Catastrofa cerului albastru

Catastrofa cerului albastru (în engleză „blue sky catastrophe”) este un fenomen care apare în sistemele dinamice : constă într-o bifurcație a unui ciclu limită .

Descriere

În teoria sistemelor dinamice, o bifurcație este un fenomen care apare atunci când unul sau mai multe puncte de echilibru sunt create, distruse sau modificate (de exemplu, de la instabil la stabil sau invers) prin manipularea unui parametru de guvernare a ecuațiilor diferențiale ale sistemului dinamic. Unele bifurcații pot duce la catastrofe .

Bifurcațiile sunt împărțite în:

Bifurcațiile locale , care pot fi studiate în întregime prin schimbarea punctelor de echilibru sau a stabilității acestora: metoda de liniarizare este, prin urmare, utilă;
Bifurcațiile globale , mai complicate și care, în general, nu pot fi analizate doar prin studiul punctelor fixe.

Exemplu

Acest tip de bifurcație este direct legat de histerezis , un fenomen tipic pentru multe bifurcații în studiul sistemelor dinamice. Pentru a înțelege mai bine conceptul, putem cita exemplul în care inițial o șa este situată aproape și ușor deasupra unui ciclu de limită într-un spațiu de fază bidimensional, în interiorul căruia se află un repulsor (ciclu de limită atractiv). Punctul de șa are stabilitate la stânga și la dreapta și instabilitate în sus și în jos; prin urmare, dacă orientăm planul de fază cu punctele cardinale, există orbite care vin din est și vest care se termină în șa și orbite care își au originea în șa și se îndepărtează spre nord și sud (cele spre sud vor fi capturate de către cer, deoarece șa este deasupra buclei). De sine $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ este parametrul care guvernează $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ într-o ecuație de genul ${\dot {x}}=f_{\phi }(t,x)$ ${\ displaystyle {\ dot {x}} = f _ {\ phi} (t, x)}$ ${\ displaystyle {\ dot {x}} = f _ {\ phi} (t, x)}$ (adică dacă $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ este parametrul a cărui variație dă naștere bifurcațiilor), pe măsură ce crește, punctul de șa se apropie din ce în ce mai mult de orbita închisă, până când devine parte a acesteia, atunci când ramurile inferioară și stângă coincid cu o parte a limitei ciclului ( $\phi =\phi _{cr}$ ${\ displaystyle \ phi = \ phi _ {cr}}$ ${\ displaystyle \ phi = \ phi _ {cr}}$ ). Prin urmare, avem o conexiune homoclină: orbita care provine din șa și merge spre sud este homoclină (de perioadă infinită), deoarece se întoarce la locul unde sa născut. Din nou în creștere $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ ${\ displaystyle \ phi}$ șa se deplasează în jos de-a lungul ciclului: să presupunem că traiectoriile care vin din est rămân aproape neschimbate în timp ce cele care vin din vest sunt modificate, astfel încât acum toate orbitele născute din repulsor ajung din stânga. Atunci orbita periodică este „ruptă”, iar asta înseamnă că traiectoriile care încep de la șa o vor urma pe cea care a caracterizat ciclul limită și apoi se vor regăsi deasupra punctului critic și, dată fiind instabilitatea spre nord, vor divergea la nesfârșit și „ dispare în cerul albastru ".

Acest tip de bifurcație este structural stabil, în sensul că diagrama de bifurcație se va deforma ușor, dar va rămâne neschimbată calitativ pentru mici variații ale ecuațiilor sistemului.

Dacă ar exista un punct de echilibru stabil în nord (și acest lucru poate fi obținut prin modificarea ecuațiilor de guvernare în anumite moduri), odată ce s-a produs catastrofa, sistemul s-ar muta în acea configurație de echilibru; in scadere $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ ciclul limită s-ar forma din nou, dar sistemul va rămâne în continuare în echilibru stabil până când acesta din urmă va fi distrus (de exemplu printr-o altă bifurcație); atunci ar exista un salt de la echilibru la orbita periodică. Acesta este fenomenul histerezisului în teoria sistemelor dinamice .

Bibliografie

Catastrofe pe cerul albastru , articol din Scholarpedia
Verhulst Ferdinand, Ecuații diferențiale neliniare și sisteme dinamice , Springer , 1990
Thompson JMT, Stewart HB, Nonlinear Dynamics and Chaos , John Wiley & Sons , 1986

Portalul de fizică

Portalul de matematică