Tabel de contingență

Tabelele de contingență sunt un anumit tip de tabele cu intrare dublă (adică tabele cu etichete de rânduri și coloane), utilizate în statistici pentru a reprezenta și analiza relațiile dintre două sau mai multe variabile . Ele raportează frecvențele comune ale variabilelor.

Cel mai simplu caz este cel al tabelelor tetracorice , în care fiecare dintre cele două variabile ia doar două valori posibile, de exemplu:

Păr Ochi	blondă	nu blond	Total
clar	21	19	40
neclar	9	51	60
Total	30	70	100

în care, din cele 100 de persoane examinate, 30 au părul blond, 40 au ochii deschisi și 21 au părul blond și ochii deschisi. Din aceste date este posibil să se derive datele rămase ale tabelului.

Folosind tabelele de contingență și efectuând calcule specifice asupra acestora, este posibil să se determine dependența sau independența dintre cele două variabile considerate, de exemplu pe baza valorii asumate de indicele de contingență pătratic $\chi ^{2}$ ${\ displaystyle \ chi ^ {2}}$ $\ cine ^ {2}$ (de Pearson ).

Cele două variabile luate în considerare sunt de tip discret cantitativ sau calitativ. Indicarea acestor variabile cu $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ , respectiv cu $x_{i}\;(i=1,2,\dots ,h)$ ${\ displaystyle x_ {i} \; (i = 1,2, \ dots, h)}$ ${\ displaystyle x_ {i} \; (i = 1,2, \ dots, h)}$ Și $y_{j}\;(j=1,2,\dots ,k)$ ${\ displaystyle y_ {j} \; (j = 1,2, \ dots, k)}$ ${\ displaystyle y_ {j} \; (j = 1,2, \ dots, k)}$ modurile detectate pentru cele două variabile, la fiecare pereche $(x_{i},y_{j})$ ${\ displaystyle (x_ {i}, y_ {j})}$ ${\ displaystyle (x_ {i}, y_ {j})}$ frecvența sa asociată este potrivită în tabel $n_{i,j}$ ${\ displaystyle n_ {i, j}}$ ${\ displaystyle n_ {i, j}}$ , adică numărul de elemente, dintre $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ din populație, care deține simultan modul $x_{i}$ ${\ displaystyle x_ {i}}$ $x_i$ din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $y_{j}$ ${\ displaystyle y_ {j}}$ ${\ displaystyle y_ {j}}$ din $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ .

Da X	$y_{1}$ ${\ displaystyle y_ {1}}$ $y_ {1}$	$y_{2}$ ${\ displaystyle y_ {2}}$ $y_ {2}$	$\dots$ ${\ displaystyle \ dots}$ $\ dots$	$y_{j}$ ${\ displaystyle y_ {j}}$ ${\ displaystyle y_ {j}}$	$\dots$ ${\ displaystyle \ dots}$ $\ dots$	$y_{k}$ ${\ displaystyle y_ {k}}$ $y_ {k}$	Total
$x_{1}$ ${\ displaystyle x_ {1}}$ $x_1$	$n_{1,1}$ ${\ displaystyle n_ {1,1}}$ ${\ displaystyle n_ {1,1}}$	$n_{1,2}$ ${\ displaystyle n_ {1,2}}$ ${\ displaystyle n_ {1,2}}$	$\dots$ ${\ displaystyle \ dots}$ $\ dots$	$n_{1,j}$ ${\ displaystyle n_ {1, j}}$ ${\ displaystyle n_ {1, j}}$	$\dots$ ${\ displaystyle \ dots}$ $\ dots$	$n_{1,k}$ ${\ displaystyle n_ {1, k}}$ ${\ displaystyle n_ {1, k}}$	$n_{1,\cdot }$ ${\ displaystyle n_ {1, \ cdot}}$ ${\ displaystyle n_ {1, \ cdot}}$
$x_{2}$ ${\ displaystyle x_ {2}}$ $x_2$	$n_{2,1}$ ${\ displaystyle n_ {2,1}}$ ${\ displaystyle n_ {2,1}}$	$n_{2,2}$ ${\ displaystyle n_ {2,2}}$ ${\ displaystyle n_ {2,2}}$	$\dots$ ${\ displaystyle \ dots}$ $\ dots$	$n_{2,j}$ ${\ displaystyle n_ {2, j}}$ ${\ displaystyle n_ {2, j}}$	$\dots$ ${\ displaystyle \ dots}$ $\ dots$	$n_{2,k}$ ${\ displaystyle n_ {2, k}}$ ${\ displaystyle n_ {2, k}}$	$n_{2,\cdot }$ ${\ displaystyle n_ {2, \ cdot}}$ ${\ displaystyle n_ {2, \ cdot}}$
$\dots$ ${\ displaystyle \ dots}$ $\ dots$	$\dots$ ${\ displaystyle \ dots}$ $\ dots$	$\dots$ ${\ displaystyle \ dots}$ $\ dots$	$\ddots$ ${\ displaystyle \ ddots}$ $\ ddots$	$\dots$ ${\ displaystyle \ dots}$ $\ dots$	$\dots$ ${\ displaystyle \ dots}$ $\ dots$	$\dots$ ${\ displaystyle \ dots}$ $\ dots$	$\dots$ ${\ displaystyle \ dots}$ $\ dots$
$x_{i}$ ${\ displaystyle x_ {i}}$ $x_i$	$n_{i,1}$ ${\ displaystyle n_ {i, 1}}$ ${\ displaystyle n_ {i, 1}}$	$n_{i,2}$ ${\ displaystyle n_ {i, 2}}$ ${\ displaystyle n_ {i, 2}}$	$\dots$ ${\ displaystyle \ dots}$ $\ dots$	$n_{i,j}$ ${\ displaystyle n_ {i, j}}$ ${\ displaystyle n_ {i, j}}$	$\dots$ ${\ displaystyle \ dots}$ $\ dots$	$n_{i,k}$ ${\ displaystyle n_ {i, k}}$ ${\ displaystyle n_ {i, k}}$	$n_{i,\cdot }$ ${\ displaystyle n_ {i, \ cdot}}$ ${\ displaystyle n_ {i, \ cdot}}$
$\dots$ ${\ displaystyle \ dots}$ $\ dots$	$\dots$ ${\ displaystyle \ dots}$ $\ dots$	$\dots$ ${\ displaystyle \ dots}$ $\ dots$	$\dots$ ${\ displaystyle \ dots}$ $\ dots$	$\dots$ ${\ displaystyle \ dots}$ $\ dots$	$\ddots$ ${\ displaystyle \ ddots}$ $\ ddots$	$\dots$ ${\ displaystyle \ dots}$ $\ dots$	$\dots$ ${\ displaystyle \ dots}$ $\ dots$
$x_{h}$ ${\ displaystyle x_ {h}}$ ${\ displaystyle x_ {h}}$	$n_{h,1}$ ${\ displaystyle n_ {h, 1}}$ ${\ displaystyle n_ {h, 1}}$	$n_{h,2}$ ${\ displaystyle n_ {h, 2}}$ ${\ displaystyle n_ {h, 2}}$	$\dots$ ${\ displaystyle \ dots}$ $\ dots$	$n_{h,j}$ ${\ displaystyle n_ {h, j}}$ ${\ displaystyle n_ {h, j}}$	$\dots$ ${\ displaystyle \ dots}$ $\ dots$	$n_{h,k}$ ${\ displaystyle n_ {h, k}}$ ${\ displaystyle n_ {h, k}}$	$n_{h,\cdot }$ ${\ displaystyle n_ {h, \ cdot}}$ ${\ displaystyle n_ {h, \ cdot}}$
Total	$n_{\cdot ,1}$ ${\ displaystyle n _ {\ cdot, 1}}$ ${\ displaystyle n _ {\ cdot, 1}}$	$n_{\cdot ,2}$ ${\ displaystyle n _ {\ cdot, 2}}$ ${\ displaystyle n _ {\ cdot, 2}}$	$\dots$ ${\ displaystyle \ dots}$ $\ dots$	$n_{\cdot ,j}$ ${\ displaystyle n _ {\ cdot, j}}$ ${\ displaystyle n _ {\ cdot, j}}$	$\dots$ ${\ displaystyle \ dots}$ $\ dots$	$n_{\cdot ,k}$ ${\ displaystyle n _ {\ cdot, k}}$ ${\ displaystyle n _ {\ cdot, k}}$	$n$ ${\ displaystyle n}$ $n$

unde este

$n_{i,\cdot }=\sum _{j=1}^{k}n_{i,j}\;(i=1,2,\dots ,h)$ ${\ displaystyle n_ {i, \ cdot} = \ sum _ {j = 1} ^ {k} n_ {i, j} \; (i = 1,2, \ dots, h)}$ ${\ displaystyle n_ {i, \ cdot} = \ sum _ {j = 1} ^ {k} n_ {i, j} \; (i = 1,2, \ dots, h)}$ reprezintă frecvențele marginale absolute ale $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ ,
$n_{\cdot ,j}=\sum _{i=1}^{h}n_{i,j}\;(j=1,2,\dots ,k)$ ${\ displaystyle n _ {\ cdot, j} = \ sum _ {i = 1} ^ {h} n_ {i, j} \; (j = 1,2, \ dots, k)}$ ${\ displaystyle n _ {\ cdot, j} = \ sum _ {i = 1} ^ {h} n_ {i, j} \; (j = 1,2, \ dots, k)}$ reprezintă frecvențele marginale absolute ale $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ .

Prin adăugarea tuturor frecvențelor absolute prezente în tabel, vom găsi numerozitatea $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ din populație :

$\sum _{i=1}^{h}\sum _{j=1}^{k}n_{i,j}=\sum _{i=1}^{h}n_{i,\cdot }=\sum _{j=1}^{k}n_{\cdot ,j}=n$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {h} \ sum _ {j = 1} ^ {k} n_ {i, j} = \ sum _ {i = 1} ^ {h} n_ {i, \ cdot} = \ sum _ {j = 1} ^ {k} n _ {\ cdot, j} = n}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {h} \ sum _ {j = 1} ^ {k} n_ {i, j} = \ sum _ {i = 1} ^ {h} n_ {i, \ cdot} = \ sum _ {j = 1} ^ {k} n _ {\ cdot, j} = n}$

De la frecvențe absolute $n_{i,j}$ ${\ displaystyle n_ {i, j}}$ ${\ displaystyle n_ {i, j}}$ se obțin frecvențe relative $f_{i,j}$ ${\ displaystyle f_ {i, j}}$ ${\ displaystyle f_ {i, j}}$ de calculat

$f_{i,j}=\left({\frac {n_{i,j}}{n}}\right)$ ${\ displaystyle f_ {i, j} = \ left ({\ frac {n_ {i, j}} {n}} \ right)}$ ${\ displaystyle f_ {i, j} = \ left ({\ frac {n_ {i, j}} {n}} \ right)}$

Da X	$y_{1}$ ${\ displaystyle y_ {1}}$ $y_ {1}$	$y_{2}$ ${\ displaystyle y_ {2}}$ $y_ {2}$	$\dots$ ${\ displaystyle \ dots}$ $\ dots$	$y_{j}$ ${\ displaystyle y_ {j}}$ ${\ displaystyle y_ {j}}$	$\dots$ ${\ displaystyle \ dots}$ $\ dots$	$y_{k}$ ${\ displaystyle y_ {k}}$ $y_ {k}$	Total
$x_{1}$ ${\ displaystyle x_ {1}}$ $x_1$	$f_{1,1}$ ${\ displaystyle f_ {1,1}}$ ${\ displaystyle f_ {1,1}}$	$f_{1,2}$ ${\ displaystyle f_ {1,2}}$ ${\ displaystyle f_ {1,2}}$	$\dots$ ${\ displaystyle \ dots}$ $\ dots$	$f_{1,j}$ ${\ displaystyle f_ {1, j}}$ ${\ displaystyle f_ {1, j}}$	$\dots$ ${\ displaystyle \ dots}$ $\ dots$	$f_{1,k}$ ${\ displaystyle f_ {1, k}}$ ${\ displaystyle f_ {1, k}}$	$f_{1,\cdot }$ ${\ displaystyle f_ {1, \ cdot}}$ ${\ displaystyle f_ {1, \ cdot}}$
$x_{2}$ ${\ displaystyle x_ {2}}$ $x_2$	$f_{2,1}$ ${\ displaystyle f_ {2,1}}$ ${\ displaystyle f_ {2,1}}$	$f_{2,2}$ ${\ displaystyle f_ {2,2}}$ ${\ displaystyle f_ {2,2}}$	$\dots$ ${\ displaystyle \ dots}$ $\ dots$	$f_{2,j}$ ${\ displaystyle f_ {2, j}}$ ${\ displaystyle f_ {2, j}}$	$\dots$ ${\ displaystyle \ dots}$ $\ dots$	$f_{2,k}$ ${\ displaystyle f_ {2, k}}$ ${\ displaystyle f_ {2, k}}$	$f_{2,\cdot }$ ${\ displaystyle f_ {2, \ cdot}}$ ${\ displaystyle f_ {2, \ cdot}}$
$\dots$ ${\ displaystyle \ dots}$ $\ dots$	$\dots$ ${\ displaystyle \ dots}$ $\ dots$	$\dots$ ${\ displaystyle \ dots}$ $\ dots$	$\ddots$ ${\ displaystyle \ ddots}$ $\ ddots$	$\dots$ ${\ displaystyle \ dots}$ $\ dots$	$\dots$ ${\ displaystyle \ dots}$ $\ dots$	$\dots$ ${\ displaystyle \ dots}$ $\ dots$	$\dots$ ${\ displaystyle \ dots}$ $\ dots$
$x_{i}$ ${\ displaystyle x_ {i}}$ $x_i$	$f_{i,1}$ ${\ displaystyle f_ {i, 1}}$ ${\ displaystyle f_ {i, 1}}$	$f_{i,2}$ ${\ displaystyle f_ {i, 2}}$ ${\ displaystyle f_ {i, 2}}$	$\dots$ ${\ displaystyle \ dots}$ $\ dots$	$f_{i,j}$ ${\ displaystyle f_ {i, j}}$ ${\ displaystyle f_ {i, j}}$	$\dots$ ${\ displaystyle \ dots}$ $\ dots$	$f_{i,k}$ ${\ displaystyle f_ {i, k}}$ ${\ displaystyle f_ {i, k}}$	$f_{i,\cdot }$ ${\ displaystyle f_ {i, \ cdot}}$ ${\ displaystyle f_ {i, \ cdot}}$
$\dots$ ${\ displaystyle \ dots}$ $\ dots$	$\dots$ ${\ displaystyle \ dots}$ $\ dots$	$\dots$ ${\ displaystyle \ dots}$ $\ dots$	$\dots$ ${\ displaystyle \ dots}$ $\ dots$	$\dots$ ${\ displaystyle \ dots}$ $\ dots$	$\ddots$ ${\ displaystyle \ ddots}$ $\ ddots$	$\dots$ ${\ displaystyle \ dots}$ $\ dots$	$\dots$ ${\ displaystyle \ dots}$ $\ dots$
$x_{h}$ ${\ displaystyle x_ {h}}$ ${\ displaystyle x_ {h}}$	$f_{h,1}$ ${\ displaystyle f_ {h, 1}}$ ${\ displaystyle f_ {h, 1}}$	$f_{h,2}$ ${\ displaystyle f_ {h, 2}}$ ${\ displaystyle f_ {h, 2}}$	$\dots$ ${\ displaystyle \ dots}$ $\ dots$	$f_{h,j}$ ${\ displaystyle f_ {h, j}}$ ${\ displaystyle f_ {h, j}}$	$\dots$ ${\ displaystyle \ dots}$ $\ dots$	$f_{h,k}$ ${\ displaystyle f_ {h, k}}$ ${\ displaystyle f_ {h, k}}$	$f_{h,\cdot }$ ${\ displaystyle f_ {h, \ cdot}}$ ${\ displaystyle f_ {h, \ cdot}}$
Total	$f_{\cdot ,1}$ ${\ displaystyle f _ {\ cdot, 1}}$ ${\ displaystyle f _ {\ cdot, 1}}$	$f_{\cdot ,2}$ ${\ displaystyle f _ {\ cdot, 2}}$ ${\ displaystyle f _ {\ cdot, 2}}$	$\dots$ ${\ displaystyle \ dots}$ $\ dots$	$f_{\cdot ,j}$ ${\ displaystyle f _ {\ cdot, j}}$ ${\ displaystyle f _ {\ cdot, j}}$	$\dots$ ${\ displaystyle \ dots}$ $\ dots$	$f_{\cdot ,k}$ ${\ displaystyle f _ {\ cdot, k}}$ ${\ displaystyle f _ {\ cdot, k}}$	$1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$