Teorema lui Tutti

În matematică disciplina a teoriei grafurilor, Tutti teorema, numit după William Thomas Tutti , este o caracterizare a graficelor cu cuplaje perfecte . Este o generalizare a teoremei căsătoriei și este un caz special de formula Tutti-Berge .

Teorema lui Tutti

Un grafic, $\scriptstyle G=(V,E)$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle G = (V, E)}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle G = (V, E)}$ , Are o perfectă dacă și numai dacă meciul pentru orice subgrup $\scriptstyle U$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle U}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle U}$ din $\scriptstyle V$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle V}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle V}$ , Subgraful indusă de $\scriptstyle V-U$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle VU}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle V-U}$ are cel mult $\scriptstyle |U|$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle | U |}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle | U |}$ Componentele conectate cu un număr impar de noduri . ^[1]

Demonstrație

În primul rând vom scrie condiția:

(*)\qquad \forall U\subseteq V,\quad o(G-U)\leq |U|

{\ Displaystyle (*) \ prototipurilor \ forall U \ subseteq V \ quad o (GU) \ leq | U |}

{\ Displaystyle (*) \ prototipurilor \ forall U \ subseteq V \ quad o (G-U) \ leq | U |}

Need for (*): Luați în considerare un grafic $\scriptstyle G$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle G}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle G}$ , Cu o potrivire perfectă. Este $\scriptstyle U$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle U}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle U}$ un subset arbitrar de $\scriptstyle V$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle V}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle V}$ . Elimină-te $\scriptstyle U$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle U}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle U}$ . Este $\scriptstyle C$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle C}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle C}$ o componentă in mod arbitrar impar $\scriptstyle G-U$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle GU}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle G-U}$ . Atâta timp cât $\scriptstyle G$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle G}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle G}$ a avut o potrivire perfectă, cel puțin un nod în $\scriptstyle C$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle C}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle C}$ trebuie cuplat la un nod în $\scriptstyle U$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle U}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle U}$ . Prin urmare, fiecare componentă ciudată a cuplat cu cel puțin un nod cu un vârf în $\scriptstyle U$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle U}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle U}$ . Din moment ce fiecare nod în $\scriptstyle U$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle U}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle U}$ ea poate fi în această relație cu cel mult o componentă conectată (așa cum este cuplat cel mult o singură dată într-o potrivire perfectă), $\scriptstyle o(G-U)\leq |U|$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle sau (GU) \ leq | U |}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle o (G-U) \ leq | U |}$ .

Suficiența (*): Fie $\scriptstyle G$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle G}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle G}$ un grafic arbitrar care satisface (*). Luați în considerare extinderea $\scriptstyle G$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle G}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle G}$ la $\scriptstyle G*\$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle G * \}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle G * \}$ , Un grafic maxim imperfectă, în sensul că $\scriptstyle G$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle G}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle G}$ este un subgraf se întinde de $\scriptstyle G*\$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle G * \}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle G * \}$ , Dar adaugă o margine la $\scriptstyle G*\$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle G * \}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle G * \}$ va avea ca rezultat o potrivire perfectă. Observăm că $\scriptstyle G*\$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle G * \}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle G * \}$ De asemenea, satisface condiția (*) de la $\scriptstyle G*\$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle G * \}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle G * \}$ Și $\scriptstyle G$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle G}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle G}$ cu marginile suplimentare. Este $\scriptstyle U$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle U}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle U}$ set de vârfuri de grad $\scriptstyle |V|-1$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle | V | -1}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle | V | -1}$ . Eliminând $\scriptstyle U$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle U}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle U}$ , Obținem o uniune disjuncte de grafice complete (fiecare componentă este un grafic complet). Putem defini acum o potrivire perfectă prin cuplarea în mod independent, fiecare componentă chiar și cuplarea unui nod al unei componente ciudat $\scriptstyle C$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle C}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle C}$ la un nod în $\scriptstyle U$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle U}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle U}$ și nodurile rămase $\scriptstyle C$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle C}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle C}$ între ele (deoarece un număr chiar de ei rămâne acest lucru este posibil). Restul nodurile din $\scriptstyle U$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle U}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle U}$ ele pot fi asociat într-un mod similar, prin aceea că $\scriptstyle U$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle U}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle U}$ Este complet.

Această demonstrație nu este completă. Elimina $\scriptstyle U$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle U}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle U}$ se poate crea o uniune disjuncte de grafice complete, dar cazul în care acest lucru nu se întâmplă este cea mai interesantă și dificilă parte a demonstrației.

Notă

^ Lovász & Plummer (1986) , p. 84 .

Bibliografie

JA Bondy și USR Murty, Teoria grafurilor cu aplicatii, New York, American Elsevier Pub. Co, 1976, ISBN 0-444-19451-7 .
László Lovász și MD Plummer , de potrivire teorie, Amsterdam, Olanda de Nord, 1986, ISBN 0-444-87916-1 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu matematica

[1] Lovász & Plummer (1986) , p. 84 .

[1]