Rapiditate (relativitate specială)

În teoria specială a relativității , rapiditatea (care nu trebuie confundată cu pseudorapiditatea ) este o cantitate introdusă pentru a putea scrie transformările Lorentz într-un mod concis. Această măreție ${\vec {\zeta }}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ zeta}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ zeta}}}$ este definit ca:

\zeta _{i}={\frac {1}{2}}\ln \left(\displaystyle {\frac {1+\beta _{i}}{1-\beta _{i}}}\right)

{\ displaystyle \ zeta _ {i} = {\ frac {1} {2}} \ ln \ left (\ displaystyle {\ frac {1+ \ beta _ {i}} {1- \ beta _ {i}} } \ dreapta)}

{\ displaystyle \ zeta _ {i} = {\ frac {1} {2}} \ ln \ left (\ displaystyle {\ frac {1+ \ beta _ {i}} {1- \ beta _ {i}} } \ dreapta)}

astfel încât $\beta =\tanh \zeta$ ${\ displaystyle \ beta = \ tanh \ zeta}$ ${\ displaystyle \ beta = \ tanh \ zeta}$ , cu $\beta _{i}={\frac {v_{i}}{c}}$ ${\ displaystyle \ beta _ {i} = {\ frac {v_ {i}} {c}}}$ ${\ displaystyle \ beta _ {i} = {\ frac {v_ {i}} {c}}}$

Utilizare

Definind ca de obicei:

\gamma =(1-\beta ^{2})^{-{\frac {1}{2}}}

{\ displaystyle \ gamma = (1- \ beta ^ {2}) ^ {- {\ frac {1} {2}}}}

{\ displaystyle \ gamma = (1- \ beta ^ {2}) ^ {- {\ frac {1} {2}}}}

un impuls Lorentz de -a lungul direcției $x_{1}$ ${\ displaystyle x_ {1}}$ $x_ {1}$

\left\{{\begin{array}{l}x_{0}^{\prime }=\gamma \left(x_{0}-\beta x_{1}\right)\\x_{1}^{\prime }=\gamma \left(x_{1}-\beta x_{0}\right)\\x_{2}^{\prime }=x_{2}\\x_{3}^{\prime }=x_{3}\\\end{array}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} x_ {0} ^ {\ prime} = \ gamma \ left (x_ {0} - \ beta x_ {1} \ right) \\ x_ {1 } ^ {\ prime} = \ gamma \ left (x_ {1} - \ beta x_ {0} \ right) \\ x_ {2} ^ {\ prime} = x_ {2} \\ x_ {3} ^ { \ prime} = x_ {3} \\\ end {array}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} x_ {0} ^ {\ prime} = \ gamma \ left (x_ {0} - \ beta x_ {1} \ right) \\ x_ {1 } ^ {\ prime} = \ gamma \ left (x_ {1} - \ beta x_ {0} \ right) \\ x_ {2} ^ {\ prime} = x_ {2} \\ x_ {3} ^ { \ prime} = x_ {3} \\\ end {array}} \ right.}

folosind relații $\gamma =\cosh(\zeta _{1})$ ${\ displaystyle \ gamma = \ cosh (\ zeta _ {1})}$ ${\ displaystyle \ gamma = \ cosh (\ zeta _ {1})}$ Și $\gamma \beta =\sinh(\zeta _{1})$ ${\ displaystyle \ gamma \ beta = \ sinh (\ zeta _ {1})}$ ${\ displaystyle \ gamma \ beta = \ sinh (\ zeta _ {1})}$ poate fi scris ca:

\left\{{\begin{array}{l}x_{0}^{\prime }=x_{0}\cosh {\zeta _{1}}-x_{1}\sinh {\zeta _{1}}\\x_{1}^{\prime }=-x_{0}\sinh {\zeta _{1}}+x_{1}\cosh {\zeta _{1}}\\x_{2}^{\prime }=x_{2}\\x_{3}^{\prime }=x_{3}\end{array}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} x_ {0} ^ {\ prime} = x_ {0} \ cosh {\ zeta _ {1}} - x_ {1} \ sinh {\ zeta _ {1}} \\ x_ {1} ^ {\ prime} = - x_ {0} \ sinh {\ zeta _ {1}} + x_ {1} \ cosh {\ zeta _ {1}} \\ x_ {2} ^ {\ prime} = x_ {2} \\ x_ {3} ^ {\ prime} = x_ {3} \ end {array}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} x_ {0} ^ {\ prime} = x_ {0} \ cosh {\ zeta _ {1}} - x_ {1} \ sinh {\ zeta _ {1}} \\ x_ {1} ^ {\ prime} = - x_ {0} \ sinh {\ zeta _ {1}} + x_ {1} \ cosh {\ zeta _ {1}} \\ x_ {2} ^ {\ prime} = x_ {2} \\ x_ {3} ^ {\ prime} = x_ {3} \ end {array}} \ right.}

care este expresia unei rotații imaginare . Transformarea Lorentz mai generală, exprimabilă prin matrice $\Lambda$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ , ia forma

\Lambda =e^{-{\vec {\zeta }}\cdot {\vec {K}}-{\vec {\omega }}\cdot {\vec {S}}}

{\ displaystyle \ Lambda = e ^ {- {\ vec {\ zeta}} \ cdot {\ vec {K}} - {\ vec {\ omega}} \ cdot {\ vec {S}}}}

{\ displaystyle \ Lambda = e ^ {- {\ vec {\ zeta}} \ cdot {\ vec {K}} - {\ vec {\ omega}} \ cdot {\ vec {S}}}}

unde este

{\vec {S}}=(S_{1},S_{2},S_{3})

{\ displaystyle {\ vec {S}} = (S_ {1}, S_ {2}, S_ {3})}

{\ displaystyle {\ vec {S}} = (S_ {1}, S_ {2}, S_ {3})}

Și

{\vec {K}}=(K_{1},K_{2},K_{3})

{\ displaystyle {\ vec {K}} = (K_ {1}, K_ {2}, K_ {3})}

{\ displaystyle {\ vec {K}} = (K_ {1}, K_ {2}, K_ {3})}

.

Coordonatele ${\vec {S}}$ ${\ displaystyle {\ vec {S}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {S}}}$ Și ${\vec {K}}$ ${\ displaystyle {\ vec {K}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {K}}}$ ei sunt generatorii grupului Lorentz.

S_{1}=\left({\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{array}}\right)\quad S_{2}=\left({\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&-1&0&0\end{array}}\right)\quad S_{3}=\left({\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&0\end{array}}\right)

{\ displaystyle S_ {1} = \ left ({\ begin {array} {cccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \ end {array}} \ right) \ quad S_ {2} = \ left ({\ begin {array} {cccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ \ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \ end {array}} \ right) \ quad S_ {3} = \ left ({\ begin {array} {cccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ end {array}} \ right)}

{\ displaystyle S_ {1} = \ left ({\ begin {array} {cccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \ end {array}} \ right) \ quad S_ {2} = \ left ({\ begin {array} {cccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ \ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \ end {array}} \ right) \ quad S_ {3} = \ left ({\ begin {array} {cccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ end {array}} \ right)}

K_{1}=\left({\begin{array}{cccc}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}}\right)\quad K_{2}=\left({\begin{array}{cccc}0&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}}\right)\quad K_{3}=\left({\begin{array}{cccc}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{array}}\right)

{\ displaystyle K_ {1} = \ left ({\ begin {array} {cccc} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ end {array}} \ right) \ quad K_ {2} = \ left ({\ begin {array} {cccc} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ end {array}} \ right) \ quad K_ {3} = \ left ({\ begin {array} {cccc} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \ end {array}} \ right)}

{\ displaystyle K_ {1} = \ left ({\ begin {array} {cccc} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ end {array}} \ right) \ quad K_ {2} = \ left ({\ begin {array} {cccc} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ end {array}} \ right) \ quad K_ {3} = \ left ({\ begin {array} {cccc} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \ end {array}} \ right)}

și generează respectiv rotațiile în jurul celor trei axe carteziene, iar Lorentz crește de-a lungul acestor axe. Parametrul rămas ${\vec {\omega }}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ omega}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ omega}}}$ coordonează unghiurile de rotație în jurul celor trei axe spațiale.

Proprietate

O ultimă considerație se referă la viteza particulelor observate în diferite sisteme de referință. Dacă luăm în considerare impulsul și viteza particulei ca parametri pentru descrierea sistemului, avem:

{\tilde {\zeta _{i}}}=\zeta _{i}-Z

{\ displaystyle {\ tilde {\ zeta _ {i}}} = \ zeta _ {i} -Z}

{\ displaystyle {\ tilde {\ zeta _ {i}}} = \ zeta _ {i} -Z}

unde dacă indicăm cu ${\tilde {k}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {k}}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {k}}}$ un alt sistem de referință, cu $k_{i}$ ${\ displaystyle k_ {i}}$ $k_ {i}$ sistemul de referință solidar cu $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ -a particulă, iar dacă indicăm cu o săgeată o anumită transformare Lorentz avem:

k{\stackrel {\zeta _{i}}{\rightarrow }}k_{i}{\stackrel {\tilde {\zeta _{i}}}{\leftarrow }}{\tilde {k}}

{\ displaystyle k {\ stackrel {\ zeta _ {i}} {\ rightarrow}} k_ {i} {\ stackrel {\ tilde {\ zeta _ {i}}} {\ leftarrow}} {\ tilde {k} }}

{\ displaystyle k {\ stackrel {\ zeta _ {i}} {\ rightarrow}} k_ {i} {\ stackrel {\ tilde {\ zeta _ {i}}} {\ leftarrow}} {\ tilde {k} }}

si $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ este viteza transformării din $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ la ${\tilde {k}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {k}}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {k}}}$ . Să dovedim. Între timp, să alocăm sistemului ${\tilde {k}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {k}}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {k}}}$ parametrii ${\vec {B}}$ ${\ displaystyle {\ vec {B}}}$ $\ vec B$ Și $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ care îi definesc mișcarea față de $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ .

\ln \left({\frac {p_{0}+p_{z}}{p_{0}-p_{z}}}\right)=2\zeta \qquad \quad \ln \left({\frac {{\tilde {p}}_{0}+{\tilde {p}}_{z}}{{\tilde {p}}_{0}-{\tilde {p}}_{z}}}\right)=2{\tilde {\zeta }}

{\ displaystyle \ ln \ left ({\ frac {p_ {0} + p_ {z}} {p_ {0} -p_ {z}}} \ right) = 2 \ zeta \ qquad \ quad \ ln \ left ( {\ frac {{\ tilde {p}} _ {0} + {\ tilde {p}} _ {z}} {{\ tilde {p}} _ {0} - {\ tilde {p}} _ { z}}} \ right) = 2 {\ tilde {\ zeta}}}

{\ displaystyle \ ln \ left ({\ frac {p_ {0} + p_ {z}} {p_ {0} -p_ {z}}} \ right) = 2 \ zeta \ qquad \ quad \ ln \ left ( {\ frac {{\ tilde {p}} _ {0} + {\ tilde {p}} _ {z}} {{\ tilde {p}} _ {0} - {\ tilde {p}} _ { z}}} \ right) = 2 {\ tilde {\ zeta}}}

2({\tilde {\zeta }}-\zeta )=\ln \left[{\frac {({\tilde {p}}_{0}+{\tilde {p}}_{z})(p_{0}-p_{z})}{({\tilde {p}}_{0}-{\tilde {p}}_{z})(p_{0}+p_{z})}}\right]

{\ displaystyle 2 ({\ tilde {\ zeta}} - \ zeta) = \ ln \ left [{\ frac {({\ tilde {p}} _ {0} + {\ tilde {p}} _ {z }) (p_ {0} -p_ {z})} {({\ tilde {p}} _ {0} - {\ tilde {p}} _ {z}) (p_ {0} + p_ {z} )}} \ dreapta]}

{\ displaystyle 2 ({\ tilde {\ zeta}} - \ zeta) = \ ln \ left [{\ frac {({\ tilde {p}} _ {0} + {\ tilde {p}} _ {z }) (p_ {0} -p_ {z})} {({\ tilde {p}} _ {0} - {\ tilde {p}} _ {z}) (p_ {0} + p_ {z} )}} \ dreapta]}

{\begin{array}{l}{\tilde {p}}_{0}=\Gamma (p_{0}-Bp_{z})\\{\tilde {p}}_{z}=\Gamma (p_{z}-Bp_{0})\end{array}}\qquad {\mbox{ con }}\Gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-B^{2}}}}

{\ displaystyle {\ begin {array} {l} {\ tilde {p}} _ {0} = \ Gamma (p_ {0} -Bp_ {z}) \\ {\ tilde {p}} _ {z} = \ Gamma (p_ {z} -Bp_ {0}) \ end {array}} \ qquad {\ mbox {con}} \ Gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1-B ^ {2}} }}}

{\ displaystyle {\ begin {array} {l} {\ tilde {p}} _ {0} = \ Gamma (p_ {0} -Bp_ {z}) \\ {\ tilde {p}} _ {z} = \ Gamma (p_ {z} -Bp_ {0}) \ end {array}} \ qquad {\ mbox {con}} \ Gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1-B ^ {2}} }}}

{\tilde {p}}_{0}+{\tilde {p}}_{z}=\Gamma (p_{0}+p_{z})(1-B)\quad {\mbox{ e }}\quad {\tilde {p}}_{0}-{\tilde {p}}_{z}=\Gamma (p_{0}-p_{z})(1+B)

{\ displaystyle {\ tilde {p}} _ {0} + {\ tilde {p}} _ {z} = \ Gamma (p_ {0} + p_ {z}) (1-B) \ quad {\ mbox {e}} \ quad {\ tilde {p}} _ {0} - {\ tilde {p}} _ {z} = \ Gamma (p_ {0} -p_ {z}) (1 + B)}

{\ displaystyle {\ tilde {p}} _ {0} + {\ tilde {p}} _ {z} = \ Gamma (p_ {0} + p_ {z}) (1-B) \ quad {\ mbox {e}} \ quad {\ tilde {p}} _ {0} - {\ tilde {p}} _ {z} = \ Gamma (p_ {0} -p_ {z}) (1 + B)}

asa de

2({\tilde {\zeta }}-\zeta )=\ln \left({\frac {1-B}{1+B}}\right)=\ln \left({\frac {\cosh Z-\sinh Z}{\sinh Z+\cosh Z}}\right)=\ln \left({\frac {e^{-Z}+e^{-Z}}{e^{Z}+e^{Z}}}\right)=\ln e^{-2Z}=-2Z

{\ displaystyle 2 ({\ tilde {\ zeta}} - \ zeta) = \ ln \ left ({\ frac {1-B} {1 + B}} \ right) = \ ln \ left ({\ frac { \ cosh Z- \ sinh Z} {\ sinh Z + \ cosh Z}} \ right) = \ ln \ left ({\ frac {e ^ {- Z} + e ^ {- Z}} {e ^ {Z } + e ^ {Z}}} \ right) = \ ln e ^ {- 2Z} = - 2Z}

{\ displaystyle 2 ({\ tilde {\ zeta}} - \ zeta) = \ ln \ left ({\ frac {1-B} {1 + B}} \ right) = \ ln \ left ({\ frac { \ cosh Z- \ sinh Z} {\ sinh Z + \ cosh Z}} \ right) = \ ln \ left ({\ frac {e ^ {- Z} + e ^ {- Z}} {e ^ {Z } + e ^ {Z}}} \ right) = \ ln e ^ {- 2Z} = - 2Z}

Comoditatea utilizării ca parametri ${\vec {p}}$ ${\ displaystyle {\ vec {p}}}$ $\ vec p$ Și $\zeta$ ${\ displaystyle \ zeta}$ $\ zeta$ este aceea pentru care în două sisteme de referință diferite viteza particulelor se traduce printr-o valoare fixă $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ care reprezintă viteza transformării Lorentz care leagă cele două sisteme de referință.

linkuri externe

Note speciale despre teoria relativității , pe divshare.com . Adus pe 9 februarie 2008 (arhivat din original la 14 martie 2008) .

Portalul relativității : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de relativitate