Abilități (matematică)

O capacitate , numită și probabilitate non-aditivă, este o funcție setată $\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ definit pe o algebră ${\mathfrak {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {A}}}$ ${\ mathfrak {A}}$ de subseturi ale unui set $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ care se bucură de următoarele proprietăți:

Setul gol are măsura zero :

\nu (\varnothing )=0

{\ displaystyle \ nu (\ varnothing) = 0}

{\ displaystyle \ nu (\ varnothing) = 0}

.

Monotonie: dacă E ₁ și E ₂ aparțin ${\mathfrak {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {A}}}$ ${\ mathfrak {A}}$

E_{1}\subseteq E_{2}~\Longrightarrow ~\nu (E_{1})\leq \nu (E_{2})

{\ displaystyle E_ {1} \ subseteq E_ {2} ~ \ Longrightarrow ~ \ nu (E_ {1}) \ leq \ nu (E_ {2})}

{\ displaystyle E_ {1} \ subseteq E_ {2} ~ \ Longrightarrow ~ \ nu (E_ {1}) \ leq \ nu (E_ {2})}

În cele din urmă, trebuie să îndeplinească următoarea proprietate:

\nu (X)=1

{\ displaystyle \ nu (X) = 1}

{\ displaystyle \ nu (X) = 1}

.

Spre deosebire de măsura probabilității, aditivitatea nu este necesară.

Proprietățile unei capacități

Deoarece aditivitatea nu este necesară, următoarea proprietate

\nu (A\cap B)+\nu (A\cup B)=\nu (A)+\nu (B)

{\ displaystyle \ nu (A \ cap B) + \ nu (A \ cup B) = \ nu (A) + \ nu (B)}

{\ displaystyle \ nu (A \ cap B) + \ nu (A \ cup B) = \ nu (A) + \ nu (B)}

pentru $A,B\in {\mathfrak {A}}$ ${\ displaystyle A, B \ in {\ mathfrak {A}}}$ ${\ displaystyle A, B \ in {\ mathfrak {A}}}$ , în general nu este satisfăcut în sens strict. De fapt se spune că o capacitate este concavă dacă