Cumulanți

În calculul probabilității, dată o variabilă aleatorie $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , anumite combinații ale momentelor sale se numesc cumulanți , definiți în așa fel încât să „separe” informațiile furnizate de fiecare dintre ele. În special, al n - lea cumulant $\kappa _{n}$ ${\ displaystyle \ kappa _ {n}}$ ${\ displaystyle \ kappa _ {n}}$ reprezintă informațiile suplimentare furnizate de „comanda n ”. Cunoașterea progresivă a cumulanților unei variabile permite deci reconstituirea funcției de distribuție a probabilității $p(x)$ ${\ displaystyle p (x)}$ $p (x)$ din ce în ce mai detaliat.

Motivație

Având în vedere o variabilă aleatorie, în general nu este posibil să se cunoască forma exactă a funcției de distribuție a probabilității $p(x)$ ${\ displaystyle p (x)}$ $p (x)$ ; mult mai frecvent este posibil să se obțină informații despre momentele distribuției $p(x)$ ${\ displaystyle p (x)}$ $p (x)$ . Pe măsură ce comanda crește, momentele furnizează la fel de multe informații detaliate despre forma de distribuție; funcția de corelație cu ordinul n conține o mare parte din informațiile deja cunoscute din ordinele inferioare: cel mai imediat exemplu este $\mathbb {E} [x^{2}]$ ${\ displaystyle \ mathbb {E} [x ^ {2}]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {E} [x ^ {2}]}$ care depinde în mod evident de proprietățile $\mathbb {E} [x]$ ${\ displaystyle \ mathbb {E} [x]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {E} [x]}$ (de exemplu în mișcarea browniană ambele $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ viteza, este evident că energia cinetică medie depinde de viteza de deriva a particulei; dar la aceasta trebuie adăugate termenii datorate fluctuațiilor care reprezintă informațiile reale reale care provin din cunoașterea $\mathbb {E} [x^{2}]$ ${\ displaystyle \ mathbb {E} [x ^ {2}]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {E} [x ^ {2}]}$ : informațiile suplimentare sunt cele referitoare la varianță, care este cumulantul ordinului doi).

Definiție

Având în vedere o variabilă aleatorie X , logaritmul funcției de generare a momentului este definit ca funcție generatoare cumulantă :

$g(t):=\ln \mathbb {E} [e^{tX}]$ ${\ displaystyle g (t): = \ ln \ mathbb {E} [e ^ {tX}]}$ ${\ displaystyle g (t): = \ ln \ mathbb {E} [e ^ {tX}]}$

Această funcție poate fi dezvoltată în seria Taylor în variabila t . Cumulantul de ordinul m este derivata m- a lui $g(t)$ ${\ displaystyle g (t)}$ $g (t)$ în zero:

\kappa _{m}=\left.{\frac {d^{m}g}{dt^{m}}}\right|_{t=0}

{\ displaystyle \ kappa _ {m} = \ left. {\ frac {d ^ {m} g} {dt ^ {m}}} \ right | _ {t = 0}}

{\ displaystyle \ kappa _ {m} = \ left. {\ frac {d ^ {m} g} {dt ^ {m}}} \ right | _ {t = 0}}

astfel încât extinderea în serie a funcției generatoare să poată fi scrisă ca

g(t)=\sum _{m=0}^{\infty }\kappa _{m}{\frac {t^{m}}{m!}}

{\ displaystyle g (t) = \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} \ kappa _ {m} {\ frac {t ^ {m}} {m!}}}

{\ displaystyle g (t) = \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} \ kappa _ {m} {\ frac {t ^ {m}} {m!}}}

Coeficienții astfel obținuți sunt legați de momentele variabilei X prin relații algebrice simple:

{\begin{aligned}\kappa _{1}&=g'(0)=\mu '_{1}=\mu ,\\\kappa _{2}&=g''(0)=\mu '_{2}-{\mu '_{1}}^{2}=\sigma ^{2},\\&{}\ \ \vdots \\\kappa _{n}&=g^{(n)}(0),\\&{}\ \ \vdots \end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ kappa _ {1} & = g '(0) = \ mu' _ {1} = \ mu, \\\ kappa _ {2} & = g '' (0) = \ mu '_ {2} - {\ mu' _ {1}} ^ {2} = \ sigma ^ {2}, \\ & {} \ \ \ vdots \\\ kappa _ {n} & = g ^ {(n)} (0), \\ & {} \ \ \ vdots \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ kappa _ {1} & = g '(0) = \ mu' _ {1} = \ mu, \\\ kappa _ {2} & = g '' (0) = \ mu '_ {2} - {\ mu' _ {1}} ^ {2} = \ sigma ^ {2}, \\ & {} \ \ \ vdots \\\ kappa _ {n} & = g ^ {(n)} (0), \\ & {} \ \ \ vdots \ end {align}}}

Unde σ ² este varianța (Var (x)) și unde μ este media variabilei aleatorii X. Din păcate, relația care leagă cumulanții cu funcțiile de corelație nu este imediată ca în cazul varianței, ele sunt sub forma formulei lui Faà di Bruno care exprimă derivata funcției compuse într-o formă compactă $\ln \mathbb {E} [e^{tX}]$ ${\ displaystyle \ ln \ mathbb {E} [e ^ {tX}]}$ ${\ displaystyle \ ln \ mathbb {E} [e ^ {tX}]}$ .