Matricea probabilității de tranziție

Matricea de tranziție sau matricea Markov pentru un proces discret Markov este matricea generată de probabilitățile de tranziție în k pași:

$\mathbf {P} _{n}^{(k)}:={\begin{bmatrix}P_{0,0}^{n,k}&\cdots &P_{0,N}^{n,k}\\\vdots &\ddots &\vdots \\P_{N,0}^{n,k}&\cdots &P_{N,N}^{n,k}\end{bmatrix}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P} _ {n} ^ {(k)}: = {\ begin {bmatrix} P_ {0,0} ^ {n, k} & \ cdots & P_ {0, N} ^ { n, k} \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ P_ {N, 0} ^ {n, k} & \ cdots & P_ {N, N} ^ {n, k} \ end {bmatrix}} }$ $\ mathbf {P} _ {n} ^ {(k)}: = {\ begin {bmatrix} P_ {0,0} ^ {n, k} & \ cdots & P_ {0, N} ^ {n, k } \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ P_ {N, 0} ^ {n, k} & \ cdots & P_ {N, N} ^ {n, k} \ end {bmatrix}}$

Unde N este cardinalitatea setului de stări și n este instantul curent. Prin urmare, constituie o variantă a matricei de adiacență pentru grafice simple.

Proprietate

Proprietățile matricilor de probabilitate de tranziție derivă direct din natura elementelor care le compun. De fapt, observând că elementele matricei sunt probabilități, ele trebuie să aibă o valoare cuprinsă între 0 și 1. Mai mult, gândindu-se la semnificația fiecărui element și la faptul că un lanț Markov trebuie să fie întotdeauna într-una dintre stările fezabile, Rezultate este clar că suma, făcută pe statele de sosire, a probabilităților de tranziție de la o stare i, în orice număr k de pași, trebuie să fie unitară:

$\sum _{j\in S}P_{i,j}^{n,k}=1$ ${\ displaystyle \ sum _ {j \ in S} P_ {i, j} ^ {n, k} = 1}$ $\ sum _ {{j \ in S}} P _ {{i, j}} ^ {{n, k}} = 1$

unde cu $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ a fost indicat setul de stări fezabile pentru lanțul Markov. Prin urmare, matricea probabilității de tranziție se dovedește a fi o matrice stocastică , adică o matrice în care suma elementelor fiecărei coloane este unitară.

Un alt rezultat foarte important este faptul că matricea probabilității de tranziție în k trepte poate fi ușor calculată din cele dintr-o singură etapă prin producerea matricilor de probabilitate de tranziție într-un singur pas:

$\mathbf {P} _{n}^{(k)}=\prod _{l=1}^{k}\mathbf {P} _{n+l}^{(1)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P} _ {n} ^ {(k)} = \ prod _ {l = 1} ^ {k} \ mathbf {P} _ {n + l} ^ {(1)}}$ ${\ mathbf {P}} _ {n} ^ {{(k)}} = \ prod _ {{l = 1}} ^ {k} {\ mathbf {P}} _ {{n + l}} ^ {{(1)}}$

În cazul simplificat al proceselor omogene de Markov , în care dependența de timp dispare, matricea de probabilitate de tranziție în k trepte este obținută ca o creștere la puterea k-a matricei de probabilitate de tranziție într-un singur pas.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică