Omotezia în planul complex

Homotezia generică este prezentată în planul complex al centrului $C_{0}(x_{0},y_{0})$ ${\ displaystyle C_ {0} (x_ {0}, y_ {0})}$ ${\ displaystyle C_ {0} (x_ {0}, y_ {0})}$ și relație $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ cu $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ număr real altul decât zero (vezi numere și puncte complexe ale planului cartezian ).

Definiție

Este $\,C_{0}=P(z_{0})$ ${\ displaystyle \, C_ {0} = P (z_ {0})}$ ${\ displaystyle \, C_ {0} = P (z_ {0})}$ punctul corespunzător numărului complex $\,z_{0}=x_{0}+iy_{0}$ ${\ displaystyle \, z_ {0} = x_ {0} + iy_ {0}}$ ${\ displaystyle \, z_ {0} = x_ {0} + iy_ {0}}$ , și așa să fie $\,a$ ${\ displaystyle \, a}$ $\,la$ un număr real altul decât $0$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ și din $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ . Omotia $\,\omega _{C_{0},a}$ ${\ displaystyle \, \ omega _ {C_ {0}, a}}$ ${\ displaystyle \, \ omega _ {C_ {0}, a}}$ de centru $\,C_{0}$ ${\ displaystyle \, C_ {0}}$ ${\ displaystyle \, C_ {0}}$ și relație $\,a$ ${\ displaystyle \, a}$ $\,la$ , este transformarea care se asociază fiecărui punct $P=P(z)$ ${\ displaystyle P = P (z)}$ ${\ displaystyle P = P (z)}$ , corespunzător numărului complex $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ , ideea $P'=P'(z')$ ${\ displaystyle P '= P' (z ')}$ ${\ displaystyle P '= P' (z ')}$ , corespunzător numărului complex $z^{'}$ ${\ displaystyle z '}$ $z '$ , astfel încât:

{\vec {C_{0}P'}}=a{\vec {C_{0}P}}

{\ displaystyle {\ vec {C_ {0} P '}} = a {\ vec {C_ {0} P}}}

{\ displaystyle {\ vec {C_ {0} P '}} = a {\ vec {C_ {0} P}}}

De cand

{\vec {C_{0}P}}=z-z_{0}~,~~{\vec {C_{0}P'}}=z'-z_{0}

{\ displaystyle {\ vec {C_ {0} P}} = z-z_ {0} ~, ~~ {\ vec {C_ {0} P '}} = z'-z_ {0}}

{\ displaystyle {\ vec {C_ {0} P}} = z-z_ {0} ~, ~~ {\ vec {C_ {0} P '}} = z'-z_ {0}}

avem asta

z'-z_{0}=a\left(z-z_{0}\right)

{\ displaystyle z'-z_ {0} = a \ left (z-z_ {0} \ right)}

{\ displaystyle z'-z_ {0} = a \ left (z-z_ {0} \ right)}

.

Deci, introducând $b\,:=\,(1-a)z_{0}$ ${\ displaystyle b \ ,: = \, (1-a) z_ {0}}$ ${\ displaystyle b \ ,: = \, (1-a) z_ {0}}$ , scrierea complexă a homoteziei este:

{\begin{matrix}\omega _{C_{0},a}:&\mathbb {C} &\longrightarrow &\mathbb {C} &\\&z&\longmapsto &z'&=az+b=a\rho e^{i\theta }+b\end{matrix}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ omega _ {C_ {0}, a}: & \ mathbb {C} & \ longrightarrow & \ mathbb {C} & \\ & z & \ longmapsto & z '& = az + b = a \ rho e ^ {i \ theta} + b \ end {matrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ omega _ {C_ {0}, a}: & \ mathbb {C} & \ longrightarrow & \ mathbb {C} & \\ & z & \ longmapsto & z '& = az + b = a \ rho e ^ {i \ theta} + b \ end {matrix}}}

Mai ales omotia $\omega _{O,a}$ ${\ displaystyle \ omega _ {O, a}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {O, a}}$ de centru originea axelor $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ și relație $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , este transformarea

{\begin{matrix}\omega _{O,a}:&\mathbb {C} &\longrightarrow &\mathbb {C} &\\&z&\longmapsto &z'&=az=a\rho e^{i\theta }=a\rho \left(\cos \theta +i\sin \theta \right)\end{matrix}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ omega _ {O, a}: & \ mathbb {C} & \ longrightarrow & \ mathbb {C} & \\ & z & \ longmapsto & z '& = az = a \ rho e ^ {i \ theta} = a \ rho \ left (\ cos \ theta + i \ sin \ theta \ right) \ end {matrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ omega _ {O, a}: & \ mathbb {C} & \ longrightarrow & \ mathbb {C} & \\ & z & \ longmapsto & z '& = az = a \ rho e ^ {i \ theta} = a \ rho \ left (\ cos \ theta + i \ sin \ theta \ right) \ end {matrix}}}

unde este plasat

z=\rho \left(\cos \theta +i\sin \theta \right)

{\ displaystyle z = \ rho \ left (\ cos \ theta + i \ sin \ theta \ right)}

{\ displaystyle z = \ rho \ left (\ cos \ theta + i \ sin \ theta \ right)}

.

De asemenea, observăm cum funcționează transformarea bazată pe semnul numărului $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ :

Prin urmare:

înmulțiți numărul complex $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ pentru un număr real $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ nu nul și diferit de $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ este echivalent cu aplicarea la acest punct $P(z)$ ${\ displaystyle P (z)}$ ${\ displaystyle P (z)}$ omotia relației $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ .

Exemplu

Scrierea complexă a omotezei centrului este determinată $\,C_{0}(-2,4)\,$ ${\ displaystyle \, C_ {0} (- 2,4) \,}$ ${\ displaystyle \, C_ {0} (- 2,4) \,}$ și relație $3$ ${\ displaystyle 3}$ $3$ .

Numărul complex corespunzător acestui punct este $\,z_{0}\,=\,-2+4i$ ${\ displaystyle \, z_ {0} \, = \, - 2 + 4i}$ ${\ displaystyle \, z_ {0} \, = \, - 2 + 4i}$ .

Deci, amintindu-ne că omotitatea se obține cu $z'-z_{0}\,=\,a(z-z_{0})$ ${\ displaystyle z'-z_ {0} \, = \, a (z-z_ {0})}$ ${\ displaystyle z'-z_ {0} \, = \, a (z-z_ {0})}$ , avem asta