Con trunchiat

Con trunchiat 3D

În geometria solidă , conul trunchiat este un con pe care vârful a fost tăiat cu un plan paralel cu baza. Dacă planul nu este paralel cu baza, secțiunea obținută este o elipsă în loc de un cerc.

Formule

Este $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ un con trunchiat în înălțime $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ și ale căror baze au raze $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ Și $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ . Trunchiul Volumul este egal cu

V={\frac {1}{3}}\pi h(R^{2}+rR+r^{2}).

{\ displaystyle V = {\ frac {1} {3}} \ pi h (R ^ {2} + rR + r ^ {2}).}

{\ displaystyle V = {\ frac {1} {3}} \ pi h (R ^ {2} + rR + r ^ {2}).}

Suprafața laterală $S_{l}$ ${\ displaystyle S_ {l}}$ ${\ displaystyle S_ {l}}$ a conului trunchiat este dat de formula

S_{l}=\pi (r+R)a

{\ displaystyle S_ {l} = \ pi (r + R) a}

{\ displaystyle S_ {l} = \ pi (r + R) a}

unde este $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este apotema , lungimea laturii oblice a conului trunchiat, egală cu

a={\sqrt {h^{2}+(R-r)^{2}}}.

{\ displaystyle a = {\ sqrt {h ^ {2} + (Rr) ^ {2}}}.}

{\ displaystyle a = {\ sqrt {h ^ {2} + (R-r) ^ {2}}}.}

Suprafața totală a conului este dată de formula:

S_{t}=S_{l}+S_{b},

{\ displaystyle S_ {t} = S_ {l} + S_ {b},}

{\ displaystyle S_ {t} = S_ {l} + S_ {b},}

sau

S_{t}=S_{l}+\pi (R^{2}+r^{2}).

{\ displaystyle S_ {t} = S_ {l} + \ pi (R ^ {2} + r ^ {2}).}

{\ displaystyle S_ {t} = S_ {l} + \ pi (R ^ {2} + r ^ {2}).}

Demonstrarea formulei de volum

Se dă un con trunchiat T în care R este raza bazei majore, r cea a minorului și h înălțimea.

Extindeți suprafața laterală din partea lui r până _se obține conul V ₁ cu baza în R și înălțimea egală cu h + h ₂ , unde h ₂ este înălțimea conului V ₂ cu baza în r . Prin urmare, volumul portbagajului este:

$V_{T}=V_{1}-V_{2}$ ${\ displaystyle V_ {T} = V_ {1} -V_ {2}}$ ${\ displaystyle V_ {T} = V_ {1} -V_ {2}}$

Triunghiurile cu laturile r și h ₂ și cu laturile h și Rr sunt similare, deoarece toate au unghiuri egale. Prin urmare, putem scrie:

$h:(R-r)=h_{2}:r$ ${\ displaystyle h: (Rr) = h_ {2}: r}$ ${\ displaystyle h: (R-r) = h_ {2}: r}$

Prin urmare: $h_{2}={\frac {hr}{R-r}}$ ${\ displaystyle h_ {2} = {\ frac {hr} {Rr}}}$ ${\ displaystyle h_ {2} = {\ frac {hr} {R-r}}}$

Pornind de la formula volumului conului:

$V_{1}={\frac {\pi R^{2}(h+h_{2})}{3}}$ ${\ displaystyle V_ {1} = {\ frac {\ pi R ^ {2} (h + h_ {2})} {3}}}$ ${\ displaystyle V_ {1} = {\ frac {\ pi R ^ {2} (h + h_ {2})} {3}}}$

$V_{2}={\frac {\pi r^{2}h_{2}}{3}}$ ${\ displaystyle V_ {2} = {\ frac {\ pi r ^ {2} h_ {2}} {3}}}$ ${\ displaystyle V_ {2} = {\ frac {\ pi r ^ {2} h_ {2}} {3}}}$

Înlocuind în h ₂ :

$V_{1}={\frac {\pi R^{2}h}{3}}+{\frac {\pi R^{2}hr}{3(R-r)}}$ ${\ displaystyle V_ {1} = {\ frac {\ pi R ^ {2} h} {3}} + {\ frac {\ pi R ^ {2} hr} {3 (Rr)}}}$ ${\ displaystyle V_ {1} = {\ frac {\ pi R ^ {2} h} {3}} + {\ frac {\ pi R ^ {2} hr} {3 (R-r)}}}$

$V_{2}={\frac {\pi r^{2}hr}{3(R-r)}}$ ${\ displaystyle V_ {2} = {\ frac {\ pi r ^ {2} hr} {3 (Rr)}}}$ ${\ displaystyle V_ {2} = {\ frac {\ pi r ^ {2} hr} {3 (R-r)}}}$

Revenind la formula inițială:

$V_{T}={\frac {\pi R^{2}h}{3}}+{\frac {\pi R^{2}hr}{3(R-r)}}-{\frac {\pi r^{2}hr}{3(R-r)}}$ ${\ displaystyle V_ {T} = {\ frac {\ pi R ^ {2} h} {3}} + {\ frac {\ pi R ^ {2} hr} {3 (Rr)}} - {\ frac {\ pi r ^ {2} hr} {3 (Rr)}}}$ ${\ displaystyle V_ {T} = {\ frac {\ pi R ^ {2} h} {3}} + {\ frac {\ pi R ^ {2} hr} {3 (Rr)}} - {\ frac {\ pi r ^ {2} hr} {3 (Rr)}}}$

$V_{T}={\frac {\pi h}{3}}(R^{2}+{\frac {R^{2}r}{R-r}}-{\frac {r^{3}}{R-r}})$ ${\ displaystyle V_ {T} = {\ frac {\ pi h} {3}} (R ^ {2} + {\ frac {R ^ {2} r} {Rr}} - {\ frac {r ^ { 3}} {Rr}})}$ ${\ displaystyle V_ {T} = {\ frac {\ pi h} {3}} (R ^ {2} + {\ frac {R ^ {2} r} {Rr}} - {\ frac {r ^ { 3}} {Rr}})}$

$V_{T}={\frac {\pi h}{3}}{\frac {R^{3}-R^{2}r+R^{2}r-r^{3}}{R-r}}$ ${\ displaystyle V_ {T} = {\ frac {\ pi h} {3}} {\ frac {R ^ {3} -R ^ {2} r + R ^ {2} rr ^ {3}} {Rr }}}$ ${\ displaystyle V_ {T} = {\ frac {\ pi h} {3}} {\ frac {R ^ {3} -R ^ {2} r + R ^ {2} rr ^ {3}} {Rr }}}$

$V_{T}={\frac {\pi h}{3}}{\frac {R^{3}-r^{3}}{R-r}}$ ${\ displaystyle V_ {T} = {\ frac {\ pi h} {3}} {\ frac {R ^ {3} -r ^ {3}} {Rr}}}$ ${\ displaystyle V_ {T} = {\ frac {\ pi h} {3}} {\ frac {R ^ {3} -r ^ {3}} {R-r}}}$

$V_{T}={\frac {\pi h}{3}}{\frac {(R-r)(R^{2}+r^{2}+Rr)}{R-r}}$ ${\ displaystyle V_ {T} = {\ frac {\ pi h} {3}} {\ frac {(Rr) (R ^ {2} + r ^ {2} + Rr)} {Rr}}}$ ${\ displaystyle V_ {T} = {\ frac {\ pi h} {3}} {\ frac {(R-r) (R ^ {2} + r ^ {2} + Rr)} {R-r}}}$

$V_{T}={\frac {\pi h}{3}}(R^{2}+r^{2}+Rr)$ ${\ displaystyle V_ {T} = {\ frac {\ pi h} {3}} (R ^ {2} + r ^ {2} + Rr)}$ ${\ displaystyle V_ {T} = {\ frac {\ pi h} {3}} (R ^ {2} + r ^ {2} + Rr)}$

Volumul conului eliptic trunchiat

Formula pentru calcularea volumului unui con trunchiat eliptic este următoarea:

$V={\frac {\pi }{3}}\left\{r^{3}\tan {\alpha }-{\frac {1}{2}}b\left[{\sqrt {4a^{2}-(H-h)^{2}}}(r\tan {\alpha }-h)-(H-h)(r-h\cot {\alpha })\right]\right\}$ ${\ displaystyle V = {\ frac {\ pi} {3}} \ left \ {r ^ {3} \ tan {\ alpha} - {\ frac {1} {2}} b \ left [{\ sqrt { 4a ^ {2} - (Hh) ^ {2}}} (r \ tan {\ alpha} -h) - (Hh) (rh \ cot {\ alpha}) \ right] \ right \}}$ ${\ displaystyle V = {\ frac {\ pi} {3}} \ left \ {r ^ {3} \ tan {\ alpha} - {\ frac {1} {2}} b \ left [{\ sqrt { 4a ^ {2} - (Hh) ^ {2}}} (r \ tan {\ alpha} -h) - (Hh) (rh \ cot {\ alpha}) \ right] \ right \}}$

unde V este volumul conului trunchiat, r este raza, α este înclinația apotemei conului secționat, a și b sunt semi-axele elipsei obținute prin secționarea conului și H și h sunt maxime și respectiv înălțimea minimă a conului trunchiat.

Comparație cu cilindrul

Un cilindru poate fi gândit ca un con trunchiat cu baze de dimensiuni egale. Prin urmare, pornind de la formula volumului unui con trunchiat C pentru care raza R este, de asemenea, egală cu r, avem:

$V_{C}={\frac {\pi h}{3}}(R^{2}+R^{2}+RR)$ ${\ displaystyle V_ {C} = {\ frac {\ pi h} {3}} (R ^ {2} + R ^ {2} + RR)}$ ${\ displaystyle V_ {C} = {\ frac {\ pi h} {3}} (R ^ {2} + R ^ {2} + RR)}$

$V_{C}={\frac {\pi h}{3}}(3R^{2})$ ${\ displaystyle V_ {C} = {\ frac {\ pi h} {3}} (3R ^ {2})}$ ${\ displaystyle V_ {C} = {\ frac {\ pi h} {3}} (3R ^ {2})}$