Număr pătrat triunghiular

Un număr pătrat triunghiular este un număr care este atât triunghiular, cât și pătrat . Există numere triunghiulare pătrate infinite ^[1] , date de formula:

N_{k}={1 \over 32}\left(\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{2k}-\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{2k}\right)^{2}.

{\ displaystyle N_ {k} = {1 \ peste 32} \ left (\ left (1 + {\ sqrt {2}} \ right) ^ {2k} - \ left (1 - {\ sqrt {2}} \ dreapta) ^ {2k} \ dreapta) ^ {2}.}

{\ displaystyle N_ {k} = {1 \ peste 32} \ left (\ left (1 + {\ sqrt {2}} \ right) ^ {2k} - \ left (1 - {\ sqrt {2}} \ dreapta) ^ {2k} \ dreapta) ^ {2}.}

36, de exemplu, poate fi reprezentat atât ca un pătrat, cât și ca un triunghi:

Problema găsirii numerelor triunghiulare pătrate se reduce la ecuația lui Pell . De fapt, este vorba de găsirea a două numere q și t astfel încât numărul pătrat q- este egal cu al treilea număr triunghiular:

\,t(t+1)/2=q^{2}

{\ displaystyle \, t (t + 1) / 2 = q ^ {2}}

{\ displaystyle \, t (t + 1) / 2 = q ^ {2}}

Cu o oarecare transformare devine:

\,t^{2}+t=2q^{2}

{\ displaystyle \, t ^ {2} + t = 2q ^ {2}}

{\ displaystyle \, t ^ {2} + t = 2q ^ {2}}

\,t^{2}+2t/2+1/4-1/4=2q^{2}

{\ displaystyle \, t ^ {2} + 2t / 2 + 1 / 4-1 / 4 = 2q ^ {2}}

{\ displaystyle \, t ^ {2} + 2t / 2 + 1 / 4-1 / 4 = 2q ^ {2}}

\,(t+1/2)^{2}=2q^{2}+1/4

{\ displaystyle \, (t + 1/2) ^ {2} = 2q ^ {2} +1/4}

{\ displaystyle \, (t + 1/2) ^ {2} = 2q ^ {2} +1/4}

\,(2t+1)^{2}=8q^{2}+1

{\ displaystyle \, (2t + 1) ^ {2} = 8q ^ {2} +1}

{\ displaystyle \, (2t + 1) ^ {2} = 8q ^ {2} +1}

Înlocuind m = 2 t + 1 și n = 2 q , obținem următoarea ecuație diofantină :

\,m^{2}=2n^{2}+1

{\ displaystyle \, m ^ {2} = 2n ^ {2} +1}

{\ displaystyle \, m ^ {2} = 2n ^ {2} +1}

care este o ecuație Pell.

K - lea pătrat triunghiular numărul N _k este egal cu pătratul lea q- și t- lea triunghiular , astfel încât:

q(N)={\sqrt {N}},

{\ displaystyle q (N) = {\ sqrt {N}},}

{\ displaystyle q (N) = {\ sqrt {N}},}

t(N)=\lfloor {\sqrt {2N}}\rfloor .

{\ displaystyle t (N) = \ lfloor {\ sqrt {2N}} \ rfloor.}

{\ displaystyle t (N) = \ lfloor {\ sqrt {2N}} \ rfloor.}

t este dat de formula:

t(N_{k})={1 \over 4}\left[\left(\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{k}+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{k}\right)^{2}-\left(1+(-1)^{k}\right)^{2}\right]

{\ displaystyle t (N_ {k}) = {1 \ peste 4} \ left [\ left (\ left (\ left (1 + {\ sqrt {2}} \ right) ^ {k} + \ left (1 - {\ sqrt {2}} \ right) ^ {k} \ right) ^ {2} - \ left (1 + (- 1) ^ {k} \ right) ^ {2} \ right]}

{\ displaystyle t (N_ {k}) = {1 \ peste 4} \ left [\ left (\ left (\ left (1 + {\ sqrt {2}} \ right) ^ {k} + \ left (1 - {\ sqrt {2}} \ right) ^ {k} \ right) ^ {2} - \ left (1 + (- 1) ^ {k} \ right) ^ {2} \ right]}

.

Pe măsură ce k crește, raportul t / q tinde spre rădăcina a două :

${\begin{matrix}N=1&q=1&t=1&t/q=1\\N=36&q=6&t=8&t/q=1.3333333\\N=1225&q=35&t=49&t/q=1.4\\N=41616&q=204&t=288&t/q=1.4117647\\N=1.413.721&q=1189&t=1681&t/q=1.4137931\\N=48.024.900&q=6930&t=9800&t/q=1.4141414\\N=1.631.432.881&q=40391&t=57121&t/q=1.4142011\end{matrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {matrix} N = 1 & q = 1 & t = 1 & t / q = 1 \\ N = 36 & q = 6 & t = 8 & t / q = 1.3333333 \\ N = 1225 & q = 35 & t = 49 & t / q = 1.4 \\ N = 41616 & q = 204 & t = 288 & t / q = 1.4117647 \\ N = 1.413.721 & q = 1189 & t = 1681 & t / q = 1.4137931 \\ N = 48.024.900 & q = 6930 & t = 9800 & t / q = 1.4141414 \\ N = 1.631.432.881 & q = 40391 & t = 57121 & t / q = 1.4142011 \ end {matrix }}}$ ${\ displaystyle {\ begin {matrix} N = 1 & q = 1 & t = 1 & t / q = 1 \\ N = 36 & q = 6 & t = 8 & t / q = 1.3333333 \\ N = 1225 & q = 35 & t = 49 & t / q = 1.4 \\ N = 41616 & q = 204 & t = 288 & t / q = 1.4117647 \\ N = 1.413.721 & q = 1189 & t = 1681 & t / q = 1.4137931 \\ N = 48.024.900 & q = 6930 & t = 9800 & t / q = 1.4141414 \\ N = 1.631.432.881 & q = 40391 & t = 57121 & t / q = 1.4142011 \ end {matrix }}}$

Notă

^ (EN) secvența A001110 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe un număr pătrat triunghiular

linkuri externe

( RO ) Numere triunghiulare care sunt și pătrate . Din Diverse matematice și puzzle-uri interactive
( RO ) Număr triunghiular pătrat , pe MathWorld

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] (EN) secvența A001110 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.

[1]