ displaystyle M (1) = C (1 + i) \}

M (1) = C (1 + i) \

la sfârșitul celei de-a doua perioade vom avea:

M(2)=M(1)(1+i)=C(1+i)^{2}\

{\ displaystyle M (2) = M (1) (1 + i) = C (1 + i) ^ {2} \}

M (2) = M (1) (1 + i) = C (1 + i) ^ {2} \

si asa mai departe. În general, la sfârșitul perioadei a noua vom avea:

M(n)=C(1+i)^{n}\

{\ displaystyle M (n) = C (1 + i) ^ {n} \}

M (n) = C (1 + i) ^ {n} \

.

Cu alte cuvinte, într-un regim de capitalizare compus, se poate afirma că suma unui capital (C) disponibil la momentul t poate fi definită ca suma sumelor unice din perioada unitară. Dacă vrem să calculăm, pentru acest regim, suma și dobânda pe perioade care nu sunt întregi, există două baze pentru evaluare:

convenția liniară ;
convenția exponențială ;

pentru a căror discuție, vă rugăm să consultați elementele specifice enumerate.

Dobânda în avans

Regimul financiar al dobânzilor anticipate prevede că dobânzile care decurg din investiția unui capital C, care poate fi returnat societății la o dată viitoare predeterminată, este plătită în avans, adică la aceeași dată de activare a operațiunii.

Mai mult, dobânda plătită trebuie calculată cu o lege a proporționalității directe cu durata operațiunii și cu capitalul investit, conform unui coeficient de proporționalitate egal cu rata de actualizare unitară d.

Matematic, acest lucru se traduce prin relația:

D=Mdt\

{\ displaystyle D = Mdt \}

D = Mdt \

Calculul dobânzii de plătit în avans, presupunând suma finală M (valoarea nominală a garanției), rata de actualizare și durata operațiunii sunt cunoscute, este imediat:

D=Mdt\

{\ displaystyle D = Mdt \}

D = Mdt \

Legea matematică care descrie factorul vertical al acestei operații este de tip hiperbolic.

De fapt, fiind capitalul inițial efectiv:

C=M-D\

{\ displaystyle C = MD \}

C = M-D \

avem:

C=M-D=M-Mdt=M(1-dt)\

{\ displaystyle C = MD = M-Mdt = M (1-dt) \}

C = M-D = M-Mdt = M (1-dt) \

de la care:

M=C{\frac {1}{1-dt}}

{\ displaystyle M = C {\ frac {1} {1-dt}}}

M = C {\ frac {1} {1-dt}}

.

Alte relații, utile pentru rezolvarea problemelor în care sunt cunoscuți alți parametri decât t și M, sunt:

$d={\frac {D(1)}{M(1)}}={\frac {M(1)-C}{M(1)}}$ ${\ displaystyle d = {\ frac {D (1)} {M (1)}} = {\ frac {M (1) -C} {M (1)}}}$ $d = {\ frac {D (1)} {M (1)}} = {\ frac {M (1) -C} {M (1)}}$ ;
$dM(1)=M(1)-C\$ ${\ displaystyle dM (1) = M (1) -C \}$ $dM (1) = M (1) -C \$ ;
$1-d={\frac {C}{M(1)}}$ ${\ displaystyle 1-d = {\ frac {C} {M (1)}}}$ $1-d = {\ frac {C} {M (1)}}$ .

Dorind să calculăm rata dobânzii aplicată în operațiune, aplicăm următoarea formulă:

i={\frac {D(1)}{C}}={\frac {dM(1)}{C}}={\frac {d}{1-d}}

{\ displaystyle i = {\ frac {D (1)} {C}} = {\ frac {dM (1)} {C}} = {\ frac {d} {1-d}}}

i = {\ frac {D (1)} {C}} = {\ frac {dM (1)} {C}} = {\ frac {d} {1-d}}

Elemente conexe

linkuri externe

Calcul de capitalizare simplă sau compusă , pe calcoliecalcoli.com .