Matricea de covarianță

În statisticile multivariate și de probabilitate , matricea de covarianță (sau matricea de varianță și covarianță ) este de obicei indicată ca $\Sigma$ ${\ displaystyle \ Sigma}$ $\ Sigma$ și este o generalizare a covarianței la cazul dimensiunii mai mari de două. Este o matrice care reprezintă variația fiecărei variabile față de celelalte (inclusiv ea însăși). Este o matrice simetrică .

Statistici

Având în vedere o populație de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ elemente pe care sunt detectate $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ caractere cantitative $X_{i}$ ${\ displaystyle X_ {i}}$ $X_i$ . Asta este fiecare $X_{i}$ ${\ displaystyle X_ {i}}$ $X_i$ cu $i=1,\dots ,k$ ${\ displaystyle i = 1, \ dots, k}$ $i = 1, \ dots, k$ este un vector al $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ elemente, indicate cu $x_{hi}$ ${\ displaystyle x_ {hi}}$ $x_ {hi}$ cu $h=1,\dots ,n$ ${\ displaystyle h = 1, \ dots, n}$ $h = 1, \ dots, n$ . Elementul $x_{hi}$ ${\ displaystyle x_ {hi}}$ $x_ {hi}$ reprezintă deci modalitatea de $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ -a unitatea statistică cu privire la personaj $X_{i}$ ${\ displaystyle X_ {i}}$ $X_i$ . Matricea de covarianță are dimensiune $k\times k$ ${\ displaystyle k \ times k}$ $k \ times k$ și fiecare element este definit ca

\sigma _{ij}^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{h=1}^{n}(x_{hi}-\mu _{i})(x_{hj}-\mu _{j}),

{\ displaystyle \ sigma _ {ij} ^ {2} = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {h = 1} ^ {n} (x_ {hi} - \ mu _ {i}) ( x_ {hj} - \ mu _ {j}),}

{\ displaystyle \ sigma _ {ij} ^ {2} = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {h = 1} ^ {n} (x_ {hi} - \ mu _ {i}) ( x_ {hj} - \ mu _ {j}),}

unde este $\mu _{i}$ ${\ displaystyle \ mu _ {i}}$ $\ mu_i$ indică media personajului $X_{i}$ ${\ displaystyle X_ {i}}$ $X_i$ .

Înțelesul valorilor

Fiecare element de pe diagonală $\sigma _{ii}^{2}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {ii} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {ii} ^ {2}}$ este varianța caracterului $X_{i}$ ${\ displaystyle X_ {i}}$ $X_i$ și, prin urmare, este întotdeauna o valoare non-negativă. Fiecare element $\sigma _{ij}^{2}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {ij} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {ij} ^ {2}}$ (cu $i\neq j$ ${\ displaystyle i \ neq j}$ $i \ neq j$ ) este covarianța dintre personaje $X_{i}$ ${\ displaystyle X_ {i}}$ $X_i$ Și $X_{j}$ ${\ displaystyle X_ {j}}$ $X_j$ . Dacă această valoare este pozitivă, înseamnă că pe măsură ce un personaj crește, crește și celălalt. Dacă această valoare este negativă, se întâmplă opusul. Dacă caracterele sunt independente statistic, această valoare este $0$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ (implicația inversă nu este neapărat verificată).

Aplicații

În plus față de semnificația statistică pe care o putem deduce din termeni, matricea de covarianță este un parametru al funcției gaussiene , în statisticile multivariate .

De asemenea, poate ajuta la reducerea caracteristicilor , prin analiza componentelor principale (PCA).

Bibliografie

Richard O. Duda, Peter E. Hart, David G. Stork, Wiley Interscience - Pattern Classification (ediția a doua)

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică