Sector sferic

Un sector sferic cu raza de bază a și raza laterală r , evidențiat în albastru.

În geometrie , un sector sferic este porțiunea unei bile (denumită în mod obișnuit „sferă” ^[1] ) mărginită de suprafața laterală a unui con drept având vârful în centrul mingii și de suprafața laterală a unui capac sferic , ambele fiind solide identificate de același plan secant la minge și, prin urmare, având baza în comun. ^[2]

Se observă că în cazul limitativ în care planul secant este diametral, unghiul de la vârful conului este egal cu π radiani și sectorul sferic constă deci dintr-o emisferă. În caz contrar, dacă planul este tangent la sferă, atunci sectorul sferic degenerează în segmentul care unește centrul mingii cu punctul de tangență. ^[2]

Proprietate

Volum

Fie r raza sferei și h înălțimea capacului sferic, volumul sectorului sferic poate fi scris ca:

V={\frac {2\pi r^{2}h}{3}}\,

{\ displaystyle V = {\ frac {2 \ pi r ^ {2} h} {3}} \,}

{\ displaystyle V = {\ frac {2 \ pi r ^ {2} h} {3}} \,}

sau, de asemenea, ca:

V={\frac {2\pi r^{3}}{3}}(1-\cos \varphi )\,,

{\ displaystyle V = {\ frac {2 \ pi r ^ {3}} {3}} (1- \ cos \ varphi) \ ,,}

{\ displaystyle V = {\ frac {2 \ pi r ^ {3}} {3}} (1- \ cos \ varphi) \ ,,}

unde φ este un unghi de amplitudine egal cu jumătate din deschiderea conului, adică este unghiul care există între înălțimea conului și raza sferei.

Volumul sectorului sferic este legat de aria capacului sferic, A _s , prin relația:

V={\frac {rA_{s}}{3}}\,.

{\ displaystyle V = {\ frac {rA_ {s}} {3}} \,.}

{\ displaystyle V = {\ frac {rA_ {s}} {3}} \,.}

Zonă

Fie r raza sferei, a , raza bazei capacului sferic și h înălțimea aceluiași capac, suprafața sectorului sferic, A , poate fi scrisă ca:

A=\pi r(a+2h)

{\ displaystyle A = \ pi r (a + 2h)}

{\ displaystyle A = \ pi r (a + 2h)}

sau, de asemenea, folosind unghiul definit anterior φ :

A=2\pi r^{2}(1-\cos \varphi )

{\ displaystyle A = 2 \ pi r ^ {2} (1- \ cos \ varphi)}

{\ displaystyle A = 2 \ pi r ^ {2} (1- \ cos \ varphi)}

Derivare

Prima formulă prezentată mai sus pentru calcularea volumului sectorului sferic poate fi derivată din suma volumului conului și a celui al capacului sferic care împarte baza circulară a razei a : ^[3]

V=V_{c}+V_{s}={\frac {\pi }{3}}\cdot a^{2}\cdot (r-h)+{\frac {\pi }{3}}\cdot h^{2}\cdot (3\cdot r-h)

{\ displaystyle V = V_ {c} + V_ {s} = {\ frac {\ pi} {3}} \ cdot a ^ {2} \ cdot (rh) + {\ frac {\ pi} {3}} \ cdot h ^ {2} \ cdot (3 \ cdot rh)}

{\ displaystyle V = V_ {c} + V_ {s} = {\ frac {\ pi} {3}} \ cdot a ^ {2} \ cdot (rh) + {\ frac {\ pi} {3}} \ cdot h ^ {2} \ cdot (3 \ cdot rh)}

și având în vedere că, prin teorema lui Pitagora : $a^{2}=2\cdot h\cdot r-h^{2}$ ${\ displaystyle a ^ {2} = 2 \ cdot h \ cdot rh ^ {2}}$ ${\ displaystyle a ^ {2} = 2 \ cdot h \ cdot r-h ^ {2}}$ .

A doua formulă poate fi derivată în schimb prin integrarea elementului volum $dV=\rho ^{2}\sin \phi d\rho d\phi d\theta$ ${\ displaystyle dV = \ rho ^ {2} \ sin \ phi d \ rho d \ phi d \ theta}$ ${\ displaystyle dV = \ rho ^ {2} \ sin \ phi d \ rho d \ phi d \ theta}$ în coordonate sferice :

V=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\varphi }\int _{0}^{r}\rho ^{2}\sin \phi \,d\rho d\phi d\theta =\int _{0}^{2\pi }d\theta \int _{0}^{\varphi }\sin \phi d\phi \int _{0}^{r}\rho ^{2}d\rho ={\frac {2\pi r^{3}}{3}}(1-\cos \varphi )\,

{\ displaystyle V = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ int _ {0} ^ {\ varphi} \ int _ {0} ^ {r} \ rho ^ {2} \ sin \ phi \, d \ rho d \ phi d \ theta = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} d \ theta \ int _ {0} ^ {\ varphi} \ sin \ phi d \ phi \ int _ {0} ^ {r} \ rho ^ {2} d \ rho = {\ frac {2 \ pi r ^ {3}} {3}} (1- \ cos \ varphi) \,}

{\ displaystyle V = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ int _ {0} ^ {\ varphi} \ int _ {0} ^ {r} \ rho ^ {2} \ sin \ phi \, d \ rho d \ phi d \ theta = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} d \ theta \ int _ {0} ^ {\ varphi} \ sin \ phi d \ phi \ int _ {0} ^ {r} \ rho ^ {2} d \ rho = {\ frac {2 \ pi r ^ {3}} {3}} (1- \ cos \ varphi) \,}

În mod similar, aria poate fi calculată prin integrarea elementului de zonă sferică $dA=r^{2}\sin \phi d\phi d\theta$ ${\ displaystyle dA = r ^ {2} \ sin \ phi d \ phi d \ theta}$ ${\ displaystyle dA = r ^ {2} \ sin \ phi d \ phi d \ theta}$ în coordonate sferice și amintind că r este constant:

A=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\varphi }r^{2}\sin \phi d\phi d\theta =r^{2}\int _{0}^{2\pi }d\theta \int _{0}^{\varphi }\sin \phi d\phi =2\pi r^{2}(1-\cos \varphi )\,,

{\ displaystyle A = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ int _ {0} ^ {\ varphi} r ^ {2} \ sin \ phi d \ phi d \ theta = r ^ {2} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} d \ theta \ int _ {0} ^ {\ varphi} \ sin \ phi d \ phi = 2 \ pi r ^ {2} (1- \ cos \ varphi) \ ,,}

{\ displaystyle A = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ int _ {0} ^ {\ varphi} r ^ {2} \ sin \ phi d \ phi d \ theta = r ^ {2} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} d \ theta \ int _ {0} ^ {\ varphi} \ sin \ phi d \ phi = 2 \ pi r ^ {2} (1- \ cos \ varphi) \ ,,}

unde φ este panta și θ este azimutul .

Notă

^ Deși de multe ori, mai ales atunci când se referă la spații tridimensionale, termenii „sferă” și „minge” sunt folosiți interschimbabil pentru a însemna același solid, în matematică „sferă” înseamnă strict suprafața sferică care închide „bila”.
^ ^a ^b Alberto Marini, Geometrie sferică ( PDF ), CNR , 18 mai 2015. Adus pe 10 mai 2021 .
^ Ulrich Hoensch, Triple Integrals in Cylindrical and Spherical Coordinates ( PDF ), Rocky Mountain College, 9 noiembrie 2012. Accesat la 10 mai 2021 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Deși de multe ori, mai ales atunci când se referă la spații tridimensionale, termenii „sferă” și „minge” sunt folosiți interschimbabil pentru a însemna același solid, în matematică „sferă” înseamnă strict suprafața sferică care închide „bila”.

[CNR-2] Alberto Marini, Geometrie sferică ( PDF ), CNR , 18 mai 2015. Adus pe 10 mai 2021 .

[3] Ulrich Hoensch, Triple Integrals in Cylindrical and Spherical Coordinates ( PDF ), Rocky Mountain College, 9 noiembrie 2012. Accesat la 10 mai 2021 .

[1]

[2]

[3]