Corelarea încrucișată

În teoria semnalelor, corelația încrucișată (numită și corelație reciprocă sau corelație încrucișată , din engleză cross-correlation ) reprezintă măsura similarității a două semnale în funcție de o schimbare de timp sau de traducere aplicată unuia dintre ele.

Definiție intuitivă

Luând în considerare două semnale cu valoare reală $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ care diferă doar printr-o deplasare pe axa t, corelația încrucișată poate fi calculată pentru a arăta cu cât $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ trebuie anticipat pentru a-l face identic cu $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ . Formula anticipează în esență semnalul $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ de-a lungul axei t, calculând integralul produsului pentru fiecare valoare posibilă a deplasării. Când cele două semnale coincid, valoarea lui $(x\star y)$ ${\ displaystyle (x \ star y)}$ ${\ displaystyle (x \ star y)}$ este maximizat, deoarece atunci când formele de undă sunt aliniate, ele contribuie doar pozitiv la calculul zonei.

Cu semnale complexe $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ , ia conjugat de $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ asigură că formele de undă aliniate cu componentele imaginare contribuie pozitiv la calculul integralei.

Definiție formală

Pentru două semnale de energie finită x și y , corelația încrucișată este definită ca:

R_{xy}(t)=(x\star y)(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\int _{-\infty }^{\infty }x^{*}(\tau )\ y(t+\tau )\,d\tau

{\ displaystyle R_ {xy} (t) = (x \ star y) (t) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x ^ {*} (\ tau) \ y (t + \ tau) \, d \ tau}

{\ displaystyle R_ {xy} (t) = (x \ star y) (t) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x ^ {*} (\ tau) \ y (t + \ tau) \, d \ tau}

unde x * denotă conjugatul complex al lui x .

Pentru două secvențe de timp discret, corelația încrucișată este definită ca:

R_{xy}[n]=(x\star y)[n]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\sum _{m=-\infty }^{\infty }x^{*}[m]\ y[n+m]

{\ displaystyle R_ {xy} [n] = (x \ star y) [n] \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} x ^ {*} [m] \ y [n + m]}

{\ displaystyle R_ {xy} [n] = (x \ star y) [n] \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} x ^ {*} [m] \ y [n + m]}

În mod similar, în cazul semnalelor de alimentare, putem scrie:

R_{xy}(t)=(x\star y)(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}x^{*}(\tau )\ y(t+\tau )\,d\tau

{\ displaystyle R_ {xy} (t) = (x \ star y) (t) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ lim _ {T \ to \ infty} {\ frac {1 } {T}} \ int _ {- {\ frac {T} {2}}} ^ {\ frac {T} {2}} x ^ {*} (\ tau) \ y (t + \ tau) \ , d \ tau}

{\ displaystyle R_ {xy} (t) = (x \ star y) (t) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ lim _ {T \ to \ infty} {\ frac {1 } {T}} \ int _ {- {\ frac {T} {2}}} ^ {\ frac {T} {2}} x ^ {*} (\ tau) \ y (t + \ tau) \ , d \ tau}

și pentru secvențe de putere:

R_{xy}[n]=(x\star y)[n]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{2N+1}}\sum _{m=-N}^{N}x^{*}[m]\ y[n+m]

{\ displaystyle R_ {xy} [n] = (x \ star y) [n] \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ lim _ {N \ to \ infty} {\ frac {1 } {2N + 1}} \ sum _ {m = -N} ^ {N} x ^ {*} [m] \ y [n + m]}

{\ displaystyle R_ {xy} [n] = (x \ star y) [n] \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ lim _ {N \ to \ infty} {\ frac {1 } {2N + 1}} \ sum _ {m = -N} ^ {N} x ^ {*} [m] \ y [n + m]}

Corelația încrucișată este similară în natură cu convoluția dintre două semnale. Spre deosebire de convoluție, care implică inversarea în timp a unui semnal și apoi deplasarea și produsul pentru un alt semnal, corelația implică doar deplasarea și produsul.

Proprietate

Corelația încrucișată a semnalelor x ( t ) și y ( t ) este echivalentă cu convoluția lui x * (- t ) și y ( t ):

x\star y=(t\mapsto x^{*}(-t))*y.

{\ displaystyle x \ star y = (t \ mapsto x ^ {*} (- t)) * y.}

{\ displaystyle x \ star y = (t \ mapsto x ^ {*} (- t)) * y.}

În mod similar teoremei convoluției , corelația încrucișată satisface proprietatea:

{\mathcal {F}}\{x\star y\}=({\mathcal {F}}\{x\})^{*}\cdot {\mathcal {F}}\{y\},

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ {x \ star y \} = ({\ mathcal {F}} \ {x \}) ^ {*} \ cdot {\ mathcal {F}} \ {y \ },}

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ {x \ star y \} = ({\ mathcal {F}} \ {x \}) ^ {*} \ cdot {\ mathcal {F}} \ {y \ },}

in care ${\mathcal {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ mathcal {F}}$ denotă transformata Fourier.

Corelația încrucișată are densitatea spectrală ca transformată Fourier (vezi teorema Wiener-Khinchin ).
Corelația încrucișată a convoluției dintre x și z cu o funcție y este convoluția corelației lui x și y cu nucleul z :

(x*z)\star y=z(-)*(x\star y)

{\ displaystyle (x * z) \ stea y = z (-) * (x \ stea y)}

{\ displaystyle (x * z) \ stea y = z (-) * (x \ stea y)}

De sine $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ sunt două variabile aleatorii statistic independente cu densități de probabilitate f și respectiv g , apoi densitatea de probabilitate a diferenței $X-Y$ ${\ displaystyle XY}$ ${\ displaystyle X-Y}$ este dată de corelația încrucișată f $\star$ ${\ displaystyle \ star}$ $\ stea$ g . În schimb, convoluția f $*$ ${\ displaystyle *}$ $*$ g dă densitatea probabilității sumei $X+Y$ ${\ displaystyle X + Y}$ $X + Y$ .

Autocorelare

O autocorelație este corelația încrucișată a unui semnal cu el însuși,

Pentru un semnal de energie finită x autocorelația este definită ca:

R_{x}(t){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\int _{-\infty }^{\infty }x^{*}(\tau )\ x(t+\tau )\,d\tau

{\ displaystyle R_ {x} (t) {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x ^ {*} (\ tau) \ x (t + \ tau) \, d \ tau}

{\ displaystyle R_ {x} (t) {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x ^ {*} (\ tau) \ x (t + \ tau) \, d \ tau}

unde x * denotă conjugatul complex al lui x .

Pentru o secvență de timp discret, autocorelația este definită ca:

R_{x}[n]{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\sum _{m=-\infty }^{\infty }x^{*}[m]\ x[n+m]

{\ displaystyle R_ {x} [n] {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} x ^ {*} [m] \ x [ n + m]}

{\ displaystyle R_ {x} [n] {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} x ^ {*} [m] \ x [ n + m]}

În mod similar, în cazul semnalelor de putere finite, putem scrie:

R_{x}(t){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}x^{*}(\tau )\ x(t+\tau )\,d\tau

{\ displaystyle R_ {x} (t) {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ lim _ {T \ to \ infty} {\ frac {1} {T}} \ int _ {- { \ frac {T} {2}}} ^ {\ frac {T} {2}} x ^ {*} (\ tau) \ x (t + \ tau) \, d \ tau}

{\ displaystyle R_ {x} (t) {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ lim _ {T \ to \ infty} {\ frac {1} {T}} \ int _ {- { \ frac {T} {2}}} ^ {\ frac {T} {2}} x ^ {*} (\ tau) \ x (t + \ tau) \, d \ tau}

și pentru secvențe de putere finite:

R_{x}[n]{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{2N+1}}\sum _{m=-N}^{N}x^{*}[m]\ x[n+m]

{\ displaystyle R_ {x} [n] {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ lim _ {N \ to \ infty} {\ frac {1} {2N + 1}} \ sum _ { m = -N} ^ {N} x ^ {*} [m] \ x [n + m]}

{\ displaystyle R_ {x} [n] {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ lim _ {N \ to \ infty} {\ frac {1} {2N + 1}} \ sum _ { m = -N} ^ {N} x ^ {*} [m] \ x [n + m]}

Utilizarea sa, de exemplu, este pentru a verifica orice tipar de periodicitate al semnalului x (t), în acest caz, de fapt, și corelația are periodicitate egală cu o anumită valoare a parametrului de traducere.

Proprietățile autocorelației

Autocorelația are întotdeauna un vârf la origine.

Autocorelația unui semnal este o funcție de simetrie hermitiană, $R_{x}^{*}(t)=R_{x}(-t)$ ${\ displaystyle R_ {x} ^ {*} (t) = R_ {x} (- t)}$ ${\ displaystyle R_ {x} ^ {*} (t) = R_ {x} (- t)}$ , intr-adevar

{\begin{aligned}R_{x}^{*}(t)&=\int _{-\infty }^{\infty }\left[x^{*}(\tau )\ x(t+\tau )\,d\tau \right]^{*}\\&=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\ x^{*}(t+\tau )\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }x^{*}(\tau ')\ x(\tau '-t)\,d\tau '\\&=\int _{-\infty }^{\infty }x^{*}(\tau ')\ x(\tau '+(-t))\,d\tau '\\&=R_{x}(-t)\\\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} R_ {x} ^ {*} (t) & = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ left [x ^ {*} (\ tau) \ x ( t + \ tau) \, d \ tau \ right] ^ {*} \\ & = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (\ tau) \ x ^ {*} (t + \ tau ) \, d \ tau \\ & = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x ^ {*} (\ tau ') \ x (\ tau' -t) \, d \ tau '\\ & = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x ^ {*} (\ tau ') \ x (\ tau' + (- t)) \, d \ tau '\\ & = R_ {x } (-t) \\\ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} R_ {x} ^ {*} (t) & = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ left [x ^ {*} (\ tau) \ x ( t + \ tau) \, d \ tau \ right] ^ {*} \\ & = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (\ tau) \ x ^ {*} (t + \ tau ) \, d \ tau \\ & = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x ^ {*} (\ tau ') \ x (\ tau' -t) \, d \ tau '\\ & = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x ^ {*} (\ tau ') \ x (\ tau' + (- t)) \, d \ tau '\\ & = R_ {x } (-t) \\\ end {align}}}

unde a fost utilizată identitatea $t+\tau =\tau '$ ${\ displaystyle t + \ tau = \ tau '}$ ${\ displaystyle t + \ tau = \ tau '}$ .

Autocorelația unui semnal complet real este chiar și atunci când simetria hermitiană diferă de paritatea pentru conjugat, dar pe reale coincide cu numărul în sine.

Valoarea asumată în origine coincide cu energia semnalului:

R_{x}(0)=\int _{-\infty }^{\infty }x^{*}(\tau )\ x(0+\tau )\,d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }x^{*}(\tau )\ x(\tau )\,d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }|x(\tau )|^{2}\,d\tau =E_{x}

{\ displaystyle R_ {x} (0) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x ^ {*} (\ tau) \ x (0+ \ tau) \, d \ tau = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x ^ {*} (\ tau) \ x (\ tau) \, d \ tau = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | x (\ tau) | ^ {2} \, d \ tau = E_ {x}}

{\ displaystyle R_ {x} (0) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x ^ {*} (\ tau) \ x (0+ \ tau) \, d \ tau = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x ^ {*} (\ tau) \ x (\ tau) \, d \ tau = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | x (\ tau) | ^ {2} \, d \ tau = E_ {x}}

.

Relația dintre corelație și convoluție

Amintiți-vă că convoluția dintre două semnale $x(t)$ ${\ displaystyle x (t)}$ $x (t)$ Și $y(t)$ ${\ displaystyle y (t)}$ $YT)$ , real sau complex, simbolic indicat ca: