Moment (procesare imagine)

În procesarea imaginii și în viziunea artificială, momentul unei imagini , în analogie cu conceptul de moment , este o medie specială a intensității pixelilor care alcătuiesc imaginea.

Într-un sens mai general, funcțiile acestor medii, care se bucură de proprietăți sau caracteristici particulare, sunt numite și momente.

Momente simple

Pentru o funcție continuă bidimensională f ( x , y ) momentul (adesea numit „moment simplu”) de ordine ( p + q ) este definit ca

M_{pq}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }x^{p}y^{q}f(x,y)\,dx\,dy

{\ displaystyle M_ {pq} = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {\ infty} x ^ {p} y ^ {q} f ( x, y) \, dx \, dy}

{\ displaystyle M_ {pq} = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {\ infty} x ^ {p} y ^ {q} f ( x, y) \, dx \, dy}

pentru p , q = 0,1,2, ...

O teoremă a unicității (Papoulis [1991]) afirmă că, dacă f ( x , y ) este continuu în bucăți și are valori diferite de zero numai într-o porțiune finită a planului xy , atunci există momente din fiecare ordine și secvența de momentele ( M _pq ) sunt determinate în mod unic de f ( x , y ). În schimb, ( M _pq ) determină doar f ( x , y ). În practică, funcția poate fi descrisă ca o funcție a momentelor sale de ordin inferior.

Prin adaptarea acestei definiții la o imagine digitală ai cărei pixeli sunt caracterizați de intensitatea I ( x , y ), momentul simplu M _ij este dat de

M_{ij}=\sum _{x}\sum _{y}x^{i}y^{j}I(x,y)

{\ displaystyle M_ {ij} = \ sum _ {x} \ sum _ {y} x ^ {i} y ^ {j} I (x, y)}

{\ displaystyle M_ {ij} = \ sum _ {x} \ sum _ {y} x ^ {i} y ^ {j} I (x, y)}

În unele cazuri, este convenabil să se normalizeze intensitatea în analogie cu o funcție de densitate de probabilitate , adică să se împartă cantitatea M _ij tocmai definită de

\sum _{x}\sum _{y}I(x,y)

{\ displaystyle \ sum _ {x} \ sum _ {y} I (x, y)}

{\ displaystyle \ sum _ {x} \ sum _ {y} I (x, y)}

Exemple

Proprietățile simple ale imaginilor derivate prin momente simple includ:

Zona (pentru imagini binare) sau suma nivelurilor de gri (pentru imaginile în tonuri de gri): M ₀₀
Centroid: { ${\bar {x}},\ {\bar {y}}$ ${\ displaystyle {\ bar {x}}, \ {\ bar {y}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {x}}, \ {\ bar {y}}}$ } = { M ₁₀ / M ₀₀ , M ₀₁ / M ₀₀ }

Momente centrale

Momentul central al unei funcții bidimensionale continue f ( x , y ) de ordine ( p + q ) este definit ca

\mu _{pq}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }(x-{\bar {x}})^{p}(y-{\bar {y}})^{q}f(x,y)\,dx\,dy

{\ displaystyle \ mu _ {pq} = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {\ infty} (x - {\ bar {x}} ) ^ {p} (y - {\ bar {y}}) ^ {q} f (x, y) \, dx \, dy}

{\ displaystyle \ mu _ {pq} = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {\ infty} (x - {\ bar {x}} ) ^ {p} (y - {\ bar {y}}) ^ {q} f (x, y) \, dx \, dy}

in care ${\bar {x}}={\frac {M_{10}}{M_{00}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {x}} = {\ frac {M_ {10}} {M_ {00}}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {x}} = {\ frac {M_ {10}} {M_ {00}}}}$ Și ${\bar {y}}={\frac {M_{01}}{M_{00}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {y}} = {\ frac {M_ {01}} {M_ {00}}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {y}} = {\ frac {M_ {01}} {M_ {00}}}}$ sunt componentele centrului.

Dacă I ( x , y ) este intensitatea unei imagini digitale, momentul său central se calculează ca

\mu _{pq}=\sum _{x}\sum _{y}(x-{\bar {x}})^{p}(y-{\bar {y}})^{q}I(x,y)

{\ displaystyle \ mu _ {pq} = \ sum _ {x} \ sum _ {y} (x - {\ bar {x}}) ^ {p} (y - {\ bar {y}}) ^ { q} I (x, y)}

{\ displaystyle \ mu _ {pq} = \ sum _ {x} \ sum _ {y} (x - {\ bar {x}}) ^ {p} (y - {\ bar {y}}) ^ { q} I (x, y)}

Momentele centrale până la ordinea a treia sunt

\mu _{00}=M_{00},

{\ displaystyle \ mu _ {00} = M_ {00},}

{\ displaystyle \ mu _ {00} = M_ {00},}

\mu _{01}=0,

{\ displaystyle \ mu _ {01} = 0,}

{\ displaystyle \ mu _ {01} = 0,}

\mu _{10}=0,

{\ displaystyle \ mu _ {10} = 0,}

{\ displaystyle \ mu _ {10} = 0,}

\mu _{11}=M_{11}-{\bar {x}}M_{01}=M_{11}-{\bar {y}}M_{10},

{\ displaystyle \ mu _ {11} = M_ {11} - {\ bar {x}} M_ {01} = M_ {11} - {\ bar {y}} M_ {10},}

{\ displaystyle \ mu _ {11} = M_ {11} - {\ bar {x}} M_ {01} = M_ {11} - {\ bar {y}} M_ {10},}

\mu _{20}=M_{20}-{\bar {x}}M_{10},

{\ displaystyle \ mu _ {20} = M_ {20} - {\ bar {x}} M_ {10},}

{\ displaystyle \ mu _ {20} = M_ {20} - {\ bar {x}} M_ {10},}

\mu _{02}=M_{02}-{\bar {y}}M_{01},

{\ displaystyle \ mu _ {02} = M_ {02} - {\ bar {y}} M_ {01},}

{\ displaystyle \ mu _ {02} = M_ {02} - {\ bar {y}} M_ {01},}

\mu _{21}=M_{21}-2{\bar {x}}M_{11}-{\bar {y}}M_{20}+2{\bar {x}}^{2}M_{01},

{\ displaystyle \ mu _ {21} = M_ {21} -2 {\ bar {x}} M_ {11} - {\ bar {y}} M_ {20} +2 {\ bar {x}} ^ { 2} M_ {01},}

{\ displaystyle \ mu _ {21} = M_ {21} -2 {\ bar {x}} M_ {11} - {\ bar {y}} M_ {20} +2 {\ bar {x}} ^ { 2} M_ {01},}

\mu _{12}=M_{12}-2{\bar {y}}M_{11}-{\bar {x}}M_{02}+2{\bar {y}}^{2}M_{10},

{\ displaystyle \ mu _ {12} = M_ {12} -2 {\ bar {y}} M_ {11} - {\ bar {x}} M_ {02} +2 {\ bar {y}} ^ { 2} M_ {10},}

{\ displaystyle \ mu _ {12} = M_ {12} -2 {\ bar {y}} M_ {11} - {\ bar {x}} M_ {02} +2 {\ bar {y}} ^ { 2} M_ {10},}

\mu _{30}=M_{30}-3{\bar {x}}M_{20}+2{\bar {x}}^{2}M_{10},

{\ displaystyle \ mu _ {30} = M_ {30} -3 {\ bar {x}} M_ {20} +2 {\ bar {x}} ^ {2} M_ {10},}

{\ displaystyle \ mu _ {30} = M_ {30} -3 {\ bar {x}} M_ {20} +2 {\ bar {x}} ^ {2} M_ {10},}

\mu _{03}=M_{03}-3{\bar {y}}M_{02}+2{\bar {y}}^{2}M_{01}.

{\ displaystyle \ mu _ {03} = M_ {03} -3 {\ bar {y}} M_ {02} +2 {\ bar {y}} ^ {2} M_ {01}.}

{\ displaystyle \ mu _ {03} = M_ {03} -3 {\ bar {y}} M_ {02} +2 {\ bar {y}} ^ {2} M_ {01}.}

Se poate arăta că:

\mu _{pq}=\sum _{m}^{p}\sum _{n}^{q}{p \choose m}{q \choose n}(-{\bar {x}})^{(p-m)}(-{\bar {y}})^{(q-n)}M_{mn}

{\ displaystyle \ mu _ {pq} = \ sum _ {m} ^ {p} \ sum _ {n} ^ {q} {p \ choose m} {q \ choose n} (- {\ bar {x} }) ^ {(pm)} (- {\ bar {y}}) ^ {(qn)} M_ {mn}}

{\ displaystyle \ mu _ {pq} = \ sum _ {m} ^ {p} \ sum _ {n} ^ {q} {p \ choose m} {q \ choose n} (- {\ bar {x} }) ^ {(pm)} (- {\ bar {y}}) ^ {(qn)} M_ {mn}}

De asemenea, se arată că momentele centrale sunt invariante în ceea ce privește traducerile imaginii

Exemple

Informațiile despre orientarea unei imagini pot fi derivate din momentele centrale de ordinul doi din matricea de covarianță . După ce am definit astfel de momente

\mu '_{20}=\mu _{20}/\mu _{00}=M_{20}/M_{00}-{\bar {x}}^{2}

{\ displaystyle \ mu '_ {20} = \ mu _ {20} / \ mu _ {00} = M_ {20} / M_ {00} - {\ bar {x}} ^ {2}}

{\ displaystyle \ mu '_ {20} = \ mu _ {20} / \ mu _ {00} = M_ {20} / M_ {00} - {\ bar {x}} ^ {2}}

\mu '_{02}=\mu _{02}/\mu _{00}=M_{02}/M_{00}-{\bar {y}}^{2}

{\ displaystyle \ mu '_ {02} = \ mu _ {02} / \ mu _ {00} = M_ {02} / M_ {00} - {\ bar {y}} ^ {2}}

{\ displaystyle \ mu '_ {02} = \ mu _ {02} / \ mu _ {00} = M_ {02} / M_ {00} - {\ bar {y}} ^ {2}}

\mu '_{11}=\mu _{11}/\mu _{00}=M_{11}/M_{00}-{\bar {x}}{\bar {y}}

{\ displaystyle \ mu '_ {11} = \ mu _ {11} / \ mu _ {00} = M_ {11} / M_ {00} - {\ bar {x}} {\ bar {y}}}

{\ displaystyle \ mu '_ {11} = \ mu _ {11} / \ mu _ {00} = M_ {11} / M_ {00} - {\ bar {x}} {\ bar {y}}}

matricea de covarianță a imaginii $I(x,y)$ ${\ displaystyle I (x, y)}$ ${\ displaystyle I (x, y)}$ Și

\operatorname {cov} [I(x,y)]={\begin{bmatrix}\mu '_{20}&\mu '_{11}\\\mu '_{11}&\mu '_{02}\end{bmatrix}}

{\ displaystyle \ operatorname {cov} [I (x, y)] = {\ begin {bmatrix} \ mu '_ {20} & \ mu' _ {11} \\\ mu '_ {11} & \ mu '_ {02} \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle \ operatorname {cov} [I (x, y)] = {\ begin {bmatrix} \ mu '_ {20} & \ mu' _ {11} \\\ mu '_ {11} & \ mu '_ {02} \ end {bmatrix}}}

.

Vectorii proprii ai acestei matrice corespund axei majore și axei minore ale elipsei asociate cu intensitatea imaginii: orientarea imaginii poate fi apoi extrasă din unghiul pe care axa semi-majoră (vector propriu asociat valorii proprii maxime ) formați cu direcția orizontală. Acest unghi Θ este dat de următoarea formulă:

\Theta ={\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {2\mu '_{11}}{\mu '_{20}-\mu '_{02}}}\right)

{\ displaystyle \ Theta = {\ frac {1} {2}} \ arctan \ left ({\ frac {2 \ mu '_ {11}} {\ mu' _ {20} - \ mu '_ {02} }} \ dreapta)}

{\ displaystyle \ Theta = {\ frac {1} {2}} \ arctan \ left ({\ frac {2 \ mu '_ {11}} {\ mu' _ {20} - \ mu '_ {02} }} \ dreapta)}

Pentru a găsi excentricitatea acestei elipse este suficient să considerăm că depinde de diferența relativă de mărime a valorilor proprii și, prin urmare, poate fi calculată prin

{\sqrt {1-{\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}}}}}

{\ displaystyle {\ sqrt {1 - {\ frac {\ lambda _ {2}} {\ lambda _ {1}}}}}}

{\ displaystyle {\ sqrt {1 - {\ frac {\ lambda _ {2}} {\ lambda _ {1}}}}}}

în care valorile proprii sunt:

\lambda _{i}={\frac {\mu '_{20}+\mu '_{02}}{2}}\pm {\frac {\sqrt {4{\mu '}_{11}^{2}+({\mu '}_{20}-{\mu '}_{02})^{2}}}{2}}

{\ displaystyle \ lambda _ {i} = {\ frac {\ mu '_ {20} + \ mu' _ {02}} {2}} \ pm {\ frac {\ sqrt {4 {\ mu '} _ {11} ^ {2} + ({\ mu '} _ {20} - {\ mu'} _ {02}) ^ {2}}} {2}}}

{\ displaystyle \ lambda _ {i} = {\ frac {\ mu '_ {20} + \ mu' _ {02}} {2}} \ pm {\ frac {\ sqrt {4 {\ mu '} _ {11} ^ {2} + ({\ mu '} _ {20} - {\ mu'} _ {02}) ^ {2}}} {2}}}

Momente centrale normalizate

Momentele η _{pq în} care p + q ≥ 2 pot fi construite pentru a fi invariante atât la translație, cât și la schimbări de scară prin împărțirea momentului central corespunzător la momentul de ordine (00) scalat corespunzător, conform formulei

\eta _{pq}={\frac {\mu _{pq}}{\mu _{00}^{\left(1+{\frac {p+q}{2}}\right)}}}

{\ displaystyle \ eta _ {pq} = {\ frac {\ mu _ {pq}} {\ mu _ {00} ^ {\ left (1 + {\ frac {p + q} {2}} \ right) }}}}

{\ displaystyle \ eta _ {pq} = {\ frac {\ mu _ {pq}} {\ mu _ {00} ^ {\ left (1 + {\ frac {p + q} {2}} \ right) }}}}

Momentele lui Hu

De asemenea, este posibil să se calculeze momente care sunt invariante la traducere, scară și rotație în același timp. Setul celor mai utilizate momente care se bucură de aceste proprietăți este setul celor șapte momente Hu ^[1] :

{\begin{aligned}\phi _{1}=\ &\eta _{20}+\eta _{02}\\\phi _{2}=\ &(\eta _{20}-\eta _{02})^{2}+(2\eta _{11})^{2}\\\phi _{3}=\ &(\eta _{30}-3\eta _{12})^{2}+(3\eta _{21}-\eta _{03})^{2}\\\phi _{4}=\ &(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}+(\eta _{21}+\eta _{03})^{2}\\\phi _{5}=\ &(\eta _{30}-3\eta _{12})(\eta _{30}+\eta _{12})[(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}-3(\eta _{21}+\eta _{03})^{2}]+\\\ &(3\eta _{21}-\eta _{03})(\eta _{21}+\eta _{03})[3(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}-(\eta _{21}+\eta _{03})^{2}]\\\phi _{6}=\ &(\eta _{20}-\eta _{02})[(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}-(\eta _{21}+\eta _{03})^{2}]+4\eta _{11}(\eta _{30}+\eta _{12})(\eta _{21}+\eta _{03})\\\phi _{7}=\ &(3\eta _{21}-\eta _{03})(\eta _{30}+\eta _{12})[(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}-3(\eta _{21}+\eta _{03})^{2}]+\\\ &(\eta _{30}-3\eta _{12})(\eta _{21}+\eta _{03})[3(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}-(\eta _{21}+\eta _{03})^{2}].\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ phi _ {1} = \ & \ eta _ {20} + \ eta _ {02} \\\ phi _ {2} = \ & (\ eta _ {20} - \ eta _ {02}) ^ {2} + (2 \ eta _ {11}) ^ {2} \\\ phi _ {3} = \ & (\ eta _ {30} -3 \ eta _ {12 }) ^ {2} + (3 \ eta _ {21} - \ eta _ {03}) ^ {2} \\\ phi _ {4} = \ & (\ eta _ {30} + \ eta _ { 12}) ^ {2} + (\ eta _ {21} + \ eta _ {03}) ^ {2} \\\ phi _ {5} = \ & (\ eta _ {30} -3 \ eta _ {12}) (\ eta _ {30} + \ eta _ {12}) [(\ eta _ {30} + \ eta _ {12}) ^ {2} -3 (\ eta _ {21} + \ age _ {03}) ^ {2}] + \\\ & (3 \ eta _ {21} - \ eta _ {03}) (\ eta _ {21} + \ age _ {03}) [3 ( \ eta _ {30} + \ eta _ {12}) ^ {2} - (\ eta _ {21} + \ eta _ {03}) ^ {2}] \\\ phi _ {6} = \ & (\ eta _ {20} - \ eta _ {02}) [(\ eta _ {30} + \ eta _ {12}) ^ {2} - (\ eta _ {21} + \ eta _ {03} ) ^ {2}] + 4 \ eta _ {11} (\ eta _ {30} + \ eta _ {12}) (\ eta _ {21} + \ eta _ {03}) \\\ phi _ { 7} = \ & (3 \ eta _ {21} - \ eta _ {03}) (\ eta _ {30} + \ eta _ {12}) [(\ eta _ {30} + \ eta _ {12 }) ^ {2} -3 (\ eta _ {21} + \ eta _ {03}) ^ {2}] + \\\ & (\ eta _ {30} -3 \ eta _ {12}) ( \ eta _ {21} + \ eta _ {03}) [3 (\ eta _ {30} + \ eta _ {12}) ^ {2} - (\ eta _ {21} + \ eta _ {03} ) ^ {2}]. \ End {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ phi _ {1} = \ & \ eta _ {20} + \ eta _ {02} \\\ phi _ {2} = \ & (\ eta _ {20} - \ eta _ {02}) ^ {2} + (2 \ eta _ {11}) ^ {2} \\\ phi _ {3} = \ & (\ eta _ {30} -3 \ eta _ {12 }) ^ {2} + (3 \ eta _ {21} - \ eta _ {03}) ^ {2} \\\ phi _ {4} = \ & (\ eta _ {30} + \ eta _ { 12}) ^ {2} + (\ eta _ {21} + \ eta _ {03}) ^ {2} \\\ phi _ {5} = \ & (\ eta _ {30} -3 \ eta _ {12}) (\ eta _ {30} + \ eta _ {12}) [(\ eta _ {30} + \ eta _ {12}) ^ {2} -3 (\ eta _ {21} + \ age _ {03}) ^ {2}] + \\\ & (3 \ eta _ {21} - \ eta _ {03}) (\ eta _ {21} + \ age _ {03}) [3 ( \ eta _ {30} + \ eta _ {12}) ^ {2} - (\ eta _ {21} + \ eta _ {03}) ^ {2}] \\\ phi _ {6} = \ & (\ eta _ {20} - \ eta _ {02}) [(\ eta _ {30} + \ eta _ {12}) ^ {2} - (\ eta _ {21} + \ eta _ {03} ) ^ {2}] + 4 \ eta _ {11} (\ eta _ {30} + \ eta _ {12}) (\ eta _ {21} + \ eta _ {03}) \\\ phi _ { 7} = \ & (3 \ eta _ {21} - \ eta _ {03}) (\ eta _ {30} + \ eta _ {12}) [(\ eta _ {30} + \ eta _ {12 }) ^ {2} -3 (\ eta _ {21} + \ eta _ {03}) ^ {2}] + \\\ & (\ eta _ {30} -3 \ eta _ {12}) ( \ eta _ {21} + \ eta _ {03}) [3 (\ eta _ {30} + \ eta _ {12}) ^ {2} - (\ eta _ {21} + \ eta _ {03} ) ^ {2}]. \ End {align}}}

Proprietate

Momentul φ ₁ este analog momentului de inerție din jurul centrului imaginii unde intensitățile pixelilor sunt analogi densităților fizice.
Primele șase momente sunt, de asemenea, invariante în ceea ce privește reflexia. Pentru a distinge imagini în oglindă, este, prin urmare, necesar să se utilizeze momentul φ ₇ .

Alte momente invariante în rotație

O teorie generală pentru derivarea unui set complet de momente invariabile de rotație a fost propusă de J. Flusser ^[2] și T. Suk ^[3] . Au arătat că momentele tradiționale Hu nu sunt complete sau altfel independente. Deoarece momentele I ₂ și I ₃ nu sunt cu adevărat independente, ele propun un al optulea moment:

{\begin{aligned}I_{8}=\ &\eta _{11}[(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}-(\eta _{03}+\eta _{21})^{2}]-(\eta _{20}-\eta _{02})(\eta _{30}+\eta _{12})(\eta _{03}+\eta _{21})\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} I_ {8} = \ & \ eta _ {11} [(\ eta _ {30} + \ eta _ {12}) ^ {2} - (\ eta _ {03} + \ eta _ {21}) ^ {2}] - (\ eta _ {20} - \ eta _ {02}) (\ eta _ {30} + \ eta _ {12}) (\ eta _ {03 } + \ eta _ {21}) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} I_ {8} = \ & \ eta _ {11} [(\ eta _ {30} + \ eta _ {12}) ^ {2} - (\ eta _ {03} + \ eta _ {21}) ^ {2}] - (\ eta _ {20} - \ eta _ {02}) (\ eta _ {30} + \ eta _ {12}) (\ eta _ {03 } + \ eta _ {21}) \ end {align}}}

Notă

^ MK Hu, „Recunoașterea modelului vizual de invarianți de moment”, IRE Trans. Info. Teorie, vol. IT-8, pp. 179–187, 1962
^ J. Flusser: "Despre independența invarianților momentului de rotație", Recunoașterea modelelor, vol. 33, pp. 1405-1410, 2000.
^ J. Flusser și T. Suk, "Invarianții momentului de rotație pentru recunoașterea obiectelor simetrice", IEEE Trans. Imagine Proc., Vol. 15, pp. 3784–3790, 2006.

linkuri externe

Invarianți de moment , Institute of Information Theory and Automation, Prague, CZ
Analiza imaginilor binare , Universitatea din Edinburgh
Momente statistice , Universitatea din Edinburgh

Portal de inginerie

Portalul de matematică

[“hu-1] MK Hu, „Recunoașterea modelului vizual de invarianți de moment”, IRE Trans. Info. Teorie, vol. IT-8, pp. 179–187, 1962

[Flusser-2] J. Flusser: "Despre independența invarianților momentului de rotație", Recunoașterea modelelor, vol. 33, pp. 1405-1410, 2000.

[Suk-3] J. Flusser și T. Suk, "Invarianții momentului de rotație pentru recunoașterea obiectelor simetrice", IEEE Trans. Imagine Proc., Vol. 15, pp. 3784–3790, 2006.

[1]

[2]

[3]