Osculator polinomial

În matematica aplicată , un polinom oscilant este definit ca un polinom interpolant care în noduri $x_{i}$ ${\ displaystyle x_ {i}}$ $x_i$ ( i = 1, ..., n ) îndeplinește unele condiții mai restrictive pe lângă simpla interpolare a punctelor:

$P^{(k)}(x_{i})=f^{(k)}(x_{i}),k\in {\{0,...,l\}}$ ${\ displaystyle P ^ {(k)} (x_ {i}) = f ^ {(k)} (x_ {i}), k \ in {\ {0, ..., l \}}}$ ${\ displaystyle P ^ {(k)} (x_ {i}) = f ^ {(k)} (x_ {i}), k \ in {\ {0, ..., l \}}}$

Există următoarele cazuri speciale:

pentru $l=0$ ${\ displaystyle l = 0}$ ${\ displaystyle l = 0}$ avem interpolare Lagrange ;
pentru $l=1$ ${\ displaystyle l = 1}$ ${\ displaystyle l = 1}$ avem interpolare Hermite.

Polinomul oscilant al Hermitei

Date $n+1$ ${\ displaystyle n + 1}$ $n + 1$ noduri $x_{i}$ ${\ displaystyle x_ {i}}$ $x_i$ polinomul oscilant Hermite este cel mult un polinom de grad $2n+1$ ${\ displaystyle 2n + 1}$ ${\ displaystyle 2n + 1}$ astfel încât:

$p(x_{i})=f(x_{i})$ ${\ displaystyle p (x_ {i}) = f (x_ {i})}$ ${\ displaystyle p (x_ {i}) = f (x_ {i})}$

$p'(x_{i})=f'(x_{i})$ ${\ displaystyle p '(x_ {i}) = f' (x_ {i})}$ ${\ displaystyle p '(x_ {i}) = f' (x_ {i})}$

pentru i variind de la 0 la n.

Poate fi reprezentat sub forma:

$p(x)=\sum _{j=0}^{n}U_{j}(x)f(x_{j})+\sum _{j=0}^{n}V_{j}(x)f'(x_{j})$ ${\ displaystyle p (x) = \ sum _ {j = 0} ^ {n} U_ {j} (x) f (x_ {j}) + \ sum _ {j = 0} ^ {n} V_ {j } (x) f '(x_ {j})}$ ${\ displaystyle p (x) = \ sum _ {j = 0} ^ {n} U_ {j} (x) f (x_ {j}) + \ sum _ {j = 0} ^ {n} V_ {j } (x) f '(x_ {j})}$

unde la rândul lor polinoamele $U_{j}(x)$ ${\ displaystyle U_ {j} (x)}$ ${\ displaystyle U_ {j} (x)}$ Și $V_{j}(x)$ ${\ displaystyle V_ {j} (x)}$ ${\ displaystyle V_ {j} (x)}$ sunt funcții ale polinoamelor Lagrange:

$U_{j}(x)=[1-2L'_{j}(x_{j})(x-x_{j})]L_{j}^{2}(x)$ ${\ displaystyle U_ {j} (x) = [1-2L '_ {j} (x_ {j}) (x-x_ {j})] L_ {j} ^ {2} (x)}$ ${\ displaystyle U_ {j} (x) = [1-2L '_ {j} (x_ {j}) (x-x_ {j})] L_ {j} ^ {2} (x)}$
$V_{j}(x)=(x-x_{j})L_{j}^{2}(x)$ ${\ displaystyle V_ {j} (x) = (x-x_ {j}) L_ {j} ^ {2} (x)}$ ${\ displaystyle V_ {j} (x) = (x-x_ {j}) L_ {j} ^ {2} (x)}$

Prin urmare, se poate verifica cu ușurință că:

Polinoamele U și V au gradul 2n + 1
relațiile proprii polinoamelor Lagrange se mențin.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică