Teorema fluturelui

În matematică , și în special geometria euclidiană , teorema fluturelui afirmă că:

este

M.

{\ displaystyle M}

M.

punctul de mijloc al unui șir

P. Î

{\ displaystyle PQ}

PQ

a unui cerc și sunt

LA B.

{\ displaystyle AB}

AB

Și

C. D.

{\ displaystyle CD}

CD

trecând alte două frânghii

M.

{\ displaystyle M}

M.

și sunt

X

{\ displaystyle X}

X

Și

Da

{\ displaystyle Y}

Da

punctele de intersecție dintre corzi

LA D.

{\ displaystyle AD}

LA

Și

B. C.

{\ displaystyle BC}

Î.Hr.

iar frânghia

P. Î

{\ displaystyle PQ}

PQ

respectiv. Atunci

M.

{\ displaystyle M}

M.

va fi punctul de mijloc al

X Da

{\ displaystyle XY}

X Y

.

Demonstrație

Dovada teoremei fluturilor

Lasa-i sa fie $X X^{'}$ ${\ displaystyle XX '}$ ${\ displaystyle XX '}$ Și $X X^{″}$ ${\ displaystyle XX ''}$ ${\ displaystyle XX ''}$ perpendiculare, conduse de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , respectiv a $LA M.$ ${\ displaystyle AM}$ ${\ displaystyle AM}$ este la $D. M.$ ${\ displaystyle DM}$ ${\ displaystyle DM}$ . În mod similar, sunt $Da {Da}^{'}$ ${\ displaystyle YY '}$ ${\ displaystyle YY '}$ Și $Da {Da}^{″}$ ${\ displaystyle YY ''}$ ${\ displaystyle YY ''}$ perpendiculare, conduse de $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ , respectiv a $B. M.$ ${\ displaystyle BM}$ ${\ displaystyle BM}$ este la $C. M.$ ${\ displaystyle CM}$ ${\ displaystyle CM}$ .

Acum, de atunci

\triangle MXX'\sim \triangle MYY',\,

{\ displaystyle \ triangle MXX '\ sim \ triangle MYY', \,}

{\ displaystyle \ triangle MXX '\ sim \ triangle MYY', \,}

{MX \over MY}={XX' \over YY'},

{\ displaystyle {MX \ over MY} = {XX '\ over YY'},}

{\ displaystyle {MX \ over MY} = {XX '\ over YY'},}

\triangle MXX''\sim \triangle MYY'',\,

{\ displaystyle \ triangle MXX '' \ sim \ triangle MYY '', \,}

{\ displaystyle \ triangle MXX '' \ sim \ triangle MYY '', \,}

{MX \over MY}={XX'' \over YY''},

{\ displaystyle {MX \ over MY} = {XX '' \ over YY ''},}

{\ displaystyle {MX \ over MY} = {XX '' \ over YY ''},}

\triangle AXX'\sim \triangle CYY'',\,

{\ displaystyle \ triangle AXX '\ sim \ triangle CYY' ', \,}

{\ displaystyle \ triangle AXX '\ sim \ triangle CYY' ', \,}

{XX' \over YY''}={AX \over CY},

{\ displaystyle {XX '\ over YY' '} = {AX \ over CY},}

{\ displaystyle {XX '\ over YY' '} = {AX \ over CY},}

\triangle DXX''\sim \triangle BYY',\,

{\ displaystyle \ triangle DXX '' \ sim \ triangle BYY ', \,}

{\ displaystyle \ triangle DXX '' \ sim \ triangle BYY ', \,}

{XX'' \over YY'}={DX \over BY},

{\ displaystyle {XX '' \ over YY '} = {DX \ over BY},}

{\ displaystyle {XX '' \ over YY '} = {DX \ over BY},}

Din ecuațiile de mai sus, putem deduce cu ușurință acest lucru

\left({MX \over MY}\right)^{2}={XX' \over YY'}{XX'' \over YY''},

{\ displaystyle \ left ({MX \ over MY} \ right) ^ {2} = {XX '\ over YY'} {XX '' \ over YY ''},}

{\ displaystyle \ left ({MX \ over MY} \ right) ^ {2} = {XX '\ over YY'} {XX '' \ over YY ''},}

{}={AX.DX \over CY.BY},

{\ displaystyle {} = {AX.DX \ peste CY.BY},}

{\ displaystyle {} = {AX.DX \ peste CY.BY},}

{}={PX.QX \over PY.QY},

{\ displaystyle {} = {PX.QX \ over PY.QY},}

{\ displaystyle {} = {PX.QX \ peste PY.QY},}

{}={(PM-XM).(MQ+XM) \over (PM+MY).(QM-MY)},

{\ displaystyle {} = {(PM-XM). (MQ + XM) \ over (PM + MY). (QM-MY)},}

{\ displaystyle {} = {(PM-XM). (MQ + XM) \ over (PM + MY). (QM-MY)},}

{}={(PM)^{2}-(MX)^{2} \over (PM)^{2}-(MY)^{2}},

{\ displaystyle {} = {(PM) ^ {2} - (MX) ^ {2} \ over (PM) ^ {2} - (MY) ^ {2}},}

{\ displaystyle {} = {(PM) ^ {2} - (MX) ^ {2} \ over (PM) ^ {2} - (MY) ^ {2}},}

atâta timp cât $P. M.$ ${\ displaystyle PM}$ ${\ displaystyle PM}$ = $M. Î$ ${\ displaystyle MQ}$ ${\ displaystyle MQ}$

Acum,

{(MX)^{2} \over (MY)^{2}}={(PM)^{2}-(MX)^{2} \over (PM)^{2}-(MY)^{2}}.

{\ displaystyle {(MX) ^ {2} \ over (MY) ^ {2}} = {(PM) ^ {2} - (MX) ^ {2} \ over (PM) ^ {2} - (MY ) ^ {2}}.}

{\ displaystyle {(MX) ^ {2} \ over (MY) ^ {2}} = {(PM) ^ {2} - (MX) ^ {2} \ over (PM) ^ {2} - (MY ) ^ {2}}.}

Prin urmare, putem concluziona că $MX=MY,$ ${\ displaystyle MX = MY,}$ ${\ displaystyle MX = MY,}$ , adică $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este punctul de mijloc al $X Da .$ ${\ displaystyle XY.}$ ${\ displaystyle XY.}$