Diferențele împărțite

În matematică , o diferență divizată este o cantitate, definită recursiv pe puncte distincte. Acestea sunt utilizate, de exemplu, în interpolare polinomială , în metodele de interpolare Newton la diferențe divizate și interpolare Hermite .

Definiție

Date $k+1$ ${\ displaystyle k + 1}$ $k + 1$ puncte

(x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{k},y_{k})

{\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}), \ ldots, (x_ {k}, y_ {k})}

{\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}), \ ldots, (x_ {k}, y_ {k})}

Definim diferențele împărțite ca:

[y_{\nu }]:=y_{\nu },\qquad \nu \in \{0,\ldots ,k\}

{\ displaystyle [y _ {\ nu}]: = y _ {\ nu}, \ qquad \ nu \ in \ {0, \ ldots, k \}}

{\ displaystyle [y _ {\ nu}]: = y _ {\ nu}, \ qquad \ nu \ in \ {0, \ ldots, k \}}

[y_{\nu },\ldots ,y_{\nu +j}]:={\frac {[y_{\nu +1},\ldots ,y_{\nu +j}]-[y_{\nu },\ldots ,y_{\nu +j-1}]}{x_{\nu +j}-x_{\nu }}},\qquad \nu \in \{0,\ldots ,k-j\},\ j\in \{1,\ldots ,k\}.

{\ displaystyle [y _ {\ nu}, \ ldots, y _ {\ nu + j}]: = {\ frac {[y _ {\ nu +1}, \ ldots, y _ {\ nu + j} ] - [y_ {\ nu}, \ ldots, y _ {\ nu + j-1}]} {x _ {\ nu + j} -x _ {\ nu}}}, \ qquad \ nu \ in \ {0, \ ldots, kj \}, \ j \ in \ {1, \ ldots, k \}.}

{\ displaystyle [y _ {\ nu}, \ ldots, y _ {\ nu + j}]: = {\ frac {[y _ {\ nu +1}, \ ldots, y _ {\ nu + j} ] - [y_ {\ nu}, \ ldots, y _ {\ nu + j-1}]} {x _ {\ nu + j} -x _ {\ nu}}}, \ qquad \ nu \ in \ {0, \ ldots, kj \}, \ j \ in \ {1, \ ldots, k \}.}

Definim diferențele de împărțire înapoi ca:

[y_{\nu }]:=y_{\nu },\qquad \nu \in \{0,\ldots ,k\}

{\ displaystyle [y _ {\ nu}]: = y _ {\ nu}, \ qquad \ nu \ in \ {0, \ ldots, k \}}

{\ displaystyle [y _ {\ nu}]: = y _ {\ nu}, \ qquad \ nu \ in \ {0, \ ldots, k \}}

[y_{\nu },\ldots ,y_{\nu -j}]:={\frac {[y_{\nu },\ldots ,y_{\nu -j+1}]-[y_{\nu -1},\ldots ,y_{\nu -j}]}{x_{\nu }-x_{\nu -j}}},\qquad \nu \in \{j,\ldots ,k\},\ j\in \{1,\ldots ,k\}.

{\ displaystyle [y _ {\ nu}, \ ldots, y _ {\ nu -j}]: = {\ frac {[y _ {\ nu}, \ ldots, y _ {\ nu -j + 1} ] - [y_ {\ nu -1}, \ ldots, y _ {\ nu -j}]} {x _ {\ nu} -x _ {\ nu -j}}}, \ qquad \ nu \ in \ {j, \ ldots, k \}, \ j \ in \ {1, \ ldots, k \}.}

{\ displaystyle [y _ {\ nu}, \ ldots, y _ {\ nu -j}]: = {\ frac {[y _ {\ nu}, \ ldots, y _ {\ nu -j + 1} ] - [y_ {\ nu -1}, \ ldots, y _ {\ nu -j}]} {x _ {\ nu} -x _ {\ nu -j}}}, \ qquad \ nu \ in \ {j, \ ldots, k \}, \ j \ in \ {1, \ ldots, k \}.}

unde este $j$ ${\ displaystyle j}$ $j$ este ordinea diferenței împărțite.

Notare, diferențe împărțite pe punctele unei funcții

Dacă punctele ${\textstyle \{x_{0},x_{1},\dots ,x_{k}\}}$ ${\ textstyle \ {x_ {0}, x_ {1}, \ dots, x_ {k} \}}$ ${\ textstyle \ {x_ {0}, x_ {1}, \ dots, x_ {k} \}}$ sunt date ca valori ale unei funcții $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ ,

(x_{0},f(x_{0})),\ldots ,(x_{k},f(x_{k}))

{\ displaystyle (x_ {0}, f (x_ {0})), \ ldots, (x_ {k}, f (x_ {k}))}

{\ displaystyle (x_ {0}, f (x_ {0})), \ ldots, (x_ {k}, f (x_ {k}))}

puteți găsi notația

f[x_{\nu }]:=f(x_{\nu }),\qquad \nu \in \{0,\ldots ,k\}

{\ displaystyle f [x _ {\ nu}]: = f (x _ {\ nu}), \ qquad \ nu \ in \ {0, \ ldots, k \}}

{\ displaystyle f [x _ {\ nu}]: = f (x _ {\ nu}), \ qquad \ nu \ in \ {0, \ ldots, k \}}

f[x_{\nu },\ldots ,x_{\nu +j}]:={\frac {f[x_{\nu +1},\ldots ,x_{\nu +j}]-f[x_{\nu },\ldots ,x_{\nu +j-1}]}{x_{\nu +j}-x_{\nu }}},\qquad \nu \in \{0,\ldots ,k-j\},\ j\in \{1,\ldots ,k\}.

{\ displaystyle f [x _ {\ nu}, \ ldots, x _ {\ nu + j}]: = {\ frac {f [x _ {\ nu +1}, \ ldots, x _ {\ nu + j}] - f [x _ {\ nu}, \ ldots, x _ {\ nu + j-1}]} {x _ {\ nu + j} -x _ {\ nu}}}, \ qquad \ nu \ in \ {0, \ ldots, kj \}, \ j \ in \ {1, \ ldots, k \}.}

{\ displaystyle f [x _ {\ nu}, \ ldots, x _ {\ nu + j}]: = {\ frac {f [x _ {\ nu +1}, \ ldots, x _ {\ nu + j}] - f [x _ {\ nu}, \ ldots, x _ {\ nu + j-1}]} {x _ {\ nu + j} -x _ {\ nu}}}, \ qquad \ nu \ in \ {0, \ ldots, kj \}, \ j \ in \ {1, \ ldots, k \}.}

Alte scripturi echivalente sunt:

[x_{0},\ldots ,x_{n}]f,

{\ displaystyle [x_ {0}, \ ldots, x_ {n}] f,}

{\ displaystyle [x_ {0}, \ ldots, x_ {n}] f,}

f_{n}[x_{0},\ldots ,x_{n}]

{\ displaystyle f_ {n} [x_ {0}, \ ldots, x_ {n}]}

{\ displaystyle f_ {n} [x_ {0}, \ ldots, x_ {n}]}

[x_{0},\ldots ,x_{n};f],

{\ displaystyle [x_ {0}, \ ldots, x_ {n}; f],}

{\ displaystyle [x_ {0}, \ ldots, x_ {n}; f],}

D[x_{0},\ldots ,x_{n}]f

{\ displaystyle D [x_ {0}, \ ldots, x_ {n}] f}

{\ displaystyle D [x_ {0}, \ ldots, x_ {n}] f}

etc.

Relația cu derivatele de $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$

Când două argumente sunt coincidente, putem da un sens în mod egal diferenței de ordine împărțite corespunzătoare $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ , cu condiția $f'(x)$ ${\ displaystyle f '(x)}$ $f '(x)$ există în acel moment ^[1] :

$f[x_{0},x_{0}]=\lim _{x\to x_{0}}f[x_{0},x]=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=f'(x_{0})$ ${\ displaystyle f [x_ {0}, x_ {0}] = \ lim _ {x \ to x_ {0}} f [x_ {0}, x] = \ lim _ {x \ to x_ {0}} {\ frac {f (x) -f (x_ {0})} {x-x_ {0}}} = f '(x_ {0})}$ ${\ displaystyle f [x_ {0}, x_ {0}] = \ lim _ {x \ to x_ {0}} f [x_ {0}, x] = \ lim _ {x \ to x_ {0}} {\ frac {f (x) -f (x_ {0})} {x-x_ {0}}} = f '(x_ {0})}$

Mai general, definim

$f[\underbrace {x_{0},x_{0},\dots ,x_{0}} _{k+1}]={\frac {f^{(k)}(x_{0})}{k!}}$ ${\ displaystyle f [\ underbrace {x_ {0}, x_ {0}, \ dots, x_ {0}} _ {k + 1}] = {\ frac {f ^ {(k)} (x_ {0} )} {k!}}}$ ${\ displaystyle f [\ underbrace {x_ {0}, x_ {0}, \ dots, x_ {0}} _ {k + 1}] = {\ frac {f ^ {(k)} (x_ {0} )} {k!}}}$

a cărei existență este demonstrabilă ^[2] .

Exemple

Diferențele împărțite la $\nu =0$ ${\ displaystyle \ nu = 0}$ ${\ displaystyle \ nu = 0}$ iar primele valori ale $j$ ${\ displaystyle j}$ $j$ :

{\begin{aligned}{\mathopen {[}}y_{0}]&=y_{0}\\{\mathopen {[}}y_{0},y_{1}]&={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\\{\mathopen {[}}y_{0},y_{1},y_{2}]&={\frac {{\mathopen {[}}y_{1},y_{2}]-{\mathopen {[}}y_{0},y_{1}]}{x_{2}-x_{0}}}={\frac {{\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}-{\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}}{x_{2}-x_{0}}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{(x_{2}-x_{1})(x_{2}-x_{0})}}-{\frac {y_{1}-y_{0}}{(x_{1}-x_{0})(x_{2}-x_{0})}}\\{\mathopen {[}}y_{0},y_{1},y_{2},y_{3}]&={\frac {{\mathopen {[}}y_{1},y_{2},y_{3}]-{\mathopen {[}}y_{0},y_{1},y_{2}]}{x_{3}-x_{0}}}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathopen {[}} y_ {0}] & = y_ {0} \\ {\ mathopen {[}} y_ {0}, y_ {1}] & = {\ frac {y_ {1} -y_ {0}} {x_ {1} -x_ {0}}} \\ {\ mathopen {[}} y_ {0}, y_ {1}, y_ {2}] & = {\ frac {{\ mathopen {[}} y_ {1}, y_ {2}] - {\ mathopen {[}} y_ {0}, y_ {1}]} {x_ {2} -x_ {0} }} = {\ frac {{\ frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}} - {\ frac {y_ {1} -y_ {0}} {x_ {1} -x_ {0}}}} {x_ {2} -x_ {0}}} = {\ frac {y_ {2} -y_ {1}} {(x_ {2} -x_ {1}) (x_ {2} -x_ {0})}} - {\ frac {y_ {1} -y_ {0}} {(x_ {1} -x_ {0}) (x_ {2} -x_ {0} )}} \\ {\ mathopen {[}} y_ {0}, y_ {1}, y_ {2}, y_ {3}] & = {\ frac {{\ mathopen {[}} y_ {1}, y_ {2}, y_ {3}] - {\ mathopen {[}} y_ {0}, y_ {1}, y_ {2}]} {x_ {3} -x_ {0}}} \ end {aliniat }}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathopen {[}} y_ {0}] & = y_ {0} \\ {\ mathopen {[}} y_ {0}, y_ {1}] & = {\ frac {y_ {1} -y_ {0}} {x_ {1} -x_ {0}}} \\ {\ mathopen {[}} y_ {0}, y_ {1}, y_ {2}] & = {\ frac {{\ mathopen {[}} y_ {1}, y_ {2}] - {\ mathopen {[}} y_ {0}, y_ {1}]} {x_ {2} -x_ {0} }} = {\ frac {{\ frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}} - {\ frac {y_ {1} -y_ {0}} {x_ {1} -x_ {0}}}} {x_ {2} -x_ {0}}} = {\ frac {y_ {2} -y_ {1}} {(x_ {2} -x_ {1}) (x_ {2} -x_ {0})}} - {\ frac {y_ {1} -y_ {0}} {(x_ {1} -x_ {0}) (x_ {2} -x_ {0} )}} \\ {\ mathopen {[}} y_ {0}, y_ {1}, y_ {2}, y_ {3}] & = {\ frac {{\ mathopen {[}} y_ {1}, y_ {2}, y_ {3}] - {\ mathopen {[}} y_ {0}, y_ {1}, y_ {2}]} {x_ {3} -x_ {0}}} \ end {aliniat }}}

Pentru a evidenția procesul recursiv, diferențele împărțite pot fi plasate sub formă de tabel

{\begin{matrix}x_{0}&y_{0}=[y_{0}]&&&\\&&[y_{0},y_{1}]&&\\x_{1}&y_{1}=[y_{1}]&&[y_{0},y_{1},y_{2}]&\\&&[y_{1},y_{2}]&&[y_{0},y_{1},y_{2},y_{3}]\\x_{2}&y_{2}=[y_{2}]&&[y_{1},y_{2},y_{3}]&\\&&[y_{2},y_{3}]&&\\x_{3}&y_{3}=[y_{3}]&&&\\\end{matrix}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} x_ {0} & y_ {0} = [y_ {0}] &&& \\ && [y_ {0}, y_ {1}] && \\ x_ {1} & y_ { 1} = [y_ {1}] && [y_ {0}, y_ {1}, y_ {2}] & \\ && [y_ {1}, y_ {2}] && [y_ {0}, y_ { 1}, y_ {2}, y_ {3}] \\ x_ {2} & y_ {2} = [y_ {2}] && [y_ {1}, y_ {2}, y_ {3}] & \ \ && [y_ {2}, y_ {3}] && \\ x_ {3} & y_ {3} = [y_ {3}] &&& \\\ end {matrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} x_ {0} & y_ {0} = [y_ {0}] &&& \\ && [y_ {0}, y_ {1}] && \\ x_ {1} & y_ { 1} = [y_ {1}] && [y_ {0}, y_ {1}, y_ {2}] & \\ && [y_ {1}, y_ {2}] && [y_ {0}, y_ { 1}, y_ {2}, y_ {3}] \\ x_ {2} & y_ {2} = [y_ {2}] && [y_ {1}, y_ {2}, y_ {3}] & \ \ && [y_ {2}, y_ {3}] && \\ x_ {3} & y_ {3} = [y_ {3}] &&& \\\ end {matrix}}}

Raport incremental

Același subiect în detaliu: Raportul incremental .

Având o funcție $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ , Am luat două puncte $(x_{0},f(x_{0})),(x_{1},f(x_{1}))$ ${\ displaystyle (x_ {0}, f (x_ {0})), (x_ {1}, f (x_ {1}))}$ ${\ displaystyle (x_ {0}, f (x_ {0})), (x_ {1}, f (x_ {1}))}$ , diferența de ordine divizată ${\textstyle 1}$ ${\ textstyle 1}$ ${\ textstyle 1}$ :

$A_{1}=f[x_{0},x_{1}]={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}={\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}={\frac {\Delta f}{\Delta x}}$ ${\ displaystyle A_ {1} = f [x_ {0}, x_ {1}] = {\ frac {y_ {1} -y_ {0}} {x_ {1} -x_ {0}}} = {\ frac {f (x_ {1}) - f (x_ {0})} {x_ {1} -x_ {0}}} = {\ frac {\ Delta f} {\ Delta x}}}$ ${\ displaystyle A_ {1} = f [x_ {0}, x_ {1}] = {\ frac {y_ {1} -y_ {0}} {x_ {1} -x_ {0}}} = {\ frac {f (x_ {1}) - f (x_ {0})} {x_ {1} -x_ {0}}} = {\ frac {\ Delta f} {\ Delta x}}}$

este raportul incremental construit pe două puncte pentru cantitate $h=x_{1}-x_{0}$ ${\ displaystyle h = x_ {1} -x_ {0}}$ ${\ displaystyle h = x_ {1} -x_ {0}}$ .

Invarianța prin permutare

Același subiect în detaliu: Funcția simetrică .

Prin inducție matematică nu este dificil să se demonstreze că

$f[x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f(x_{k})}{\prod _{j=0,\ j\neq k}^{n}{(x_{k}-x_{j})}}}$ ${\ displaystyle f [x_ {0}, x_ {1}, \ dots, x_ {n}] = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ frac {f (x_ {k})} {\ prod _ {j = 0, \ j \ neq k} ^ {n} {(x_ {k} -x_ {j})}}}}$ ${\ displaystyle f [x_ {0}, x_ {1}, \ dots, x_ {n}] = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ frac {f (x_ {k})} {\ prod _ {j = 0, \ j \ neq k} ^ {n} {(x_ {k} -x_ {j})}}}}$

Această expresie ne permite să afirmăm că ${\textstyle f[x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]}$ ${\ textstyle f [x_ {0}, x_ {1}, \ dots, x_ {n}]}$ ${\ textstyle f [x_ {0}, x_ {1}, \ dots, x_ {n}]}$ este o funcție de permutare-invariantă a argumentelor sale, adică

$f[x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]=f[x_{i_{0}},x_{i_{1}},\dots ,x_{i_{n}}]$ ${\ displaystyle f [x_ {0}, x_ {1}, \ dots, x_ {n}] = f [x_ {i_ {0}}, x_ {i_ {1}}, \ dots, x_ {i_ {n }}]}$ ${\ displaystyle f [x_ {0}, x_ {1}, \ dots, x_ {n}] = f [x_ {i_ {0}}, x_ {i_ {1}}, \ dots, x_ {i_ {n }}]}$

unde este ${\textstyle (i_{0},i_{1},\dots ,i_{n})}$ ${\ textstyle (i_ {0}, i_ {1}, \ dots, i_ {n})}$ ${\ textstyle (i_ {0}, i_ {1}, \ dots, i_ {n})}$ denotă orice permutare a ${\textstyle (0,1,\dots ,n)}$ ${\ textstyle (0,1, \ dots, n)}$ ${\ textstyle (0,1, \ dots, n)}$ ^[1] .

Notă

^ ^a ^b Monegato, Giovanni., Metode și algoritmi pentru calcul numeric , Clut, [2008], ISBN 9788879922654 ,OCLC 956017867 . Adus pe 29 aprilie 2019 .
^ Isaacson, Eugene., Analiza metodelor numerice , Dover Publications, 1994, p. 252, ISBN 0486680290 ,OCLC 30032279 . Adus pe 29 aprilie 2019 .

Bibliografie

Monegato, Giovanni., Metode și algoritmi pentru calcul numeric , Clut, [2008], ISBN 9788879922654 ,OCLC 956017867 . Adus pe 29 aprilie 2019 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[:0-1] Monegato, Giovanni., Metode și algoritmi pentru calcul numeric , Clut, [2008], ISBN 9788879922654 ,OCLC 956017867 . Adus pe 29 aprilie 2019 .

[2] Isaacson, Eugene., Analiza metodelor numerice , Dover Publications, 1994, p. 252, ISBN 0486680290 ,OCLC 30032279 . Adus pe 29 aprilie 2019 .

[1]

[2]