Teorema votului

Același subiect în detaliu: Buletin de vot .

Teorema votului își ia numele din problema pe care inițial își propune să o rezolve:

Având alegeri cu

n

{\ displaystyle n}

n

voturi valabile și doar doi candidați

LA

{\ displaystyle A}

LA

Și

B.

{\ displaystyle B}

B.

primesc respectiv

la

{\ displaystyle a}

la

Și

b

{\ displaystyle b}

b

, unde este

a>b

{\ displaystyle a> b}

a> b

(și evident

a+b=n

{\ displaystyle a + b = n}

{\ displaystyle a + b = n}

), care este probabilitatea ca, în numărarea voturilor,

LA

{\ displaystyle A}

LA

rezultă în orice moment (în afară de faptul că la început) strict înainte

B.

{\ displaystyle B}

B.

?

Această probabilitate este ${\frac {a-b}{a+b}}$ ${\ displaystyle {\ frac {ab} {a + b}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {a-b} {a + b}}}$ , adică exprimat ca procent , $\alpha -\beta$ ${\ displaystyle \ alpha - \ beta}$ ${\ displaystyle \ alpha - \ beta}$ , unde este $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ Și $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ ${\ displaystyle \ beta}$ sunt respectiv procentele de voturi ale $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ .

Demonstrație

Pentru a demonstra acest rezultat, se poate parcurge principiul reflecției .

Este $n=a+b$ ${\ displaystyle n = a + b}$ ${\ displaystyle n = a + b}$ (numărul alegătorilor). Ne despărțim $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ , ansamblul tuturor buletinelor de vot posibile (formal, dintre toate $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -copii ordonate de voturi), în 3 subseturi:

$N^{+}$ ${\ displaystyle N ^ {+}}$ ${\ displaystyle N ^ {+}}$ , care conține toate buletinele de vot posibile în care merge primul vot $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ și care văd, la un moment dat, o situație de echilibru
$N^{-}$ ${\ displaystyle N ^ {-}}$ ${\ displaystyle N ^ {-}}$ , care conține toate buletinele de vot posibile în care merge primul vot $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ (întrucât Un total a primit mai multe voturi, este de la sine înțeles că chiar și în aceste buletine de vot vedem, mai devreme sau mai târziu, cel puțin o situație de egalitate)
$S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ , care conține toate buletinele de vot posibile pe care le văd $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ mereu înainte (cele care ne interesează)

De exemplu, dacă luăm cazul unde $a=7,b=4,n=11$ ${\ displaystyle a = 7, b = 4, n = 11}$ ${\ displaystyle a = 7, b = 4, n = 11}$ , și reprezentăm fiecare vot pentru $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ cu 1 și fiecare vot pentru $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ cu -1 avem că:

(1 1 -1 -1 1 -1 1 1 1 1 -1 -1) $\in N^{+}$ ${\ displaystyle \ în N ^ {+}}$ ${\ displaystyle \ în N ^ {+}}$ , deoarece 1 + 1-1-1 = 0,
(-1 -1 1 -1 1 1 1 -1 1 1 1 1) $\in N^{-}$ ${\ displaystyle \ in N ^ {-}}$ ${\ displaystyle \ in N ^ {-}}$ , pentru că primul vot este pentru $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ (și de fapt -1-1 + 1-1 + 1 + 1 = 0), în timp ce
(1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 1 1) $\in S$ ${\ displaystyle \ în S}$ ${\ displaystyle \ în S}$

Se întâmplă cu ușurință că $N^{+}\cup N^{-}\cup S=T$ ${\ displaystyle N ^ {+} \ cup N ^ {-} \ cup S = T}$ ${\ displaystyle N ^ {+} \ cup N ^ {-} \ cup S = T}$ .

În acest moment luăm orice $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -upla in $N^{+}$ ${\ displaystyle N ^ {+}}$ ${\ displaystyle N ^ {+}}$ . Să presupunem că reprezintă un buletin de vot în care primul egal (poate să nu fie singurul) are loc mai târziu $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ voturile scrutate. Dacă înlocuim, în primul $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ câmpurile din $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -upla, fiecare 1 cu un -1 și invers primim un nou tuplu din care va face parte $N^{-}$ ${\ displaystyle N ^ {-}}$ ${\ displaystyle N ^ {-}}$ (de fapt, această substituție nu modifică numărul total de 1s și -1s). Dacă, pe de altă parte, aplicăm aceeași procedură unui element de $N^{-}$ ${\ displaystyle N ^ {-}}$ ${\ displaystyle N ^ {-}}$ , obținem un element de $N^{+}$ ${\ displaystyle N ^ {+}}$ ${\ displaystyle N ^ {+}}$ . Este ușor de verificat că cel descris tocmai este o corespondență unu-la-unu între aceste două subseturi, care, prin urmare, au în mod necesar aceeași cardinalitate . Aceasta este probabilitatea ca, după ce ați ales un posibil scrutin aleatoriu, să facă parte din acesta $N^{+}$ ${\ displaystyle N ^ {+}}$ ${\ displaystyle N ^ {+}}$ , este egal cu probabilitatea că face parte din $N^{-}$ ${\ displaystyle N ^ {-}}$ ${\ displaystyle N ^ {-}}$ (formal, acest lucru este justificat prin utilizarea probabilității uniforme pe setul de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -uple cu termenii +1 și -1).

Graficul tendinței de vot pentru un n-tuplu aparținând $N^{+}$ ${\ displaystyle N ^ {+}}$ ${\ displaystyle N ^ {+}}$ .
Graficul tendinței de vot pentru un n-tuplu aparținând $N^{-}$ ${\ displaystyle N ^ {-}}$ ${\ displaystyle N ^ {-}}$ .
Graficul tendinței de vot pentru un n-tuplu aparținând $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ .
Reflectând un n-tuplu aparținând $N^{+}$ ${\ displaystyle N ^ {+}}$ ${\ displaystyle N ^ {+}}$ , obținem unul aparținând $N^{-}$ ${\ displaystyle N ^ {-}}$ ${\ displaystyle N ^ {-}}$ .

Acum nu este dificil să calculăm probabilitatea ca un vot ales aleatoriu să facă parte $N^{-}$ ${\ displaystyle N ^ {-}}$ ${\ displaystyle N ^ {-}}$ , pentru că este pur și simplu probabilitatea ca primul vot să fie examinat $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ , adică ${\frac {b}{n}}={\frac {b}{a+b}}$ ${\ displaystyle {\ frac {b} {n}} = {\ frac {b} {a + b}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {b} {n}} = {\ frac {b} {a + b}}}$ , care este, de asemenea, probabilitatea ca sondajul să facă parte din $N^{+}$ ${\ displaystyle N ^ {+}}$ ${\ displaystyle N ^ {+}}$ . Probabilitatea ca acesta să nu facă parte din niciunul și, prin urmare, face parte din $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ , Și: $1-{\frac {2b}{a+b}}={\frac {a+b-2b}{a+b}}={\frac {a-b}{a+b}}$ ${\ displaystyle 1 - {\ frac {2b} {a + b}} = {\ frac {a + b-2b} {a + b}} = {\ frac {ab} {a + b}}}$ ${\ displaystyle 1 - {\ frac {2b} {a + b}} = {\ frac {a + b-2b} {a + b}} = {\ frac {a-b} {a + b}}}$ .

Un alt mod clasic de a demonstra acest rezultat folosește principiul inducției .

Istorie

Diverse generalizări ale problemei scrutinului au fost studiate în două direcții:

candidații nu sunt 2, ci orice număr ( $A_{1},A_{2},\cdots A_{m}$ ${\ displaystyle A_ {1}, A_ {2}, \ cdots A_ {m}}$ ${\ displaystyle A_ {1}, A_ {2}, \ cdots A_ {m}}$ cu respectiv $a_{1},a_{2},\cdots a_{m}$ ${\ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, \ cdots a_ {m}}$ ${\ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, \ cdots a_ {m}}$ voturi fiecare)
diferența de consens între cei doi candidați nu este exprimată ca o diferență de voturi sau ca procent, ci ca un raport al numărului de voturi obținute (candidatul $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ are $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ de ori mai multe voturi decât $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ )

Teorema votului este adesea asociată cu numele lui Joseph Louis François Bertrand , un matematician francez din secolul al XIX-lea.

Mizeria jucătorului

Într-un test care a început deja, în care $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ beneficiază de o marjă de avantaj mic (comparativ cu numărul de voturi care urmează să fie analizate), posibilitatea pentru $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ a reveni momentan la o remiză depinde de o dinamică similară cu cea a ruinei jucătorului , unde probabilitatea, la fiecare remiză, a unei "victorii" pentru $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ poate fi aproximat cu raportul numărului de voturi care nu trebuie încă analizate de $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ iar cele din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ : cu toate acestea, această probabilitate scade pe măsură ce votul se desfășoară și posibilitatea ca candidatul $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ înapoi în cravată devine nul atunci când rămân doar pentru examinare $a-b$ ${\ displaystyle ab}$ $a-b$ voturi.

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere din teorema scrutinului

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică