Modelul Hubbard

Modelul lui Hubbard este un model aproximativ utilizat, în special în fizica în stare solidă , pentru a descrie tranziția dintre conductor și izolator . Modelul, numit după John Hubbard , este cel mai simplu dintre modele pentru a descrie particulele care interacționează într-o rețea de cristal , cu doar doi termeni în hamiltonien (a se vedea exemplele de mai jos): un termen cinetic pentru efectul tunel ( sărituri ) de particule între rețea site-uri și un termen potențial care descrie interacțiunea pe site. Particulele pot fi fie fermioni , ca în lucrarea originală a lui Hubbard, fie bosoni , caz în care modelul este numit „ modelul Bose-Hubbard ”.

Modelul lui Hubbard este o bună aproximare pentru particulele cu potențial periodic la o temperatură suficient de scăzută, astfel încât toate particulele se află în banda inferioară a modelului Bloch , în cazul în care interacțiunile pe termen lung între particule pot fi neglijate. În cazul în care sunt incluse interacțiunile dintre particule la diferite situri cristaline, modelul este numit și „modelul Hubbard extins”.

Modelul a fost inițial propus pentru a descrie electronii din solide care suscită un interes deosebit ca model pentru superconductivitatea la temperaturi ridicate. Mai recent, modelul Bose-Hubbard a fost folosit pentru a descrie comportamentul atomilor ultracold prinși în rețelele optice .

În ceea ce privește electronii din solide, modelul lui Hubbard poate fi considerat o îmbunătățire a modelului de legare Tight , care include doar termenul de salt. Rezultatele obținute în cazul interacțiunilor puternice pot fi calitativ diferite în ceea ce privește modelul de legare strânsă, și izolatorii Mott pot fi de asemenea descriși.

Teorie

Modelul lui Hubbard se bazează pe modelul de legare strânsă a fizicii în stare solidă. În aproximarea de legare strânsă, electronii ocupă orbitalii obișnuiți ai constituenților lor atomici și astfel „sar” spre ceilalți atomi. Matematic acest fapt este reprezentat de o „integrală de transfer” între atomii vecini; acest fenomen se află deci la originea structurii benzii de electroni în solidele cristaline . Interacțiunea dintre electroni nu este luată în considerare, ca și în alte teorii pentru benzi.

Modelul lui Hubbard, pe de altă parte, formulat în termeni de integrale de transfer, include și așa-numita „respingere la fața locului”, provenind din repulsia electrostatică între electroni. Acest lucru duce la o competiție între integralul de transfer, care este o funcție a pozițiilor relative ale atomilor vecini, și repulsia, care nu este.

Modelul poate explica apoi tranziția metal -izolator în anumiți oxizi de metal de tranziție atunci când este încălzit ca efect al creșterii distanței dintre atomii vecini ( expansiune termică ), ceea ce reduce integrala de transfer până când domină repulsia.

În mod similar, acest lucru poate explica tranziția de la conductor la izolator în sisteme precum piroclori de pământuri rare datorită creșterii numărului atomic de pământuri rare, datorită creșterii parametrului de rețea (în unele cazuri, de asemenea, unghiul dintre atomi se poate modifica ), care schimbă relația dintre integralul de transfer și respingerea site-ului.

Exemplu: lanț unidimensional de atomi de hidrogen

Atomul de hidrogen are un singur electron, în așa-numitul orbital s , care poate avea fie un spin "în sus" ( $\uparrow$ ${\ displaystyle \ uparrow}$ $\ Săgeata în sus$ ) sau rotiți „în jos” ( $\downarrow$ ${\ displaystyle \ downarrow}$ $\ sageata in jos$ ). Acest orbital poate fi ocupat de maximum doi electroni, unul rotind „în sus” și celălalt „în jos” ( principiul de excludere Pauli ).

Acum luați în considerare un lanț unidimensional de atomi. Conform teoriei banda, s orbitali sunt de așteptat să formeze o bandă continuă, jumătate plin. Prin urmare, lanțul unidimensional ar trebui să fie un conductor.

Cu toate acestea, luați în considerare cazul în care distanța dintre atomi este crescută treptat; la un moment dat, se așteaptă ca lanțul să devină un izolator.

În ceea ce privește modelul lui Hubbard, Hamiltonianul este alcătuit din doi termeni. Primul este integralul de transfer, notat cu litera t , care reprezintă energia cinetică a electronului „sărind” între atomi. Al doilea termen este repulsie, de obicei indicată de litera U , care reprezintă energia potențială datorată încărcării electronului.

Scris în a doua notație de cuantificare , hamiltonienul are forma

H=-t\sum _{<i,j>,\sigma }c_{i,\sigma }^{\dagger }c_{j,\sigma }^{}+U\sum _{i=1}^{N}n_{i\uparrow }n_{i\downarrow }

{\ displaystyle H = -t \ sum _ {<i, j>, \ sigma} c_ {i, \ sigma} ^ {\ dagger} c_ {j, \ sigma} ^ {} + U \ sum _ {i = 1} ^ {N} n_ {i \ uparrow} n_ {i \ downarrow}}

{\ displaystyle H = -t \ sum _ {<i, j>, \ sigma} c_ {i, \ sigma} ^ {\ dagger} c_ {j, \ sigma} ^ {} + U \ sum _ {i = 1} ^ {N} n_ {i \ uparrow} n_ {i \ downarrow}}

unde este $<i,j>$ ${\ displaystyle <i, j>}$ ${\ displaystyle <i, j>}$ indică perechile primilor vecini.

Dacă considerăm hamiltonienul fără cel de-al doilea termen, obținem formula simplă de „legare strânsă”. Când este inclus al doilea termen, se obține un model mai realist care ne permite să prezicem tranziția de la conductor la izolator atunci când distanța interatomică este mărită. În măsura în care această distanță este infinită (sau dacă primul termen este ignorat), lanțul devine un simplu set de momente magnetice izolate. În plus, atunci când există o mică contribuție din primul termen, interacțiunile de schimb dintre momentele magnetice pot rezulta din suprapunerea funcțiilor de undă pe siturile atomice din apropiere; acest efect poate duce la diferite corelații magnetice, cum ar fi feromagnetismul sau antiferromagnetismul , în funcție de soluția exactă a modelului.

Sisteme mai complexe

În timp ce modelul lui Hubbard este util pentru descrierea sistemelor simple, cum ar fi lanțul unidimensional de atomi de hidrogen, în sistemele mai complexe pot exista alte efecte pe care modelul nu le ia în considerare. În general, izolatoarele pot fi clasificate în izolatoare Mott și izolatoare cu transfer de sarcină .

De exemplu, luați în considerare următoarea descriere a unui izolator Mott:

(Ni ²⁺ O ^2- ) ₂ -> Ni ³⁺ O ^2- + Ni ¹⁺ O ^2-

Acest lucru poate fi văzut în mod similar cu modelul lui Hubbard pentru lanțul de atomi de hidrogen, cu un electron care se deplasează de la o celulă la alta; în acest caz interacțiunea dintre celule poate fi descrisă de integralul de transfer.

Cu toate acestea, electronii pot prezenta un alt comportament:

Ni ²⁺ O ^2- -> Ni ¹⁺ O ^1-

Acest efect este cunoscut sub numele de transfer de încărcare și duce la un izolator de transfer de încărcare. Rețineți diferența față de izolatorul Mott, deoarece în acest caz nu există transfer între celule, ci doar în interiorul unei celule.

Aceste efecte sunt prezente în sistemele ionice complexe.

Elemente conexe

linkuri externe

Corelații electronice în benzi de energie îngustă , J. Hubbard, Proc. Roy. Soc. A 276 238 (1963)
Modelul unidimensional Hubbard - O reminiscență de EH Lieb și FY Wu , la arxiv.org .
Teoria Hartree-Fock generalizată și modelul Hubbard de V. Bach, EH Lieb și J. Solovej , pe arxiv.org .
Modelul Hubbard: câteva rezultate riguroase și probleme deschise de EH Lieb , pe arxiv.org .

Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica