Demonstrarea iraționalității e

Numărul e a fost introdus în 1683 de Jacob Bernoulli . Mai mult de jumătate de secol mai târziu, Euler , care era student al lui Johann Bernoulli (fratele mai mic al lui Jacob), a dovedit că $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ este irațional ; adică nu poate fi exprimat ca un raport de două numere întregi.

Dovada lui Euler

Euler a scris prima dovadă a iraționalității lui $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ în 1737 (dar textul a fost publicat abia șapte ani mai târziu). ^[1] ^[2] ^[3] Matematicianul elvețian a calculat reprezentarea lui $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ ca o fracție continuă simplă, adică

e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,\ldots ,2n,1,1,\ldots ].

{\ displaystyle e = [2; 1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1, \ ldots, 2n, 1,1, \ ldots].}

{\ displaystyle e = [2; 1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1, \ ldots, 2n, 1,1, \ ldots].}

Deoarece această fracție continuă este infinită, în timp ce fiecare număr rațional este reprezentat de unul finit, $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ este irațional. Pentru o scurtă demonstrație a fracției continue a $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ , vezi Cohn (2006) . ^[4] ^[5] Deoarece fracția continuă de $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ nu este periodic, asta arată și asta $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ nu este rădăcina unui polinom de gradul doi cu coeficienți raționali; în special, $e^{2}$ ${\ displaystyle e ^ {2}}$ ${\ displaystyle e ^ {2}}$ este irațional.

Dovada lui Fourier

Cea mai cunoscută dovadă este cea a lui Joseph Fourier care procedează în mod absurd ^[6], care se bazează pe identitate

e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\cdot

{\ displaystyle e = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n!}} \ cdot}

{\ displaystyle e = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n!}} \ cdot}

Asuma ca $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ este un număr rațional . Atunci există $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ numere întregi pozitive astfel încât $e=a/b$ ${\ displaystyle e = a / b}$ ${\ displaystyle e = a / b}$ . Rețineți că $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ nu poate fi egal cu 1 deoarece $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ nu este un întreg. Se poate dovedi folosind identitatea anterioară că $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ este strict între $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ Și $3$ ${\ displaystyle 3}$ $3$ :

2=1+{\tfrac {1}{1!}}\ \ <\ \ e=1+{\tfrac {1}{1!}}+{\tfrac {1}{2!}}+{\tfrac {1}{3!}}+\cdots \ \ <\ \ 1+(1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2^{2}}}+{\tfrac {1}{2^{3}}}+\cdots )\ \ =\ \ 3.

{\ displaystyle 2 = 1 + {\ tfrac {1} {1!}} \ \ <\ \ e = 1 + {\ tfrac {1} {1!}} + {\ tfrac {1} {2!}} + {\ tfrac {1} {3!}} + \ cdots \ \ <\ \ 1+ (1 + {\ tfrac {1} {2}} + {\ tfrac {1} {2 ^ {2}}} + {\ tfrac {1} {2 ^ {3}}} + \ cdots) \ \ = \ \ 3.}

{\ displaystyle 2 = 1 + {\ tfrac {1} {1!}} \ \ <\ \ e = 1 + {\ tfrac {1} {1!}} + {\ tfrac {1} {2!}} + {\ tfrac {1} {3!}} + \ cdots \ \ <\ \ 1+ (1 + {\ tfrac {1} {2}} + {\ tfrac {1} {2 ^ {2}}} + {\ tfrac {1} {2 ^ {3}}} + \ cdots) \ \ = \ \ 3.}

Definiți numărul

x=b!\,{\biggl (}e-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}{\biggr )}.

{\ displaystyle x = b! \, {\ biggl (} e- \ sum _ {n = 0} ^ {b} {\ frac {1} {n!}} {\ biggr)}.}

{\ displaystyle x = b! \, {\ biggl (} e- \ sum _ {n = 0} ^ {b} {\ frac {1} {n!}} {\ biggr)}.}

De sine $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ este rațional atunci $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este un număr întreg, de fapt substituind $e=a/b$ ${\ displaystyle e = a / b}$ ${\ displaystyle e = a / b}$ în definiția lui $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ primesti

x=b!\,{\biggl (}{\frac {a}{b}}-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}{\biggr )}=a(b-1)!-\sum _{n=0}^{b}{\frac {b!}{n!}}\,.

{\ displaystyle x = b! \, {\ biggl (} {\ frac {a} {b}} - \ sum _ {n = 0} ^ {b} {\ frac {1} {n!}} {\ biggr)} = a (b-1)! - \ sum _ {n = 0} ^ {b} {\ frac {b!} {n!}} \,.}

{\ displaystyle x = b! \, {\ biggl (} {\ frac {a} {b}} - \ sum _ {n = 0} ^ {b} {\ frac {1} {n!}} {\ biggr)} = a (b-1)! - \ sum _ {n = 0} ^ {b} {\ frac {b!} {n!}} \,.}

Primul termen este un număr întreg și fiecare fracție din sumă este, de fapt, și un număr întreg, deoarece $n\leq b$ ${\ displaystyle n \ leq b}$ ${\ displaystyle n \ leq b}$ pentru fiecare termen. Prin urmare, $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este un întreg.

Acum demonstrează asta $0<x<1$ ${\ displaystyle 0 <x <1}$ ${\ displaystyle 0 <x <1}$ . Mai întâi, să arăt asta $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este strict pozitivă, reprezentarea în serie a $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ în definiția lui $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , din care derivă

x=b!\,{\biggl (}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!}}{\biggr )}=\sum _{n=b+1}^{\infty }{\frac {b!}{n!}}>0\,,

{\ displaystyle x = b! \, {\ biggl (} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n!}} - \ sum _ {n = 0} ^ {b } {\ frac {1} {n!}} {\ biggr)} = \ sum _ {n = b + 1} ^ {\ infty} {\ frac {b!} {n!}}> 0 \ ,, }

{\ displaystyle x = b! \, {\ biggl (} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n!}} - \ sum _ {n = 0} ^ {b } {\ frac {1} {n!}} {\ biggr)} = \ sum _ {n = b + 1} ^ {\ infty} {\ frac {b!} {n!}}> 0 \ ,, }

întrucât toți termenii sunt strict pozitivi.

Rămâne să dovedim asta $x<1$ ${\ displaystyle x <1}$ ${\ displaystyle x <1}$ . Pentru toți termenii cu $n\geq b+1$ ${\ displaystyle n \ geq b + 1}$ ${\ displaystyle n \ geq b + 1}$ aveți cea mai mare estimare

{\frac {b!}{n!}}={\frac {1}{(b+1)(b+2)\cdots (b+(n-b))}}<{\frac {1}{(b+1)^{n-b}}}\,.

{\ displaystyle {\ frac {b!} {n!}} = {\ frac {1} {(b + 1) (b + 2) \ cdots (b + (nb))}} <{\ frac {1 } {(b + 1) ^ {nb}}} \,.}

{\ displaystyle {\ frac {b!} {n!}} = {\ frac {1} {(b + 1) (b + 2) \ cdots (b + (nb))}} <{\ frac {1 } {(b + 1) ^ {nb}}} \,.}

Această inegalitate este strictă pentru fiecare $n\geq b+2$ ${\ displaystyle n \ geq b + 2}$ ${\ displaystyle n \ geq b + 2}$ . Schimbarea indexului însumării la $k=n-b$ ${\ displaystyle k = nb}$ ${\ displaystyle k = n-b}$ și folosind formula seriei geometrice , obținem

x=\sum _{n=b+1}^{\infty }{\frac {b!}{n!}}<\sum _{n=b+1}^{\infty }{\frac {1}{(b+1)^{n-b}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(b+1)^{k}}}={\frac {1}{b+1}}{\biggl (}{\frac {1}{1-{\frac {1}{b+1}}}}{\biggr )}={\frac {1}{b}}<1.

{\ displaystyle x = \ sum _ {n = b + 1} ^ {\ infty} {\ frac {b!} {n!}} <\ sum _ {n = b + 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(b + 1) ^ {nb}}} = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(b + 1) ^ {k}}} = { \ frac {1} {b + 1}} {\ biggl (} {\ frac {1} {1 - {\ frac {1} {b + 1}}} {\ biggr)} = {\ frac {1 } {b}} <1.}

{\ displaystyle x = \ sum _ {n = b + 1} ^ {\ infty} {\ frac {b!} {n!}} <\ sum _ {n = b + 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(b + 1) ^ {nb}}} = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(b + 1) ^ {k}}} = { \ frac {1} {b + 1}} {\ biggl (} {\ frac {1} {1 - {\ frac {1} {b + 1}}} {\ biggr)} = {\ frac {1 } {b}} <1.}

Deoarece nu există numere întregi strict între și $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ , s-a obținut o contradicție și, prin urmare $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ trebuie să fie irațional. QED

Dovezi alternative

O altă dovadă ^[7] poate fi obținută din cea anterioară, observând că

(b+1)x=1+{\frac {1}{b+2}}+{\frac {1}{(b+2)(b+3)}}+\cdots <1+{\frac {1}{b+1}}+{\frac {1}{(b+1)(b+2)}}+\cdots =1+x,

{\ displaystyle (b + 1) x = 1 + {\ frac {1} {b + 2}} + {\ frac {1} {(b + 2) (b + 3)}} + \ cdots <1+ {\ frac {1} {b + 1}} + {\ frac {1} {(b + 1) (b + 2)}} + \ cdots = 1 + x,}

{\ displaystyle (b + 1) x = 1 + {\ frac {1} {b + 2}} + {\ frac {1} {(b + 2) (b + 3)}} + \ cdots <1+ {\ frac {1} {b + 1}} + {\ frac {1} {(b + 1) (b + 2)}} + \ cdots = 1 + x,}

iar această inegalitate este echivalentă cu $bx<1$ ${\ displaystyle bx <1}$ ${\ displaystyle bx <1}$ . Acest lucru este evident imposibil, deoarece $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ Și $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ sunt numere naturale.

O altă dovadă ^[8] ^[9] derivă din faptul că

{\frac {1}{e}}=e^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\cdot

{\ displaystyle {\ frac {1} {e}} = e ^ {- 1} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {n! }} \ cdot}

{\ displaystyle {\ frac {1} {e}} = e ^ {- 1} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {n! }} \ cdot}

Definiți-vă $s_{n}$ ${\ displaystyle s_ {n}}$ ${\ displaystyle s_ {n}}$ după cum urmează:

$s_{n}=\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}$ ${\ displaystyle s_ {n} = \ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ frac {(-1) ^ {k}} {k!}}}$ ${\ displaystyle s_ {n} = \ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ frac {(-1) ^ {k}} {k!}}}$

$e^{-1}-s_{2n-1}=\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}-\displaystyle \sum _{k=0}^{2n-1}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}<{\frac {1}{(2n)!}}$ ${\ displaystyle e ^ {- 1} -s_ {2n-1} = \ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k}} {k!}} - \ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {2n-1} {\ frac {(-1) ^ {k}} {k!}} <{\ frac {1} {(2n)!}}}$ ${\ displaystyle e ^ {- 1} -s_ {2n-1} = \ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k}} {k!}} - \ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {2n-1} {\ frac {(-1) ^ {k}} {k!}} <{\ frac {1} {(2n)!}}}$

Asta presupune că $0<(2n-1)!(e^{-1}-s_{2n-1})<{\frac {1}{2k}}\leq {\frac {1}{2}}$ ${\ displaystyle 0 <(2n-1)! (e ^ {- 1} -s_ {2n-1}) <{\ frac {1} {2k}} \ leq {\ frac {1} {2}}}$ ${\ displaystyle 0 <(2n-1)! (e ^ {- 1} -s_ {2n-1}) <{\ frac {1} {2k}} \ leq {\ frac {1} {2}}}$ pentru fiecare număr întreg $n\geq 2$ ${\ displaystyle n \ geq 2}$ ${\ displaystyle n \ geq 2}$

Am notat asta $(2n-1)!s_{2n-1}$ ${\ displaystyle (2n-1)! s_ {2n-1}}$ ${\ displaystyle (2n-1)! s_ {2n-1}}$ este întotdeauna un întreg. Asuma ca $e^{-1}$ ${\ displaystyle e ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle e ^ {- 1}}$ fii rațional.

Prin urmare, $e^{-1}={\frac {p}{q}}$ ${\ displaystyle e ^ {- 1} = {\ frac {p} {q}}}$ ${\ displaystyle e ^ {- 1} = {\ frac {p} {q}}}$ unde este $p, q$ ${\ displaystyle p, q}$ ${\ displaystyle p, q}$ sunt coprimă și $q\neq 0$ ${\ displaystyle q \ neq 0}$ ${\ displaystyle q \ neq 0}$ . Tu poti alege $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ corect astfel încât $(2n-1)!e^{-1}$ ${\ displaystyle (2n-1)! e ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle (2n-1)! e ^ {- 1}}$ fie un număr întreg, adică luând $n\geq {\frac {q+1}{2}}$ ${\ displaystyle n \ geq {\ frac {q + 1} {2}}}$ ${\ displaystyle n \ geq {\ frac {q + 1} {2}}}$ .

Prin urmare, cu această alegere, diferența dintre $(2n-1)!e^{-1}$ ${\ displaystyle (2n-1)! e ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle (2n-1)! e ^ {- 1}}$ Și $(2n-1)!s_{2n-1}$ ${\ displaystyle (2n-1)! s_ {2n-1}}$ ${\ displaystyle (2n-1)! s_ {2n-1}}$ ar trebui să fie un număr întreg. Dar rezultă din inegalitatea anterioară că este imposibil. Prin urmare, $e^{-1}$ ${\ displaystyle e ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle e ^ {- 1}}$ este irațional. Aceasta înseamnă că $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ este irațional.

Generalizări

În 1840, Liouville a publicat o demonstrație a iraționalității $e^{2}$ ${\ displaystyle e ^ {2}}$ ${\ displaystyle e ^ {2}}$ ^[10] urmată de dovada că acesta din urmă nu este nici măcar o rădăcină a unui polinom de gradul doi cu coeficienți raționali. ^[11] Acest ultim rezultat implică acest lucru $e^{4}$ ${\ displaystyle e ^ {4}}$ ${\ displaystyle e ^ {4}}$ este irațional. Dovezile sale erau similare cu cele ale lui Fourier ale iraționalității lui $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ . În 1891, Hurwitz a explicat cum este posibil să demonstreze prin aceeași strategie că $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ nu este o rădăcină a unui polinom de gradul III cu coeficienți raționali. ^[12] În special, $e^{3}$ ${\ displaystyle e ^ {3}}$ ${\ displaystyle e ^ {3}}$ este irațional.

Mai general, $e^{q}$ ${\ displaystyle e ^ {q}}$ ${\ displaystyle e ^ {q}}$ este irațional pentru fiecare $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ rațional non-zero. ^[13]

Notă

^ Leonhard Euler, De fractionibus continuis dissertatio [ A dissertation on continues fractions ] ( PDF ), în Commentarii academiae scientiarum Petropicolee , vol. 9, 1744, pp. 98-137.
^ Leonhard Euler, Un eseu despre fracțiile continuate , în Teoria sistemelor matematice , vol. 18, 1985, pp. 295-398, DOI : 10.1007 / bf01699475 .
^ C. Edward Sandifer, Capitolul 32: Cine a dovedit că e irațional? , în Cum a făcut-o Euler , Mathematical Association of America , 2007, pp. 185-190, ISBN 978-0-88385-563-8 , LCCN 2007927658 .
^ O scurtă dovadă a extinderii simple a fracțiunii continue a e
^ Henry Cohn, O scurtă dovadă a expansiunii simple a fracției continue a lui e , în American Mathematical Monthly , vol. 113, nr. 1, Mathematical Association of America , 2006, pp. 57-62, DOI : 10.2307 / 27641837 , JSTOR 27641837 .
^ Janot de Stainville, Mélanges d'Analyse Algébrique et de Géométrie [ Un amestec de analiză algebrică și geometrie ], Veuve Courcier, 1815, pp. 340-341.
^ ARG MacDivitt și Yukio Yanagisawa, O dovadă elementară că e e irațională , în The Mathematical Gazette , vol. 71, nr. 457, Londra, Mathematical Association, 1987, p. 217, DOI : 10.2307 / 3616765 , JSTOR 3616765 .
^ LL Penesi, Dovada elementară că e e irațională , în American Mathematical Monthly , vol. 60, n. 7, Mathematical Association of America , 1953, p. 474, DOI : 10.2307 / 2308411 , JSTOR 2308411 .
^ Apostol, T. (1974). Analiza matematică (ediția a II-a, seria Addison-Wesley în matematică). Lectură, Mass.: Addison-Wesley.
^ Joseph Liouville, Sur l'irrationalité du nombre e = 2.718 ... , în Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , 1, vol. 5, 1840, p. 192.
^ Joseph Liouville, Addition à la note sur l'irrationnalité du nombre e , în Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , 1, vol. 5, 1840, pp. 193-194.
^ Adolf Hurwitz, Über die Kettenbruchentwicklung der Zahl e , în Mathematische Werke , vol. 2, Basel, Birkhäuser, 1933 [1891] , pp. 129-133.
^ Martin Aigner și Günter M. Ziegler , Dovezi din CARTE , 4, Berlin, New York, Springer-Verlag , 1998, pp. 27-36, DOI : 10.1007 / 978-3-642-00856-6 , ISBN 978-3-642-00855-9 . .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Leonhard Euler, De fractionibus continuis dissertatio [ A dissertation on continues fractions ] ( PDF ), în Commentarii academiae scientiarum Petropicolee , vol. 9, 1744, pp. 98-137.

[2] Leonhard Euler, Un eseu despre fracțiile continuate , în Teoria sistemelor matematice , vol. 18, 1985, pp. 295-398, DOI : 10.1007 / bf01699475 .

[3] C. Edward Sandifer, Capitolul 32: Cine a dovedit că e irațional? , în Cum a făcut-o Euler , Mathematical Association of America , 2007, pp. 185-190, ISBN 978-0-88385-563-8 , LCCN 2007927658 .

[4] O scurtă dovadă a extinderii simple a fracțiunii continue a e

[5] Henry Cohn, O scurtă dovadă a expansiunii simple a fracției continue a lui e , în American Mathematical Monthly , vol. 113, nr. 1, Mathematical Association of America , 2006, pp. 57-62, DOI : 10.2307 / 27641837 , JSTOR 27641837 .

[6] Janot de Stainville, Mélanges d'Analyse Algébrique et de Géométrie [ Un amestec de analiză algebrică și geometrie ], Veuve Courcier, 1815, pp. 340-341.

[7] ARG MacDivitt și Yukio Yanagisawa, O dovadă elementară că e e irațională , în The Mathematical Gazette , vol. 71, nr. 457, Londra, Mathematical Association, 1987, p. 217, DOI : 10.2307 / 3616765 , JSTOR 3616765 .

[8] LL Penesi, Dovada elementară că e e irațională , în American Mathematical Monthly , vol. 60, n. 7, Mathematical Association of America , 1953, p. 474, DOI : 10.2307 / 2308411 , JSTOR 2308411 .

[9] Apostol, T. (1974). Analiza matematică (ediția a II-a, seria Addison-Wesley în matematică). Lectură, Mass.: Addison-Wesley.

[10] Joseph Liouville, Sur l'irrationalité du nombre e = 2.718 ... , în Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , 1, vol. 5, 1840, p. 192.

[11] Joseph Liouville, Addition à la note sur l'irrationnalité du nombre e , în Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , 1, vol. 5, 1840, pp. 193-194.

[12] Adolf Hurwitz, Über die Kettenbruchentwicklung der Zahl e , în Mathematische Werke , vol. 2, Basel, Birkhäuser, 1933 [1891] , pp. 129-133.

[13] Martin Aigner și Günter M. Ziegler , Dovezi din CARTE , 4, Berlin, New York, Springer-Verlag , 1998, pp. 27-36, DOI : 10.1007 / 978-3-642-00856-6 , ISBN 978-3-642-00855-9 . .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6],

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]