Controlul Deadbeat

Controlul Deadbeat , în contextul controlului automat , este o tehnică utilizată pentru sintetizarea controlerelor analogice sau digitale. Principalele sale obiective, ca răspuns la un semnal de intrare dat, sunt obținerea unor proprietăți dinamice bune și absența unei erori la starea de echilibru.

Controlere digitale

Un controler digital deadbeat necesită ca, după aplicarea unui semnal de testare (treaptă, rampă, antena etc.):

ieșirea atinge valoarea finală în timpul minim
eroarea de staționare este zero
nu există sunete între momentele de eșantionare

Proiecta

În primul rând, considerăm un sistem de feedback unitar, descris de funcția de transfer discret:

$G(z)={\frac {D(z)G_{p}(z)}{1+D(z)G_{p}(z)}}$ ${\ displaystyle G (z) = {\ frac {D (z) G_ {p} (z)} {1 + D (z) G_ {p} (z)}}}$ ${\ displaystyle G (z) = {\ frac {D (z) G_ {p} (z)} {1 + D (z) G_ {p} (z)}}}$

În acest context $D(z)$ ${\ displaystyle D (z)}$ ${\ displaystyle D (z)}$ este controlerul și $G_{p}(z)$ ${\ displaystyle G_ {p} (z)}$ ${\ displaystyle G_ {p} (z)}$ funcția de transfer a plantei.

Proiectarea se face prin sinteză directă . Cu alte cuvinte, se alege forma generică care va avea funcția de a transfera sistemul în buclă închisă și de la aceea se impune forma regulatorului. De sine $G_{m}(z)$ ${\ displaystyle G_ {m} (z)}$ ${\ displaystyle G_ {m} (z)}$ este forma sistemului de buclă închisă pe care doriți să o impuneți, este ușor să verificați dacă forma controlerului va fi $D(z)={\frac {G_{m}(z)}{G_{p}(z)\left[1-G_{m}(z)\right]}}$ ${\ displaystyle D (z) = {\ frac {G_ {m} (z)} {G_ {p} (z) \ left [1-G_ {m} (z) \ right]}}}$ ${\ displaystyle D (z) = {\ frac {G_ {m} (z)} {G_ {p} (z) \ left [1-G_ {m} (z) \ right]}}}$ oricare ar fi valoarea $G_{m}(z)$ ${\ displaystyle G_ {m} (z)}$ ${\ displaystyle G_ {m} (z)}$ . Prin urmare, este posibil să se împartă proiectarea în mai multe faze distincte, fiecare dintre ele va impune specificații din ce în ce mai stricte asupra formei pe care trebuie să o aibă regulatorul.

Atingerea valorii finale în timp minim

Pentru ca ieșirea să-și atingă valoarea finală într-un număr limitat de pași, funcția de transfer a sistemului cu buclă închisă trebuie să fie de tipul $G_{m}(z)=a_{0}+a_{1}z^{-1}+...+a_{N}z^{-N}$ ${\ displaystyle G_ {m} (z) = a_ {0} + a_ {1} z ^ {- 1} + ... + a_ {N} z ^ {- N}}$ ${\ displaystyle G_ {m} (z) = a_ {0} + a_ {1} z ^ {- 1} + ... + a_ {N} z ^ {- N}}$ unde, pentru ca întârzierea sistemului cu buclă închisă să nu fie mai mică decât cea a sistemului cu buclă deschisă, trebuie să fie $N\geq n$ ${\ displaystyle N \ geq n}$ ${\ displaystyle N \ geq n}$ dacă n este gradul polinomului caracteristic al plantei.

Rețineți cum regulatorul are dinamica inversă a instalației. Deși acest lucru este întotdeauna posibil din punct de vedere matematic, din punct de vedere practic, trebuie îndeplinite o serie de condiții care să asigure faptul că sistemul cu buclă închisă este stabil și că controlerul este cauzal.

Condițiile cauzale sunt:

Gradul numărătorului lui D (z) nu poate fi mai mare decât gradul numitorului
Dacă în instalație există o întârziere de k intervale de eșantionare, în controler trebuie să existe în mod necesar o întârziere de h intervale de eșantionare cu $h\geq k$ ${\ displaystyle h \ geq k}$ ${\ displaystyle h \ geq k}$

Prima dintre aceste condiții este dictată de faptul că dacă gradul numărătorului funcției de transfer este mai mare decât gradul numitorului, acesta răspunde la un impuls Kronecker aplicat la instant zero cu un semnal mai rapid decât semnalul de intrare. Prin urmare, sistemul este anticipator și nu este fezabil din punct de vedere fizic.

Condițiile pentru stabilitate sunt:

Toți polii instabili sau stabili critic ai $G_{p}(z)$ ${\ displaystyle G_ {p} (z)}$ ${\ displaystyle G_ {p} (z)}$ trebuie să fie zerouri ale $1-G_{m}(z)$ ${\ displaystyle 1-G_ {m} (z)}$ ${\ displaystyle 1-G_ {m} (z)}$
Toate zerourile din $G_{p}(z)$ ${\ displaystyle G_ {p} (z)}$ ${\ displaystyle G_ {p} (z)}$ care se află în regiunea instabilității trebuie să fie zerouri ale $G_{m}(z)$ ${\ displaystyle G_ {m} (z)}$ ${\ displaystyle G_ {m} (z)}$

Aceste condiții sunt necesare, deoarece în practică nu este posibil să se compenseze cu precizie poli și zerouri. În acest sens, trebuie amintit că un model matematic nu reprezintă sistemul în sine, ci o aproximare a acestuia. Uneori, aceste sisteme sunt cunoscute numai datorită variabilelor lor externe și, prin urmare, constituie o aproximare foarte brută. Pentru ceea ce sa spus, este imposibil să se stabilească cu exactitate poziția unui pol sau a unui zero pentru a le compensa cu precizie. Toate acestea nu creează probleme pentru stabilitatea sistemului atunci când polii sunt stabili, dar situația devine problematică dacă polii sunt instabili (se pot realiza cu ușurință efectele unei anulări imperfecte a unui pol sau a unui zero analizând locul rădăcinile sistemului).

Eroare de regim zero

O intrare este considerată sub forma:

$V(z)={\frac {P(z)}{\left(1-z^{-1}\right)^{q+1}}}$ ${\ displaystyle V (z) = {\ frac {P (z)} {\ left (1-z ^ {- 1} \ right) ^ {q + 1}}}}$ ${\ displaystyle V (z) = {\ frac {P (z)} {\ left (1-z ^ {- 1} \ right) ^ {q + 1}}}}$

Include cele mai simple semnale de referință:

pentru $P(z)=1$ ${\ displaystyle P (z) = 1}$ ${\ displaystyle P (z) = 1}$ Și $q=0$ ${\ displaystyle q = 0}$ ${\ displaystyle q = 0}$ avem pasul unității
pentru $P(z)=Tz^{-1}$ ${\ displaystyle P (z) = Tz ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle P (z) = Tz ^ {- 1}}$ Și $q=1$ ${\ displaystyle q = 1}$ $q = 1$ aveți rampa unității

si asa mai departe.

Vrem ca eroarea să meargă la zero într-un timp finit și să rămână așa. Din moment ce dinamica erorii poate fi scrisă ca:

${\begin{aligned}E(z)&=V(z)-Y(z)\\&=V(z)-V(z)G_{m}(z)\\&={\frac {P(z)\left[1-G_{m}(z)\right]}{(1-z^{-1})^{q+1}}}\end{aligned}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} E (z) & = V (z) -Y (z) \\ & = V (z) -V (z) G_ {m} (z) \\ & = {\ frac {P (z) \ left [1-G_ {m} (z) \ right]} {(1-z ^ {- 1}) ^ {q + 1}}} \ end {align}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} E (z) & = V (z) -Y (z) \\ & = V (z) -V (z) G_ {m} (z) \\ & = {\ frac {P (z) \ left [1-G_ {m} (z) \ right]} {(1-z ^ {- 1}) ^ {q + 1}}} \ end {align}}}$

se impune condiția $1-G_{m}(z)=(1-z^{-1})^{q+1}N(z)$ ${\ displaystyle 1-G_ {m} (z) = (1-z ^ {- 1}) ^ {q + 1} N (z)}$ ${\ displaystyle 1-G_ {m} (z) = (1-z ^ {- 1}) ^ {q + 1} N (z)}$ unde este $N(z)$ ${\ displaystyle N (z)}$ ${\ displaystyle N (z)}$ este un polinom generic în $z^{-1}$ ${\ displaystyle z ^ {- 1}}$ $z ^ {- 1}$ . În acest fel, se verifică cu ușurință că eroarea va avea dinamica $E(z)=P(z)N(z)$ ${\ displaystyle E (z) = P (z) N (z)}$ ${\ displaystyle E (z) = P (z) N (z)}$ și, prin urmare, va merge la zero după un număr finit de pași, indiferent de valoarea lui $N(z)$ ${\ displaystyle N (z)}$ ${\ displaystyle N (z)}$ cu condiția respectării condițiilor de stabilitate și cauzalitate.

Evitați fenomenele de sunet

Pentru a înțelege ce este fenomenul de sunet și cum să îl preveniți, este necesar să studiați dinamica variabilei de acționare. În acest sens, luați în considerare o plantă cu toți polii și zerourile din regiunea stabilității și ambele $p_{1}=-a$ ${\ displaystyle p_ {1} = - a}$ ${\ displaystyle p_ {1} = - a}$ un pol al controlerului foarte aproape de punctul -1. Cu aceste ipoteze se demonstrează că controlerul de intrare pas poate fi scris sub forma: $D(z)={\frac {1}{(z+a){\tilde {G}}_{p}(z)}}{\frac {1}{z^{h}-1}}$ ${\ displaystyle D (z) = {\ frac {1} {(z + a) {\ tilde {G}} _ {p} (z)}} {\ frac {1} {z ^ {h} -1 }}}$ ${\ displaystyle D (z) = {\ frac {1} {(z + a) {\ tilde {G}} _ {p} (z)}} {\ frac {1} {z ^ {h} -1 }}}$

În acest caz, variabila de acționare poate fi descrisă de funcția de transfer: ${\frac {U(z)}{V(z)}}={\frac {D(z)}{1+D(z)G_{p}(z)}}={\frac {1}{{\tilde {G}}_{p}(z)(z+a)}}z^{-h}$ ${\ displaystyle {\ frac {U (z)} {V (z)}} = {\ frac {D (z)} {1 + D (z) G_ {p} (z)}} = {\ frac { 1} {{\ tilde {G}} _ {p} (z) (z + a)}} z ^ {- h}}$ ${\ displaystyle {\ frac {U (z)} {V (z)}} = {\ frac {D (z)} {1 + D (z) G_ {p} (z)}} = {\ frac { 1} {{\ tilde {G}} _ {p} (z) (z + a)}} z ^ {- h}}$ .

Folosind o expansiune simplă a fracției, este posibil să se arate că polul din -a contribuie la variabila de acționare a tipului $(-a)^{k}$ ${\ displaystyle (-a) ^ {k}}$ ${\ displaystyle (-a) ^ {k}}$ adică alternând cu modul descrescător. Cu alte cuvinte, puteți avea o variabilă de acționare care variază foarte brusc, mai ales la început și poate deteriora dispozitivele de acționare.

Acest fenomen apare de obicei pentru perioade de eșantionare foarte scurte.

Pentru a evita fenomenele de sonerie, trebuie impuse condiții variabilei de acționare. În acest sens, variabila de acționare poate fi legată de semnalul de intrare:

$U(z)={\frac {Y(z)}{G_{p}(z)}}=G_{m}(z){\frac {V(z)}{G_{p}(z)}}$ ${\ displaystyle U (z) = {\ frac {Y (z)} {G_ {p} (z)}} = G_ {m} (z) {\ frac {V (z)} {G_ {p} ( z)}}}$ ${\ displaystyle U (z) = {\ frac {Y (z)} {G_ {p} (z)}} = G_ {m} (z) {\ frac {V (z)} {G_ {p} ( z)}}}$

În acest fel este posibil să „alegeți” funcția, forma dorită pentru variabila de acționare și să obțineți constantele polinomului $G_{m}(z)$ ${\ displaystyle G_ {m} (z)}$ ${\ displaystyle G_ {m} (z)}$ .

Metoda simplificată

Dacă instalația nu are nici poli, nici zerouri în afara cercului unitar, poate fi considerată o metodă simplificată pentru proiectarea controlerului.

În acest caz, de fapt, puteți ajunge oricând la situația ideală în care $G_{m}(z)=z^{-k}$ ${\ displaystyle G_ {m} (z) = z ^ {- k}}$ ${\ displaystyle G_ {m} (z) = z ^ {- k}}$ . În acest caz, sistemul se comportă din toate punctele de vedere ca un adevărat „deadbeat”, deoarece ieșirea urmează fidel intrarea după k instante de eșantionare.

În această situație, pentru intrările în trepte, este ușor să verificați dacă controlerul poate fi rescris ca: $D(z)={\frac {1}{G_{p}(z)}}{\frac {z^{-k}}{1-z^{-k}}}$ ${\ displaystyle D (z) = {\ frac {1} {G_ {p} (z)}} {\ frac {z ^ {- k}} {1-z ^ {- k}}}}$ ${\ displaystyle D (z) = {\ frac {1} {G_ {p} (z)}} {\ frac {z ^ {- k}} {1-z ^ {- k}}}}$

Rețineți că nu sunt impuse specificații variabilei de implementare. Cu alte cuvinte, această metodă singură nu este capabilă să evite fenomenele de sunet.

Metodă simplificată cu specificații privind implementarea

O altă metodă simplificată pentru proiectarea unui controler deadbeat poate fi luată în considerare prin impunerea de specificații variabilei de acționare.

Luați în considerare o plantă generică $G_{p}(z)$ ${\ displaystyle G_ {p} (z)}$ ${\ displaystyle G_ {p} (z)}$ exprimată în variabilă $z^{-1}$ ${\ displaystyle z ^ {- 1}}$ $z ^ {- 1}$ (doar înmulțiți numeratorul și numitorul cu $z^{-n}$ ${\ displaystyle z ^ {- n}}$ ${\ displaystyle z ^ {- n}}$ , unde este $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este gradul maxim).

Se înmulțește și se împarte la o constantă, astfel încât suma coeficienților numărătorului $P(Z)$ ${\ displaystyle P (Z)}$ ${\ displaystyle P (Z)}$ este egal cu unul, obținând o nouă funcție sub forma: $G'(z)={\frac {P(z)}{Q(z)}}$ ${\ displaystyle G '(z) = {\ frac {P (z)} {Q (z)}}}$ ${\ displaystyle G '(z) = {\ frac {P (z)} {Q (z)}}}$ .

Controlorul va fi apoi:

$D(z)={\frac {Q(z)}{1-P(z)}}$ ${\ displaystyle D (z) = {\ frac {Q (z)} {1-P (z)}}}$ ${\ displaystyle D (z) = {\ frac {Q (z)} {1-P (z)}}}$

Controlere analogice

În sistemele de timp continuu, controlul deadbeat necesită, ca răspuns la o anumită intrare:

Eroare nulă în stare de echilibru
Timp minim de ridicare
Timp minim de decantare
Mai puțin de 2% depășire / depășire
Iesire semnal de control foarte mare

Rețineți că, spre deosebire de controlul digital, controlul analogic nu poate garanta că ieșirea atinge semnalul de referință într-un timp finit.

Bibliografie

C. Bonivento, C. Melchiorri, R. Zanasi, Sisteme de control digital , Esculapio, 1995. 8885040969
ID Landau, G. Zito, Sisteme digitale de control , Springer, 2006. 1846280559