Cuisoare sferice

O pană sferică cu rază r și unghi diedru α

În geometrie , o pană sferică este porțiunea unei bile (denumită în mod obișnuit „sferă” ^[1] ) mărginită de două semicercuri maxime și un fus sferic , definit ca baza panii. Unghiul dintre spițele celor două semicercuri este unghiul diedru corespunzător segmentului și, având în vedere un semicerc care se rotește în jurul diametrului său, segmentul sferic este generat de acest semicerc care se rotește pentru o amplitudine egală cu acest unghi diedru. O pană sferică este, prin urmare, la bila din care face parte, deoarece unghiul său diedru este la un unghi rotund și, dacă acest unghi diedru este egal cu $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ radieni sau 180 °, atunci pană sferică este definită „emisferă”, în timp ce dacă unghiul diedru este egal cu $2\pi$ ${\ displaystyle 2 \ pi}$ $2 \ pi$ , atunci penei constituie o minge completă. ^[2] ^[3]

Proprietate

O pană sferică are două planuri de simetrie , unul care împarte pană în două pene mai mici și simetrice și unul care împarte pană pe lungime generând două jumătăți de pană.

Volumul segmentului sferic poate fi corelat intuitiv cu diametrul și, prin urmare, cu raza semicercului care îl generează prin revoluție, astfel încât în timp ce volumul unei bile de rază $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ este dat de ${\frac {4\pi r^{3}}{3}}$ ${\ displaystyle {\ frac {4 \ pi r ^ {3}} {3}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {4 \ pi r ^ {3}} {3}}}$ , cea a cuișorului sferic cu aceeași rază $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ este dat de

V={\frac {\alpha }{2\pi }}\cdot {\frac {4}{3}}\pi r^{3}={\frac {2}{3}}\alpha r^{3}.

{\ displaystyle V = {\ frac {\ alpha} {2 \ pi}} \ cdot {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3} = {\ frac {2} {3}} \ alpha r ^ {3}.}

{\ displaystyle V = {\ frac {\ alpha} {2 \ pi}} \ cdot {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3} = {\ frac {2} {3}} \ alpha r ^ {3}.}

Folosind același principiu și considerând că suprafața unei sfere este dată de $4\pi r^{2}$ ${\ displaystyle 4 \ pi r ^ {2}}$ ${\ displaystyle 4 \ pi r ^ {2}}$ , se poate observa că suprafața fusului sferic cu unghi diedru $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ este dat dat de:

A={\frac {\alpha }{2\pi }}\cdot 4\pi r^{2}=2\alpha r^{2}.

{\ displaystyle A = {\ frac {\ alpha} {2 \ pi}} \ cdot 4 \ pi r ^ {2} = 2 \ alpha r ^ {2}.}

{\ displaystyle A = {\ frac {\ alpha} {2 \ pi}} \ cdot 4 \ pi r ^ {2} = 2 \ alpha r ^ {2}.}

Având în vedere că volumul unui segment sferic este la volumul unei sfere, deoarece lățimea unghiului său diedru este la un unghi complet (360 °), se poate concluziona că, dacă $V_{\mathrm {s} }$ ${\ displaystyle V _ {\ mathrm {s}}}$ ${\ displaystyle V _ {\ mathrm {s}}}$ este volumul sferei e $V_{\mathrm {w} }$ ${\ displaystyle V _ {\ mathrm {w}}}$ ${\ displaystyle V _ {\ mathrm {w}}}$ este volumul segmentului sferic dat:

{\frac {V_{\mathrm {w} }}{V_{\mathrm {s} }}}={\frac {\alpha }{2\pi }}.

{\ displaystyle {\ frac {V _ {\ mathrm {w}}} {V _ {\ mathrm {s}}}} = {\ frac {\ alpha} {2 \ pi}}.}

{\ displaystyle {\ frac {V _ {\ mathrm {w}}} {V _ {\ mathrm {s}}}} = {\ frac {\ alpha} {2 \ pi}}.}

De asemenea, dacă $S_{\mathrm {f} }$ ${\ displaystyle S _ {\ mathrm {f}}}$ ${\ displaystyle S _ {\ mathrm {f}}}$ este suprafața fusului sferic e $S_{\mathrm {s} }$ ${\ displaystyle S _ {\ mathrm {s}}}$ ${\ displaystyle S _ {\ mathrm {s}}}$ este suprafața segmentului sferic:

{\frac {S_{\mathrm {f} }}{S_{\mathrm {s} }}}={\frac {\alpha }{2\pi }}.

{\ displaystyle {\ frac {S _ {\ mathrm {f}}} {S _ {\ mathrm {s}}}} = {\ frac {\ alpha} {2 \ pi}}.}

{\ displaystyle {\ frac {S _ {\ mathrm {f}}} {S _ {\ mathrm {s}}}} = {\ frac {\ alpha} {2 \ pi}}.}

Notă

^ Deși de multe ori, mai ales atunci când se referă la spații tridimensionale, termenii „sferă” și „minge” sunt folosiți interschimbabil pentru a însemna același solid, în matematică „sferă” înseamnă strict suprafața sferică care închide „bila”.
^ Andrea Pagano și Laura Tedeschini Lalli, Sfera ( PDF ), Universitatea Roma Tre. Adus la 10 mai 2021 .
^ Federigo Enriques și Ugo Amaldi, Elements of geometry , Studio Tesi Editions, p. 523. Adus pe 10 mai 2021 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Deși de multe ori, mai ales atunci când se referă la spații tridimensionale, termenii „sferă” și „minge” sunt folosiți interschimbabil pentru a însemna același solid, în matematică „sferă” înseamnă strict suprafața sferică care închide „bila”.

[2] Andrea Pagano și Laura Tedeschini Lalli, Sfera ( PDF ), Universitatea Roma Tre. Adus la 10 mai 2021 .

[3] Federigo Enriques și Ugo Amaldi, Elements of geometry , Studio Tesi Editions, p. 523. Adus pe 10 mai 2021 .

[1]

[2]

[3]