Distribuție Maxwell-Jüttner

În fizică și în special în teoria relativității , distribuția Maxwell-Jüttner este distribuția vitezei particulelor într-un gaz ideal al particulelor relativiste. Similar distribuției Maxwell-Boltzmann , distribuția Maxwell-Jüttner consideră un gaz ideal clasic în care particulele sunt diluate și nu interacționează semnificativ între ele. Spre deosebire de distribuția clasică Maxwell, totuși, sunt luate în considerare și efectele relativității speciale: pentru temperaturile scăzute T , aceasta este mult mai mică decât $mc^{2}/k$ ${\ displaystyle mc ^ {2} / k}$ ${\ displaystyle mc ^ {2} / k}$ (unde m indică masa tipului de particule care alcătuiește gazul, c viteza luminii și k constanta Boltzmann ), aceste două distribuții sunt identice.

Distribuția este atribuită lui Ferencz Jüttner, care a obținut-o în 1911 ^[1] . Ulterior a devenit cunoscut sub numele de distribuția Maxwell-Jüttner în analogie cu distribuția Maxwell-Boltzmann.

Funcția de distribuție

Distribuția Maxwell-Jüttner pentru un gaz la diferite temperaturi. Viteza este reprezentată în termenii factorului Lorentz .

Pe măsură ce temperatura gazului crește, atunci când valoarea $k T.$ ${\ displaystyle kT}$ $kT$ se apropie sau depășește pragul $mc^{2}$ ${\ displaystyle mc ^ {2}}$ $mc ^ {2}$ , distribuția probabilității pentru $\gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$ ${\ displaystyle \ gamma = 1 / {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle \ gamma = 1 / {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}}$ în acest gaz relativist Maxwell este dat de distribuția Maxwell-Jüttner ^[2] :

f(\gamma )={\frac {\gamma ^{2}\beta }{\theta K_{2}(1/\theta )}}\exp \left(-{\frac {\gamma }{\theta }}\right)

{\ displaystyle f (\ gamma) = {\ frac {\ gamma ^ {2} \ beta} {\ theta K_ {2} (1 / \ theta)}} \ exp \ left (- {\ frac {\ gamma} {\ theta}} \ right)}

{\ displaystyle f (\ gamma) = {\ frac {\ gamma ^ {2} \ beta} {\ theta K_ {2} (1 / \ theta)}} \ exp \ left (- {\ frac {\ gamma} {\ theta}} \ right)}

unde este $\beta ={\frac {v}{c}}={\sqrt {1-1/\gamma ^{2}}},$ ${\ displaystyle \ beta = {\ frac {v} {c}} = {\ sqrt {1-1 / \ gamma ^ {2}}},}$ ${\ displaystyle \ beta = {\ frac {v} {c}} = {\ sqrt {1-1 / \ gamma ^ {2}}},}$ $\theta ={\frac {kT}{mc^{2}}},$ ${\ displaystyle \ theta = {\ frac {kT} {mc ^ {2}}},}$ ${\ displaystyle \ theta = {\ frac {kT} {mc ^ {2}}},}$ Și $K_{2}$ ${\ displaystyle K_ {2}}$ $K_ {2}$ este funcția Neumann .

Alternativ, poate fi reformulat în termeni de impuls:

f(\mathbf {p} )={\frac {1}{4\pi m^{3}c^{3}\theta K_{2}(1/\theta )}}\exp \left(-{\frac {\gamma (p)}{\theta }}\right)

{\ displaystyle f (\ mathbf {p}) = {\ frac {1} {4 \ pi m ^ {3} c ^ {3} \ theta K_ {2} (1 / \ theta)}} \ exp \ left (- {\ frac {\ gamma (p)} {\ theta}} \ right)}

{\ displaystyle f (\ mathbf {p}) = {\ frac {1} {4 \ pi m ^ {3} c ^ {3} \ theta K_ {2} (1 / \ theta)}} \ exp \ left (- {\ frac {\ gamma (p)} {\ theta}} \ right)}

unde este $\gamma (p)={\sqrt {1+\left({\frac {p}{mc}}\right)^{2}}}$ ${\ displaystyle \ gamma (p) = {\ sqrt {1+ \ left ({\ frac {p} {mc}} \ right) ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle \ gamma (p) = {\ sqrt {1+ \ left ({\ frac {p} {mc}} \ right) ^ {2}}}}$ . Ecuația Maxwell-Jüttner este covariantă, dar nu este în mod evident covariantă , iar temperatura gazului nu variază cu viteza gazului ^[3] .

Limite

Unele dintre limitele distribuțiilor Maxwell-Jüttner sunt aceleași cu cele ale modelului ideal de gaze din fizica clasică : interacțiunile cuantice și efectele sunt neglijate. O altă limitare, care nu este importantă în gazul ideal clasic, este că distribuția Maxwell-Jüttner nu ia în considerare antiparticulele.

Notă

^ ( DE ) F. Jüttner, Das Maxwellsche Gesetz der Geschwindigkeitsverteilung in der Relativtheorie ( PDF ), în Annalen der Physik , vol. 339, nr. 5, 1911, pp. 856–882, Bibcode : 1911AnP ... 339..856J , DOI : 10.1002 / andp.19113390503 .
^ (EN) JL Synge, The Relativistic Gas in Series in physics, North-Holland, 1957 LCCN 57003567 .
^ (EN) Guillermo Chacon-Acosta, Leonardo Dagdug și Hugo A. Morales-Tecotl, Despre teorema distribuției și echipației Jüttner manifest covariante , cod bib 2009: 2010PhRvE..81b1126C , DOI : 10.1103 / PhysRevE.81.021126 .

Portalul chimiei

Portalul de fizică

Portalul relativității

[1] ( DE ) F. Jüttner, Das Maxwellsche Gesetz der Geschwindigkeitsverteilung in der Relativtheorie ( PDF ), în Annalen der Physik , vol. 339, nr. 5, 1911, pp. 856–882, Bibcode : 1911AnP ... 339..856J , DOI : 10.1002 / andp.19113390503 .

[Synge-2] (EN) JL Synge, The Relativistic Gas in Series in physics, North-Holland, 1957 LCCN 57003567 .

[3] (EN) Guillermo Chacon-Acosta, Leonardo Dagdug și Hugo A. Morales-Tecotl, Despre teorema distribuției și echipației Jüttner manifest covariante , cod bib 2009: 2010PhRvE..81b1126C , DOI : 10.1103 / PhysRevE.81.021126 .

[1]

[2]

[3]